假設物體A質量為m，物體B質量為M，令k為M/m的（正）平方根，也即k2=M/m。為了一般性起見，我們不要求k是10的冪，甚至不要求k是整數(shù)，只要求k≥1，也即A的質量不大于B。在整個過程中，物體A的速度v(t)和物體B的速度V(t)都是時間t的函數(shù)，我們令向左的速度為正速度，這樣向右的速度就被表示為負的。
先來看物理部分。
假設物體A質量為m，物體B質量為M，令k為M/m的（正）平方根，也即k2=M/m。為了一般性起見，我們不要求k是10的冪，甚至不要求k是整數(shù)，只要求k≥1，也即A的質量不大于B。在整個過程中，物體A的速度v(t)和物體B的速度V(t)都是時間t的函數(shù)，我們令向左的速度為正速度，這樣向右的速度就被表示為負的。假設物體B初始的（向左的）速度為W。整個過程中動能守恒，于是在任意時刻t我們都有
1/2MV(t)2+1/2mv(t)2 = 1/2MW2
也即
(V(t)/W)2+(v(t)/(kW))2 = 1
這意味著在任何時刻t，點(V(t), v(t))都處于一個固定的橢圓上。如果我們作一個拉伸變換，定義新的關于t的函數(shù)x(t)=V(t)/W，y(t)=v(t)/(kW)，上面的公式就變成了
x(t)2+y(t)2 = 1
也就是說不同時刻t所對應的p(t)=(x(t), y(t))都處在以原點為中心，以1為半徑的圓上。
坐標系
我們注意到，當在某段時間t1到t2之間沒有發(fā)生過碰撞，那么這段時間里的v(t)和V(t)都是不變的，于是這段時間里點p(t)也是不變的。在整個過程中只會發(fā)生有限次碰撞，所以p(t)在坐標系中的圖像將只有有限個點。下面我們將考察在某次碰撞前后，點p(t)會怎樣變化。
如果是物體A和墻的碰撞，那么在碰撞前A向左運動，碰撞后則向右運動，而速度大小相同；物體B則保持原來的運動狀態(tài)。這意味著在碰撞前p(t)處于x軸上方，碰撞后則處于x軸下方，和原來的點以x軸對稱。
物體A和墻的碰撞
如果是物體A和B的碰撞，那么在碰撞前A必定靜止或是在向右運動，不存在A和B都向左運動且B的速度大于A而與A相撞的可能（證明略，只指出一點：如果A正在向左運動，表明前一次碰撞發(fā)生在A和B之間），這意味著在碰撞前p(t)處于x軸上或是在它的下方。碰撞前后動量守恒，即
MV(t)+mv(t) = C
其中C在碰撞前后是個常數(shù)。如果將上式兩邊都除以MW/k，我們得到
kV(t)/W+v(t)/(kW) = kC/(MW)
也即碰撞前后
kx(t)+y(t) = kC/(MW)
上式等式的右邊還是一個常數(shù)。這意味著碰撞前后的p(t)在同一條斜率為-k的直線上。綜合上述結論，碰撞前后的p(t)的圖像變化應該如下圖所示，其中虛線的斜率為-k。
物體A和物體B的碰撞
于是我們就得到了整個過程中p(t)變換模式：從點(1, 0)開始（對應著B剛開始以速度W向左運動，還未撞上A時的狀態(tài)），交替地以斜率為-k的直線和以平行于y軸的直線成之字形在圓周上截出的點。下圖是k=3時的情形。每一條藍色虛線段代表一次碰撞，箭頭方向則代表了此次碰撞前后系統(tǒng)狀態(tài)（即點p(t)）轉換的方向。
k=3時的圖像
于是碰撞次數(shù)就是藍色虛線段的數(shù)量，或者說是圓周上的p(t)圖像的點數(shù)減1。這樣，一個物理問題被轉化為一個幾何問題：從點(1, 0)開始，按照上述方法，交替地以斜率為-k的直線和以平行于y軸的直線成之字形在圓周上截出的點會有幾個？而這個問題，即便從直覺上也可以感到它會和圓周率π很有關系。
順便要指出的是，我們發(fā)現(xiàn)轉換后的問題僅和k的值有關，或者說僅和物體B和物體A的質量比有關，而和物體A和物體B的具體質量、初始的推動速度W或是物體A和墻的距離等值無關。
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