第4講 基本初等函數(shù)
一．【課標(biāo)要求】
1．指數(shù)函數(shù)
（1）通過具體實例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；
（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。
（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；
（4）在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型
2．對數(shù)函數(shù)
（1）理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用；
（2）通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；
3．知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
互為反函數(shù)（a＞0，a≠1）。
4.冪函數(shù)
（1）了解冪函數(shù)的概念
（2）結(jié)合函數(shù)y=x, ,y=, y=
,y=
,y=
的圖象，了解它們的變化情況
二．【命題走向】
指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。從近幾年的高考形勢來看，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運算推理，能運用它們的性質(zhì)解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運算法則，明確算理，能對常見的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進行變形處理。
三．【要點精講】
1．指數(shù)與對數(shù)運算
（1）根式的概念：
①定義：若一個數(shù)的次方等于，則這個數(shù)稱的次方根。即若，則稱的次方根，
1）當(dāng)為奇數(shù)時，次方根記作；
2）當(dāng)為偶數(shù)時，負(fù)數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作
②性質(zhì)：1）；2）當(dāng)為奇數(shù)時，；
3）當(dāng)為偶數(shù)時，。
（2）．冪的有關(guān)概念
①規(guī)定：1）N*；2）；
n個
3）Q，4）、N* 且
②性質(zhì)：1）、Q）；
2）、 Q）；
3） Q）。
（注）上述性質(zhì)對r、R均適用。
（3）．對數(shù)的概念
①定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)
1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；
2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，，記作；
②基本性質(zhì)：
1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對數(shù)）；2）；
3）；4）對數(shù)恒等式：。
③運算性質(zhì)：如果則
1）；
2）；
3）R）
④換底公式：
1）；2）。
2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
（1）指數(shù)函數(shù)：
①定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，
1）函數(shù)的定義域為R；2）函數(shù)的值域為；
3）當(dāng)時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)為增函數(shù)。
|
②函數(shù)圖像：
1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、二象限；
2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時，圖象向左無限接近軸，當(dāng)時，圖象向右無限接近軸）；
3）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱
|
③函數(shù)值的變化特征：
（2）對數(shù)函數(shù)：
①定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù)，
1）函數(shù)的定義域為；2）函數(shù)的值域為R；
3）當(dāng)時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)為增函數(shù)；
4）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)
②函數(shù)圖像：
|
1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、四象限；
2）對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時，圖象向上無限接近軸；當(dāng)時，圖象向下無限接近軸）；
4）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。
③函數(shù)值的變化特征：
|
（3）冪函數(shù)
1）掌握5個冪函數(shù)的圖像特點
2）a>0時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)恒為增函數(shù)，a<0時在第一象限恒為減函數(shù)
3）過定點（1，1）當(dāng)冪函數(shù)為偶函數(shù)過（-1,1）,當(dāng)冪函數(shù)為奇函數(shù)時過（-1，-1）
當(dāng)a>0時過（0，0）
4）冪函數(shù)一定不經(jīng)過第四象限
四．【典例解析】
題型1：指數(shù)運算
例1．（1）計算：；
（2）化簡：。
解：（1）原式=
；
（2）原式=
。
點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解，對化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進行指數(shù)冪運算時，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運算，同時兼顧運算的順序。
例2．（1）已知，求的值
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴。
點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算。
題型2：對數(shù)運算
（2）.(江蘇省南通市2008屆高三第二次調(diào)研考試)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則滿足＝27的x的值是 .
答案
例3．計算
（1）；（2）；
（3）
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=；
分母=；
原式=。
點評：這是一組很基本的對數(shù)運算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數(shù)式運算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過這樣的運算練習(xí)熟練掌握運算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧
例4．設(shè)、、為正數(shù)，且滿足
（1）求證：；
（2）若，，求、、的值。
證明：（1）左邊
；
解：（2）由得，
∴……………①
由得………… ……………②
由①②得……………………………………③
由①得，代入得，
∵， ∴………………………………④
由③、④解得，，從而。
點評：對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形式再來處理即可。
題型3：指數(shù)、對數(shù)方程
例5．(江西師大附中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中)
已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求a,b的值；
（2）若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.
解 （1）因為是R上的奇函數(shù)，所以
從而有 又由，解得
（2）解法一：由（1）知
由上式易知在R上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式
等價于
因是R上的減函數(shù)，由上式推得
即對一切從而
解法二：由（1）知
又由題設(shè)條件得
即
整理得，因底數(shù)2>1，故
上式對一切均成立，從而判別式
例6．（2008廣東 理7）
設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（ B ）
A． B． C． D．
【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點，即有正根。當(dāng)有成立時,顯然有,此時，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為.
點評：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來求解。
題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)
例7．設(shè)（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：C；，。
點評：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值
例8．已知試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。
解：令，則x=，t∈R。
所以即，（x∈R）。
因為f(－x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故只需討論f(x)在[0，+∞）上的單調(diào)性。
任取，，且使，則
（1）當(dāng)a>1時，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增。
（2）當(dāng)0<a<1時，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增。
綜合所述，[0，+∞]是f(x)的單調(diào)增區(qū)間，（－∞，0）是f(x)的單調(diào)區(qū)間。
點評：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域，甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理。特別是分兩種情況來處理。
題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用
例9．若函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（ ）
A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤1
畫圖象可知－1≤m<0。
答案為B。
點評：本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點仍然是兩種情況下函數(shù)的圖像特征。
例10．設(shè)函數(shù)的取值范圍。
解：由于是增函數(shù)，等價于 ①
1)當(dāng)時，，①式恒成立；
2)當(dāng)時，，①式化為，即；
3)當(dāng)時，，①式無解；
綜上的取值范圍是。
點評：處理含有指數(shù)式的不等式問題，借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將含有指數(shù)式的不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式問題（一元一次、一元二次不等式）來處理
題型6：對數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)
例11．（1）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2006湖北）設(shè)f(x)＝，則的定義域為（ ）
A． B．(－4,－1)(1，4)
C．(－2,－1)(1，2) D．(－4,－2)(2，4)
解：（1）D（2）B。
點評：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時才有意義。對于抽象函數(shù)的處理要注意對應(yīng)法則的對應(yīng)關(guān)系。
例12．（2009廣東三校一模）設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時,(其中)不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個數(shù).
解 （1）函數(shù)的定義域為. 1分
由得; 2分
由得, 3分
則增區(qū)間為,減區(qū)間為. 4分
(2)令得,由(1)知在上遞減,在上遞增, 6分
由,且, 8分
時, 的最大值為,故時,不等式恒成立. 9分
(3)方程即.記,則
.由得;由得.
所以g(x)在[0,1]上遞減，在[1，2]上遞增.
而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分
所以，當(dāng)a＞1時，方程無解；
當(dāng)3-2ln3＜a≤1時，方程有一個解，
當(dāng)2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3時，方程有兩個解；
當(dāng)a=2-2ln2時，方程有一個解；
當(dāng)a＜2-2ln2時，方程無解. 13分
字上所述，a時，方程無解；
或a=2-2ln2時，方程有唯一解；
時，方程有兩個不等的解. 14分
例13．當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是( )
解：當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選，
又a>1時，y=(1－a)x為減函數(shù)。
答案：B
點評：要正確識別函數(shù)圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過定點、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性
例14．設(shè)A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點, 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點C, 與直線AB交于點D。
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△ABC的面積大于1時, 求實數(shù)a的取值范圍
解：（1）易知D為線段AB的中點, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))，
所以由中點公式得D(a+2, log2 )。
（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2,
其中A′,B′,C′為A,B,C在x軸上的射影。
由S△ABC= log2>1,得0< a<2－2。
點評：解題過程中用到了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，注意底數(shù)分類來處理，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來處理復(fù)雜問題。
題型8：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合問題
例15．在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，對每個自然數(shù)n點Pn位于函數(shù)y=2000()x(0<a<1)的圖象上，且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構(gòu)成一個以Pn為頂點的等腰三角形。
(1)求點Pn的縱坐標(biāo)bn的表達式；
(2)若對于每個自然數(shù)n，以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；
(3)設(shè)Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列{Cn}前多少項的和最大？試說明理由
解：(1)由題意知：an=n+,∴bn=2000()。
(2)∵函數(shù)y=2000()x(0<a<10)遞減，
∴對每個自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2。
則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn，
即()2+()－1>0，
解得a<－5(1+)或a>5(－1)。
∴5(－1)<a<10。
(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7
∴bn=2000()。數(shù)列{bn}是一個遞減的正數(shù)數(shù)列，
對每個自然數(shù)n≥2,Bn=bnBn－1。
于是當(dāng)bn≥1時，Bn<Bn－1，當(dāng)bn<1時，Bn≤Bn－1，
因此數(shù)列{Bn}的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn+1<1，
由bn=2000()≥1得：n≤20。
∴n=20。
點評：本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識，以及三角形的面積解決了實際問題。
例16．已知函數(shù)為常數(shù)）
（1）求函數(shù)f(x)的定義域；
（2）若a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性
（3）若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍。
解：（1）由
∵a＞0，x≥0
∴f(x)的定義域是。
（2）若a=2，則
設(shè) ， 則
故f(x)為增函數(shù)。
（3）設(shè)
①
∵f(x)是增函數(shù)，
∴f(x1)＞f(x2)
即 ②
聯(lián)立①、②知a＞1，
∴a∈(1，+∞)。
點評：該題屬于純粹的研究復(fù)合對函數(shù)性質(zhì)的問題，我們抓住對數(shù)函數(shù)的特點，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對“路”處理即可
題型9：課標(biāo)創(chuàng)新題
例17．對于在區(qū)間上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x)，如果對任意的，均有，則稱f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間。
（1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。
解：（1）兩個函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因為函數(shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù)，
故有意義當(dāng)且僅當(dāng)；
（2）構(gòu)造函數(shù)，
對于函數(shù)來講，
顯然其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)
由于，得
所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證
當(dāng)時，與在區(qū)間上是接近的；
當(dāng)時，與在區(qū)間上是非接近的
點評：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進行研究，轉(zhuǎn)化成含有對數(shù)因式的不等式問題，解不等式即可。
例18．設(shè)，，且，求的最小值。
解：令，
∵，，∴。
由得，∴，
∴，∵，∴，即，∴，
∴，
∵，∴當(dāng)時，。
點評：對數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識處理最值問題，這是出題的一個亮點。同時考察了學(xué)生的變形能力。
例19.（2009陜西卷文）設(shè)曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為,則的值為
A. B. C. D.1
答案 B
解析 對,令得在點（1，1）處的切線的斜率,在點
（1，1）處的切線方程為,不妨設(shè),則, 故選 B.
五．【思維總結(jié)】
1．（其中）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底；
2．要熟練運用初中學(xué)習(xí)的多項式各種乘法公式；進行數(shù)式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項、添項、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗；
3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問題，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)運算法則及運算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識；
4．指數(shù)、對數(shù)函數(shù)值的變化特點（上面知識結(jié)構(gòu)表中的12個小點）是解決含指數(shù)、對數(shù)式的問題時使用頻繁的關(guān)鍵知識，要達到滾瓜爛熟，運用自如的水平，在使用時常常還要結(jié)合指數(shù)、對數(shù)的特殊值共同分析；
5．含有參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類；
6．在學(xué)習(xí)中含有指數(shù)、對數(shù)的復(fù)合函數(shù)問題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復(fù)合函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力
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