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求函數(shù)的解析式的方法

求函數(shù)的解析式是函數(shù)的常見問題,下面對(duì)一些常用的方法進(jìn)行講解.

一．定義法：利用函數(shù)定義求出，有時(shí)需要對(duì)式子進(jìn)行配湊。

例：已知 的解析式。

練習(xí)：（1）已知 , 求 的解析式.                       

（2）若 ,求 .                                    

(3) 已知f(x－1)= －4x，解方程f(x+1)=0                                     

(4) 設(shè)f(x)=2 －3x+1,g(x－1)=f(x) ,求g(x)及f [g (2) ].                 

二．換元法：已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用換元法。注意：換元后要確定新元t的取值范圍。

例：已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.                                  

練習(xí)：（1）若 ,求 .

（2）已知 ，求 。                      

三．待定系數(shù)法：已知函數(shù)模型（如：一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)等）求解析式，首先設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件代入求系數(shù)。

例：設(shè) 是一次函數(shù)，且 ，求 .       

練習(xí)：（1）求一個(gè)一次函數(shù)f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7 。                                  

（2）已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且滿足關(guān)系式3f(x+1)－2f(x－1)=2x+17, 求f(x)的解析式。                                          

四．求分段解析式：利用已知特性求出未知部分解析式，一般會(huì)用到函數(shù)的奇偶性。

例：設(shè) 是偶函數(shù),當(dāng)x＞0時(shí), ,求當(dāng)x＜0時(shí)， 的表達(dá)式.                                      

 練習(xí)：已知函數(shù)f（x）在R上是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí) ,  求f(x)的表達(dá)式.

五．解方程組法:求抽象函數(shù)的解析式，往往通過變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，組成方程組，利用消元法求f（x）的解析式.

例：設(shè)函數(shù) 是定義(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函數(shù),且滿足關(guān)系式 ,求 的解析式.               

練習(xí)：（1）設(shè) 求 。                            

（2）設(shè) 為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，又 試求 的解析式。                                      

六．特殊值法：一般的，已知一個(gè)關(guān)于x,y的抽象函數(shù)，利用特殊值去掉一個(gè)未知數(shù)y，得出關(guān)于x的解析式。

例：函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.求f(x)的解析式。                                                    

練習(xí)：（1）已知： ，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，等式 恒成立，求 。                                         

（2）已知函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù)，且滿足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1.

1求f(9),f(27)的值。

2解不等式f(x)+f(x-8)＜2          

答案

1、  [  ]   [ f(x)= －1 (x≥0) ]    [  x= ±2 ]  [ , 171  ]

2、            [  ]

3、[  ]   [ f(x)=2x+1 ]     [ f(x)=2x+7 ]

4、[ f(x)=  ]

5、[  ]        [  ]   [ ，  ]

6、[  ]   [  ]    [ ,[-1,9]]