一、定理:
直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.
證明如下：
作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接CP'，DP'.
易知CP=CP'，DP=DP'
根據(jù)連點(diǎn)之間線段最短可得，
PP'<><>
所以PD<>
二、定理的應(yīng)用
（一）求線段最值問(wèn)題中的應(yīng)用
解：作AC的中點(diǎn)G，連接EG.
易證△CDF≌△CGE.所以DF=GE.
要使DF有最小值，只需GE取最小值.
根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)GE⊥AD時(shí)，GE最小.
此時(shí)GE=1/2AG=3/2.
所以DF的最小值為3/2.
反思：本題實(shí)質(zhì)上就是結(jié)合題中給出的等邊三角形，構(gòu)造了一對(duì)手拉手等邊三角形。當(dāng)然也可以從捆綁旋轉(zhuǎn)的角度出發(fā)，先找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡，再構(gòu)造全等三角形或直接建立坐標(biāo)系求出軌跡的方程，運(yùn)用垂線段最短加以解決.
2、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3.點(diǎn)P是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段AC、AB上的動(dòng)點(diǎn).連接EP、EF，求EP+EF的最小值.
解：將△ABC沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)N處，AN交CD于點(diǎn)G,
點(diǎn)P落在CN上的點(diǎn)Q處.
連接EQ，則EP=EQ.
連接FQ，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M.
則EP+EF=EQ+EF>=QF>=QM.
易證△ADG≌△CNG.
設(shè)DG=x,則AG=4-x.
在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理可得,
AG^2=DG^2+AD^2，即(4-x)^2=x^2+3^2
解得，x=7/8
即DG=7/8，AG=4-7/8=25/8.
所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25.
QM=CQ*sin∠GCN+CB=3/2*7/25+3=171/50.
所以EP+EF的最小值為171/50.
3、如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn)． 點(diǎn)P沿DE--EA折線運(yùn)動(dòng)，在DE、EA上速度分別是每秒1和5/3個(gè)單位．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試求t的最小值.
分析：由題可知t=DE+EA/(5/3)=DE+3/5EA.這是一個(gè)典型的胡不歸問(wèn)題.以A為頂點(diǎn)在AE的上方構(gòu)造∠EAF，使得sin∠EAF=3/5.利用垂線段最短即可解決.
解：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AG，則sin∠EAG=sin∠B=3/5.
分別過(guò)點(diǎn)E、D作EM⊥AG，DN⊥AG垂足分別是點(diǎn)M、N.
易知t=DE+3/5EA=DE+EM>=DM>=DN=DP+3/5PA
當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)P重合時(shí)取等號(hào).此時(shí)DN=6
所以t的最小值為6.
（二）求線段取值范圍中的應(yīng)用
4、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于點(diǎn)E.求線段AE的最小值.
簡(jiǎn)析：作AE的中點(diǎn)F，連接FD.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G.
設(shè)AE=x,用含x的代數(shù)式表示出GF和DF，
由垂線段最短可得，GF<>
解：如圖，作AE的中點(diǎn)F，連接FD.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G.
5、如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，（AD＜AE），將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處.求線段AD的最小值.
練習(xí)：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4，P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP=x,若能在AC邊上找到一點(diǎn)Q，使∠BQP=90°，求x的取值范圍.
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