一、為什么數(shù)學(xué)是“有底”的學(xué)問？我們常常講科學(xué)沒有窮盡。一方面，我們對(duì)科學(xué)的了解是越來(lái)越多，因此認(rèn)知沒有窮盡；另一方面，無(wú)論是物理、化學(xué)還是生物，隨著我們了解的深入，這些學(xué)科的基礎(chǔ)越挖越深，往下的研究也越精深。比如，人類通過布朗運(yùn)動(dòng)了解了分子之后，又了解了原子、夸克，希格斯玻色子，這些是不斷往下的過程。但是數(shù)學(xué)則不同，我們對(duì)它的了解也是越來(lái)越多，但它的基礎(chǔ)卻并不會(huì)越挖越深。一個(gè)數(shù)學(xué)的分支，基礎(chǔ)一旦建立起來(lái)，就幾乎不會(huì)改變。比如，今天，我們不可能在幾何公理之下，再建立更深的基礎(chǔ)。也就是說，數(shù)學(xué)已經(jīng)到底了。數(shù)學(xué)的這個(gè)特點(diǎn)，我們稱之為“止于公理”。公理就是最底層的基礎(chǔ)，在公理之上，數(shù)學(xué)完全是理性的。但有趣的是，理性的數(shù)學(xué)家們對(duì)公理的態(tài)度，更像是一種信仰。這一點(diǎn)反倒是和哲學(xué)有很大相似性，因?yàn)檎軐W(xué)也是建立在對(duì)世界本原認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上。數(shù)學(xué)如果是最基礎(chǔ)的學(xué)科，哲學(xué)就是最頂頭的學(xué)科。二、數(shù)學(xué)如何影響哲學(xué)？今天世界上完善的、能夠自洽的哲學(xué)體系，大多誕生在科學(xué)啟蒙時(shí)代之后。而這不得不感謝使用了數(shù)學(xué)的思維，其中最有代表性的人物是笛卡爾和萊布尼茨。他們的哲學(xué)體系，雖然大家未必贊同，但是都不得不佩服其完備而前后自洽之處。事實(shí)上，這兩位學(xué)問大家在哲學(xué)上的名氣一點(diǎn)不亞于他們?cè)跀?shù)學(xué)上的。他們的思想，特別是笛卡爾，在今天對(duì)人類都依然有巨大影響。笛卡爾最有名的著作是《談?wù)劮椒ā贰Ｔ谡J(rèn)知層面，笛卡爾回答了兩個(gè)問題，首先人是如何獲得知識(shí)的，其次人能否通過自身努力獲得知識(shí)。在笛卡爾的時(shí)代，人們通常認(rèn)為知識(shí)來(lái)源于上帝的啟示，或者生活的經(jīng)驗(yàn)。前者我們今天都知道聽起來(lái)就很荒唐，今天已經(jīng)沒人相信了。對(duì)于后者，這其實(shí)是我們今天所說的直接經(jīng)驗(yàn)的來(lái)源。但是，靠經(jīng)驗(yàn)的積累有兩大問題，一個(gè)是來(lái)得太慢，更糟糕的是直接經(jīng)驗(yàn)常常不可靠。比如你看到太陽(yáng)東升西落，直接經(jīng)驗(yàn)就告訴你它是圍繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的。你看到鳥振動(dòng)翅膀可以飛翔，就本能地要設(shè)計(jì)能夠振翼的飛機(jī)。你想到人通過推理下圍棋，就試圖模仿人建構(gòu)人工智能。今天我們知道這些很荒唐。但是直接經(jīng)驗(yàn)常常會(huì)得出這樣的結(jié)論。笛卡爾的貢獻(xiàn)在于，告訴人類要通過理性過濾直接經(jīng)驗(yàn)，然后才能獲得知識(shí)。這句話的另一種表述就是通過理性的推理，實(shí)現(xiàn)去偽存真。笛卡爾所說的理性可以分為兩個(gè)層面，第一個(gè)層面是今天所謂的實(shí)證，這是今天科學(xué)研究的基礎(chǔ)方法。但是，笛卡爾認(rèn)為這還很不夠，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)看到的可能只是表象，因此還需要有第二個(gè)層面的理性。就是要用符合邏輯的數(shù)學(xué)的方法，代替依靠測(cè)量的物理的方法，獲得真知。當(dāng)然，依靠理性獲得新知的前提是人能夠具有理性。笛卡爾在哲學(xué)上的另一大貢獻(xiàn)在于他肯定了人生而具有理性，并且有能力利用邏輯進(jìn)行推理。因此，笛卡爾認(rèn)為，人只要把自己的工作方法由簡(jiǎn)單的依靠經(jīng)驗(yàn)上升到理性思考，就能創(chuàng)造出新知。后來(lái)，亞當(dāng)·斯密把這個(gè)假設(shè)推廣到了經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域。它最基礎(chǔ)的假設(shè)就是，人能夠通過計(jì)算和推理，清楚自己的利益所在。雖然笛卡爾自己沒有發(fā)現(xiàn)多少自然科學(xué)的新知，但是后人遵循他這種哲學(xué)思想做事情，就使得科學(xué)獲得了極大發(fā)展。這種依靠理性或者數(shù)學(xué)邏輯獲得自然科學(xué)知識(shí)的做法影響深遠(yuǎn)。當(dāng)然，今天有了大數(shù)據(jù)，我們有可能通過不同維度回望一個(gè)事物，起到去偽存真的作用，而不是僅僅靠人的理性。如果說笛卡爾的哲學(xué)思想介于唯物論和唯心論之間，那么萊布尼茨的思想則是徹底唯心的。第一個(gè)是相對(duì)的因果時(shí)空觀。在萊布尼茨之前的伽利略，以及和他同時(shí)代的牛頓，都認(rèn)為時(shí)間和空間是絕對(duì)的。但是萊布尼茨卻認(rèn)為只有上帝是絕對(duì)的，時(shí)間不可能有絕對(duì)的先后，但是有前后的因果關(guān)系。比如你不可能穿越回清朝，這樣就會(huì)出現(xiàn)先有你還是先有你爸爸的矛盾。只要不違反因果關(guān)系，時(shí)間是可以拉長(zhǎng)或者縮短的。這其實(shí)是把數(shù)學(xué)上的因果關(guān)系拓展到了哲學(xué)層面。當(dāng)然后來(lái)愛因斯坦提出相對(duì)論，證明相對(duì)的因果時(shí)空觀，要比伽利略和牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀更合理一些。第二個(gè)是對(duì)離散的世界的理解。雖然萊布尼茨同牛頓一起發(fā)明了微積分，他承認(rèn)世界的連續(xù)性，但是他一生致力于用離散的方法來(lái)解決問題和解釋世界。從二進(jìn)制，到符號(hào)學(xué)，再到物質(zhì)四特征（即不可分割性、封閉性、統(tǒng)一性和道德性），都說明他對(duì)世界離散，不連續(xù)的看法。從世界的離散性假設(shè)，利用數(shù)學(xué)上的邏輯，萊布尼茨得到了很多有趣的結(jié)論。他的這些思想啟發(fā)人們發(fā)明了離散數(shù)學(xué)和量子力學(xué)。無(wú)論是笛卡爾，還是萊布尼茨（以及很多大學(xué)問家），其實(shí)都是用到了數(shù)學(xué)中建立公理化體系的方法，建立自己的哲學(xué)體系。而那些數(shù)學(xué)方法，一旦上升到哲學(xué)層面，就成為了在認(rèn)知上通用的方法，并且對(duì)世界形成了更大的影響力。從笛卡爾和萊布尼茨開始，進(jìn)入到了理性時(shí)代。這種趨勢(shì)，直到19世紀(jì)末，叔本華和尼采等人在哲學(xué)上開始質(zhì)疑純粹理性為止。因此，如果我們說數(shù)學(xué)透露了一種哲學(xué)之道，是不過分的。三、哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的影響是什么？在歷史上，缺乏哲學(xué)修養(yǎng)的人，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好的結(jié)果，也只能成為一般的數(shù)學(xué)工作者，成不了數(shù)學(xué)大家。為什么哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)（和自然科學(xué)）這么重要？因?yàn)檎軐W(xué)講的是關(guān)于宇宙萬(wàn)物的本質(zhì)，它們之間最普遍、最一般的規(guī)律，以及整個(gè)宇宙的統(tǒng)一。套用《西方哲學(xué)史》一書的作者羅素的觀點(diǎn)，整個(gè)德國(guó)古典哲學(xué)，就是試圖構(gòu)建位于科學(xué)和其他知識(shí)之上的大一統(tǒng)體系，形成一個(gè)沒有矛盾的知識(shí)體系。這一點(diǎn)深深影響了從希爾伯特到愛因斯坦的一批頂級(jí)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。前者試圖構(gòu)建一個(gè)大一統(tǒng)的數(shù)學(xué)體系，后者則致力于構(gòu)建完美的物理學(xué)體系。雖然希爾伯特的努力被哥德爾證明是徒勞的，而愛因斯坦的設(shè)想至今也還沒有實(shí)現(xiàn)。但是，數(shù)學(xué)和科學(xué)各個(gè)分支之間在方法上卻具有相通性和普適性，這些通用的方法常常讓很多學(xué)科同時(shí)受益。對(duì)于一個(gè)平庸的數(shù)學(xué)家，思考不思考哲學(xué)問題影響并不大，反正從事的都是補(bǔ)足數(shù)學(xué)中知識(shí)點(diǎn)的工作，并不需要進(jìn)行高層次的創(chuàng)作與研究。類似的，如果我們僅僅像古希臘奴隸那樣為了謀生而學(xué)習(xí)，掌握一點(diǎn)技能也就夠了。但是如果我們是像蘇格拉底那樣把自己看成主人，以這個(gè)態(tài)度來(lái)學(xué)習(xí)，來(lái)做事情，我們就需要在認(rèn)知層面有所提高，了解數(shù)學(xué)和哲學(xué)都可以幫助我們做到這一點(diǎn)。如果我們把自然科學(xué)、數(shù)學(xué)和哲學(xué)的層次簡(jiǎn)化成一張圖，數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)，上面有各種自然科學(xué)，最頂上則又有哲學(xué)。我們通常會(huì)覺得這一頭一尾的數(shù)學(xué)和哲學(xué)是沒有實(shí)際用途的，中間可以實(shí)用的自然科學(xué)才值得我們?nèi)W(xué)習(xí)。但是，無(wú)用之用，方為大用。一個(gè)人只有在深刻理解了人類知識(shí)的普遍性原理之后，才能站在一個(gè)制高點(diǎn)往下俯視。這也是數(shù)學(xué)和哲學(xué)的共同之處。
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