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第一章  集合與函數(shù)概念

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念：集合中的元素具有確定性、互異性和無序性。

（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或

表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集。

（3）集合與元素間的關系

對象a與集合M的關系是

，或者，兩者必居其一。

（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合

③描述法：{x|x具有的性質}，其中x為集合的代表元素

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合

（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集

②含有無限個元素的集合叫做無限集

③不含有任何元素的集合叫做空集(

)

 

【1.1.2】集合間的基本關系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A有n（n≥1）個元素，則它有

個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有個非空真子集。

 

【1.1.3】集合的基本運算

（8）交集、并集、補集

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函數(shù)及其表示

【1.2.1】函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則

，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合中都有唯一確定的數(shù)(x)和它對應，那么這樣的對應（包括集合A、B以及A到B的對應法則）叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作:A→B。

②函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應法則。

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．

（2）區(qū)間的概念及表示法

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①是整式時，定義域是全體實數(shù)

②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)

③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1

⑤

中，

⑥零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零

⑦若

是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集

⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知

的定義域為[a，b]，其復合函數(shù)的定義域應由不等式解出a≤g(x)≤b。

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的。事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲?。因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同。

求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值。

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值。

③判別式法：若函數(shù)

可以化成一個系數(shù)含有y的關于的二次方程，則在a(y)≠0時，由于x、y為實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值。

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值。

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉化為三角函數(shù)的最值問題。

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值。

⑦數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值。

⑧函數(shù)的單調性法。

 

【1.2.2】函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種。

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系。

列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系。

圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系。

（6）映射的概念

①設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則

，對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合A，B以及A到B的對應法則）叫做集合A到B的映射，記作:A→B。

②給定一個集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。

〖1.3〗函數(shù)的基本性質

【1.3.1】單調性與最大（小）值

（1）函數(shù)的單調性

①定義及判定方法

②在公共定義域內，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)。

（3）最大（?。┲刀x

【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

②若函數(shù)

為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則。

③奇函數(shù)在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反。

④在公共定義域內，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

 

〖補充知識〗函數(shù)的圖象

（1）作圖

◆利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；

②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質（奇偶性、單調性）；

④畫出函數(shù)的圖象。

◆利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．

①平移變換

②伸縮變換

③對稱變換

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系。

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數(shù)形結合解題的思想方法．

第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算

（1）根式的概念

（2）分數(shù)指數(shù)冪的概念

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：

.0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0.

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：

。0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．

（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性。

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質

（4）指數(shù)函數(shù)

 

〖2.2〗對數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算

（1）對數(shù)的定義

①若

，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)。

②負數(shù)和零沒有對數(shù)。

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：

（2）幾個重要的對數(shù)恒等式

（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：lgN，即

；

自然對數(shù)：lnN，即

（其中e=2.71828...）。

（4）對數(shù)的運算性質

如果

，那么：

【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質

（5）對數(shù)函數(shù)

（6）反函數(shù)的概念

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；

②從原函數(shù)式

中反解出；

③將

改寫成，并注明反函數(shù)的定義域。

（8）反函數(shù)的性質

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)。

（2）冪函數(shù)的圖象

 

（3）冪函數(shù)的性質

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象。冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限。

②過定點：所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）。

③單調性：如果a＞0，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在[0，+∞）上為增函數(shù)。如果a＜0，則冪函數(shù)的圖象在（0，+∞）上為減函數(shù)，在第一象限內，圖象無限接近x軸與y軸。

④奇偶性：當a為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)。當

（其中q、p互質，q和p∈Z），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若p和q為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為p偶數(shù)q為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)。

⑤圖象特征：冪函數(shù)

，當a＞0時，若0＜x＜1，其圖象在直線y=x下方，若x＞1，其圖象在直線y=x上方；當a＜1時，若0＜x＜1，其圖象在直線y=x上方，若x＞1，其圖象在直線y=x下方。

 

〖補充知識〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式

；

②頂點式

；

③兩根式

；

（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式。

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（?。┲涤嘘P時，常使用頂點式。

③若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求

更方便。

（3）二次函數(shù)圖象的性質

①二次函數(shù)

的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是。

③二次函數(shù)

當時，圖象與x軸有兩個交點。

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數(shù)圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布。

①k＜x1≤x2→

②x1≤x2＜k→

③x1＜k＜x2af(k)＜0→

 

 

④k1＜x1≤x2＜k2→

⑤有且僅有一個根x₁（或x₂）滿足k₁＜x₁（或x₂）＜k_2→f(k₁)f(k₂)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

⑥

此結論可直接由⑤推出。

（5）二次函數(shù)

在閉區(qū)間[p，q]上的最值

（Ⅰ）當a＞0時（開口向上）

(Ⅱ)當a＜0時(開口向下)

知識點較細，若有誤歡迎留言指正

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