看點(diǎn) 數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)有什么用？數(shù)學(xué)的樂趣在哪里？大多數(shù)人學(xué)了十幾年數(shù)學(xué)都無法回答。哥大博士、藤校教授、專業(yè)數(shù)學(xué)家保羅·洛克哈特，“下沉”教授中小學(xué)數(shù)學(xué)課四十一年，他如何看待傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課？如何把數(shù)學(xué)還給數(shù)學(xué)課？他的經(jīng)歷又對(duì)學(xué)校教育有哪些普遍的啟發(fā)？近日，外灘特約作者、上海民辦平和學(xué)校IBDP TOK教師瞿逸冰與保羅進(jìn)行了對(duì)話。
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文丨瞿逸冰 編丨Luna
“我完全不想聊學(xué)校?！北Ａ_·洛克哈特（Paul Lockhart）說。
屏幕另一端，作為采訪者的我有點(diǎn)尷尬，因?yàn)槲业牟稍L提綱中列了很多學(xué)校教育的問題。
在采訪前，我知道因?yàn)楸Ａ_的背景、經(jīng)歷、和作品，讓很多美國(guó)人將其視為教育的救兵。保羅是專業(yè)數(shù)學(xué)家，哥倫比亞大學(xué)博士，加州大學(xué)伯克利分校和布朗大學(xué)的教授。
他是學(xué)校的逃兵。在很多場(chǎng)合，他都直言不諱地說，“我從來沒有享受過一節(jié)數(shù)學(xué)課”。大學(xué)只讀了一學(xué)期，他旋即退學(xué)，自己鉆研數(shù)學(xué)。
保羅·洛克哈特
保羅不是只會(huì)批評(píng)的務(wù)虛派，至今他已經(jīng)教了41年數(shù)學(xué)課。大學(xué)退學(xué)后，他就一直兼職中小學(xué)數(shù)學(xué)家教，用自己學(xué)數(shù)學(xué)的方式教數(shù)學(xué)。2000 年，他決定系統(tǒng)地教，于是“下沉”到紐約布魯克林的圣安學(xué)校，這所學(xué)校從幼兒園到高中都有，保羅每個(gè)年級(jí)都教。
此外，他還出版了三本書《一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息》、《度量》、《極簡(jiǎn)算術(shù)史》，每一本都在亞馬遜暢銷榜上。
《一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息》在美國(guó)教育界引發(fā)了特別的轟動(dòng)。斯坦福教授、Coursera熱門課《數(shù)學(xué)思維導(dǎo)論》主講人德夫林（Keith Devlin）曾評(píng)論說，這本書是他認(rèn)為對(duì)K12數(shù)學(xué)教育最好的批評(píng)。
藤校教授，中小學(xué)，數(shù)學(xué)課。
數(shù)學(xué)課，如此重要卻好像天然與有趣為敵。保羅認(rèn)為數(shù)學(xué)是什么？應(yīng)該怎么上課？這樣一個(gè)實(shí)踐者又為什么不愿意談學(xué)校呢？
四月的最后一天早晨，我和保羅進(jìn)行了一場(chǎng)對(duì)話。
保羅（左）與本文作者瞿逸冰（右）
“為什么很多人都不喜歡數(shù)學(xué)？”
喜歡數(shù)學(xué)常常和高智商人群聯(lián)系在一起，因此，我只好躲在“很多人”這個(gè)詞背后，代表自己?jiǎn)柋Ａ_。
不過，出乎意料，數(shù)學(xué)家保羅倒是很理解這種不喜歡，因?yàn)樗膊幌矚g，“數(shù)學(xué)課上根本沒有數(shù)學(xué)”。
保羅有個(gè)絕佳的類比，他稱之為“音樂家的噩夢(mèng)”。
想象有一天，音樂成了學(xué)校里最重要的那門課。
我們都知道，音樂家用音樂的語(yǔ)言說話，這種語(yǔ)言由奇怪的“黑色豆芽菜”和線條構(gòu)成。因此，專家們決定，小學(xué)到高中的音樂課，首要任務(wù)就是幫助學(xué)生熟練掌握這門語(yǔ)言的規(guī)則。
一個(gè)小學(xué)生不堪其苦，吐槽說：
“音樂課就是我們拿出五線譜紙，老師在黑板上寫下一些音符，然后我們抄寫下來，或是轉(zhuǎn)換成其他調(diào)。我們必須確定譜號(hào)和調(diào)號(hào)的正確性，而我們的老師對(duì)于四分音符是否涂滿，要求非常嚴(yán)格。有一次我在半音階的測(cè)驗(yàn)題中答對(duì)了，老師卻沒給我分?jǐn)?shù)，說我把音符的符干擺錯(cuò)了方向。”
而較高年級(jí)的學(xué)生，必須為標(biāo)準(zhǔn)化的測(cè)驗(yàn)和大學(xué)入學(xué)考試做準(zhǔn)備，學(xué)習(xí)音階和調(diào)式、拍子、和聲、復(fù)調(diào)等課程。
老師們說，“他們得學(xué)習(xí)一大堆東西，但是等到大學(xué)他們終于聽到這些東西，他們將會(huì)很感激在高中所做的這些努力?！?/p>
當(dāng)然，大學(xué)里主修音樂的學(xué)生并不多，而一直到研究生階段，大家才開始被允許欣賞和創(chuàng)作。只有少數(shù)人才聽過音樂。
即使如此，專家們堅(jiān)持認(rèn)為，讓社會(huì)上每個(gè)人都知道什么是轉(zhuǎn)調(diào)、什么是賦格是很重要的。
有一絲荒謬？
還好，這不是音樂教育的現(xiàn)實(shí)，不過很遺憾，這是數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)。
保羅說，不否認(rèn)，凡事都需要練習(xí)，但是練習(xí)不是目的。
現(xiàn)在的學(xué)?；ㄌ嗔庠诮淌跀?shù)學(xué)的“規(guī)則”上，比如概念、公式、技巧等等，而忽視了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。
英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（G.H. Hardy）認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)科，“一位數(shù)學(xué)家，就像一位畫家或詩(shī)人，是模式（pattern）的創(chuàng)造者。如果他的模式比畫家或詩(shī)人的模式能留存得更久，那是因?yàn)檫@些模式是用理念（ideas）創(chuàng)造出來的。”
作為一門伴隨人類兩萬(wàn)年的學(xué)科，每個(gè)人當(dāng)然有能力做數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)。
“如果你覺得一個(gè)小學(xué)生可以寫莎士比亞讀后感，為什么他就不能對(duì)數(shù)學(xué)提點(diǎn)看法？”保羅說。
2000年的時(shí)候，保羅來到紐約市布魯克林區(qū)的圣安學(xué)校，開始系統(tǒng)教授幼兒園到高三數(shù)學(xué)。
這所學(xué)校和保羅是一代人。1965年，一群熱愛詩(shī)歌、戲劇、藝術(shù)的嬉皮士，不想讓孩子接受工業(yè)社會(huì)的標(biāo)準(zhǔn)化教育，開辦了這所學(xué)校。
圣安學(xué)校
著名學(xué)者戴錦華曾說，二十世紀(jì)六十年代“是理想主義處在最高峰和最強(qiáng)音的時(shí)代”，馬丁·路德·金、圣雄甘地、切·格瓦拉、甲殼蟲樂隊(duì)都是那個(gè)時(shí)代的面孔。
一個(gè)理想主義者，一所理想主義學(xué)校，全新的數(shù)學(xué)課就這么開始了。
在保羅眼里，數(shù)學(xué)家的藝術(shù)就是：對(duì)于我們想象的創(chuàng)造物提出簡(jiǎn)單而直接的問題，然后制作出令人滿意又美麗的解釋。
把數(shù)學(xué)還給數(shù)學(xué)課，保羅做了這兩點(diǎn)：
1. 選擇有趣，而不是有用的問題
你猜，YouTube上最火的數(shù)學(xué)視頻是關(guān)于什么的？
貸款利息？中獎(jiǎng)概率？人工智能？
都不是。
這個(gè)視頻討論的問題很簡(jiǎn)單：
與生活毫無聯(lián)系的問題，但足夠讓網(wǎng)友著迷。
學(xué)校的數(shù)學(xué)課就缺少這種純粹的樂趣。
近幾十年來，數(shù)學(xué)教育不斷改變，很多人想讓數(shù)學(xué)變得更有趣、更實(shí)用。
比如，我們會(huì)讓小學(xué)生計(jì)算貸款利息，覺得這就是真實(shí)世界、貼近生活，但是作為一個(gè)看到貸款利息就頭暈的成年人，你覺得孩子真的會(huì)對(duì)復(fù)利感興趣嗎？
又比如，一個(gè)小學(xué)代數(shù)問題，“如果我們知道瑪麗現(xiàn)在的年齡是她七年前年齡的兩倍，你能算出來她現(xiàn)在的年齡嗎？”
看似很日常，實(shí)則牽強(qiáng)。難道有人會(huì)知道一個(gè)人“現(xiàn)在的年齡是她七年前年齡的兩倍”，卻不知道她的實(shí)際年齡嗎？
在保羅看來，數(shù)學(xué)課在強(qiáng)行創(chuàng)造與生活的聯(lián)系，而“數(shù)學(xué)的有趣之處，就在與我們的生活完全無關(guān)！”
如果你的手邊正好有筆和紙。請(qǐng)你在紙上畫任意一個(gè)四邊形，取各條邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)起來。
出現(xiàn)了什么？
一個(gè)平行四邊形。
請(qǐng)你多嘗試幾次。
你會(huì)發(fā)現(xiàn)，不管原來是什么樣的四邊形，他們四邊中點(diǎn)所連成的封閉圖形總是一個(gè)平行四邊形。
“這太令人驚訝了，”盡管已經(jīng)是專業(yè)數(shù)學(xué)家，保羅還是會(huì)為這樣的事實(shí)感到激動(dòng)，因?yàn)?strong>“數(shù)學(xué)就是原始的創(chuàng)造力和美學(xué)的感受力”。
多畫幾次，不用啟發(fā)式提問、不用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，更多的問題馬上就會(huì)隨之出現(xiàn)，是否總是一個(gè)平行四邊形？為什么總是一個(gè)平行四邊形？
簡(jiǎn)單、明確、沒有用，但這就是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就是想知道、玩耍、娛樂自己。
2. 忘記技巧、公式、概念，讓孩子做數(shù)學(xué)
如圖，在長(zhǎng)方形中有，一個(gè)三角形，我怎么知道這個(gè)三角形的面積是長(zhǎng)方形的多少呢？
如何知道答案？我們?cè)囍駡D上那樣，用一條線把長(zhǎng)方形切成兩半。
可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)部分都正好被三角形的斜邊均等切開，所以三角形里面和外面的空間是相等的。
也就是說，這個(gè)三角形一定是正好占了長(zhǎng)方形的一半！
這就是數(shù)學(xué)家的藝術(shù)！
保羅說，數(shù)學(xué)就是對(duì)于我們想象的創(chuàng)造物提出簡(jiǎn)單而直接的問題，然后制作出令人滿意又美麗的解釋。
“沒有其他事物能達(dá)到如此純粹的概念世界；如此令人著迷、充滿趣味，而且不花半毛錢！”
保羅的課上，就這么玩數(shù)學(xué)。
他最喜歡給低年級(jí)上課，因?yàn)樗麄兘邮艿膶W(xué)校數(shù)學(xué)訓(xùn)練不多，因此還保持著很大的興趣。
“沒有小孩不喜歡數(shù)學(xué)”，保羅說。
和低年級(jí)的學(xué)生一起，他們玩各種游戲、做各種嘗試。
比如，一起擺弄小石子，就像古巴比倫人一樣。
有些數(shù)量的小石子能排齊、一對(duì)一對(duì)的，有些則不能，總是會(huì)有一顆石子沒有同伴。所有的孩子都能在這時(shí)發(fā)現(xiàn)，能不能排齊，可以作為一種數(shù)的性質(zhì)。
在教科書上，我們稱之為奇偶數(shù)，但是在保羅的課上，你可以自己命名，因?yàn)檫@是你的發(fā)現(xiàn)。
“數(shù)學(xué)家們最不在乎的就是概念的名字，”保羅說，所有的名字只是當(dāng)時(shí)的人做出的選擇而已。
而學(xué)校的數(shù)學(xué)過于強(qiáng)調(diào)技巧、概念，重視“什么”而不是“為什么”，偉大的問題、問題的歷史、創(chuàng)意的過程，這些數(shù)學(xué)的背景，也隨之消失。
在保羅看來，真正的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是：
丟給學(xué)生一個(gè)好的問題，讓他們花力氣去解決并嘗到挫折，看看他們能得到什么。直到他們亟須一個(gè)想法時(shí)，再給他們一些技巧，但是不要給太多。
作為一個(gè)不用考試的成年人，我當(dāng)然覺得保羅的課非常有趣。但學(xué)校是有節(jié)奏的、家長(zhǎng)是有要求的，于是我問，“家長(zhǎng)都認(rèn)可你的課嗎？”
“三分之一的家長(zhǎng)非常喜歡，三分之一非常不喜歡?！北Ａ_很誠(chéng)實(shí)。
有次，保羅在學(xué)校為家長(zhǎng)們做課程介紹，他的同事聽到走廊外家長(zhǎng)們的議論：“教這些東西，考試又不考，這些孩子將來能上藤校嗎？”
保羅苦笑：“我就是藤校教授，上了藤校不是還是得和我學(xué)？”
保羅很受美國(guó)教育界的矚目。很多數(shù)學(xué)老師寫信給他，說自己也想改變，希望把數(shù)學(xué)課教得像他一樣有趣。
但是他知道，自己的課從來不是什么創(chuàng)新課堂的方法論，而是特定環(huán)境下奢侈品。
保羅說，有一次他的朋友去參觀一所學(xué)校，給他發(fā)了張學(xué)校的宣傳圖，圖上有三個(gè)齒輪卡在一起，分別寫著學(xué)生、家長(zhǎng)、學(xué)校。
學(xué)校本意是想表示三者的緊密關(guān)系，但是從工程學(xué)的角度說，這些齒輪都沒法動(dòng)起來。
“這是一個(gè)極好的學(xué)校系統(tǒng)的隱喻，”保羅大笑。
四十一年的教學(xué)經(jīng)歷讓保羅認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)課與真正的數(shù)學(xué)漸行漸遠(yuǎn)。學(xué)生、學(xué)校、家長(zhǎng)，都被困在這個(gè)既有體系里，很難改變?？v使教育學(xué)者們?nèi)绾蜗胍岣邔W(xué)生的興趣，也因?yàn)閿?shù)學(xué)課的本質(zhì)已變，也就不能治本。
因此，接到中小學(xué)數(shù)學(xué)老師們的求助，他總是先問，你的學(xué)校給你多大的空間？如果沒有，那建議還是不要改變。
作為一個(gè)老師，盡管對(duì)方是一個(gè)數(shù)學(xué)家，而且明顯地不愛聊學(xué)校教育。我還是請(qǐng)他給點(diǎn)建議。
近幾年來，清北等名校博士選擇去中學(xué)教書。很多人都在討論，這是不是一種浪費(fèi)？
論學(xué)歷、論背景，藤校博士加教授，保羅算是頂配。所以我很想知道，教了二十多年中小學(xué)，他認(rèn)為學(xué)校到底需要怎樣的老師？
“博士們應(yīng)該去教中小學(xué)嗎？”我問。
保羅哈哈大笑，說他認(rèn)識(shí)非常多的數(shù)學(xué)家，好像他們都不太適合教中小學(xué)，教書的背后是人與人之間的聯(lián)系，但其實(shí)“很多研究者都不會(huì)和人交流”。
不過，保羅說，博士們或者專家的好處在于，更懂學(xué)科、也更熱愛學(xué)科。
這很重要。很多時(shí)候，學(xué)生感受不到學(xué)科的樂趣，是因?yàn)槔蠋焸円哺惺懿坏健?/strong>
現(xiàn)實(shí)中，美國(guó)教師的門檻不高，中小學(xué)老師只是一種職業(yè)選擇。特別是在接受政府補(bǔ)助的學(xué)校，大多數(shù)小學(xué)老師只有本科學(xué)歷。
而且，由于美國(guó)大多學(xué)校在小學(xué)階段實(shí)行全科教學(xué)，即一個(gè)老師上語(yǔ)言、數(shù)學(xué)、科學(xué)等所有課程，這些大學(xué)畢業(yè)生們的專業(yè)還不一定是數(shù)學(xué)。
“我接觸到的相當(dāng)一部分小學(xué)老師，都以為數(shù)學(xué)等于算數(shù)?！北Ａ_說。
作為一名貫穿所有學(xué)段的老教師，保羅總結(jié)，教學(xué)最大的美德是熱情和誠(chéng)實(shí)。老師們應(yīng)該展現(xiàn)作為人的自我，而不是教科書或者教育系統(tǒng)的代言人。
作為一個(gè)真實(shí)的人，他會(huì)好奇、會(huì)困惑、會(huì)承認(rèn)自己的無知，不會(huì)永遠(yuǎn)知道答案，也因此會(huì)對(duì)學(xué)生的思考有更多耐心。
從這個(gè)意義上講，名校博士進(jìn)中小學(xué)，最大的意義不是更高的權(quán)威走進(jìn)了課堂，而在于博士們見識(shí)過知識(shí)的浩瀚與不確定、觸碰過學(xué)科的邊界，這種經(jīng)歷往往讓人更加謙虛。
把數(shù)學(xué)還給數(shù)學(xué)課，把真實(shí)還給教師。
躬身入局四十一年，保羅總結(jié)出這兩個(gè)樸素的建議。看起來容易，但似乎很難做到。
“下一步準(zhǔn)備做什么呢？”我問。
“寫書?！?/p>
保羅說，教課只能影響很少一部分的學(xué)生，但是寫書卻能影響很多人。
現(xiàn)實(shí)中，我們很難遇到、或很難成為保羅這樣的老師。但至少，我們可以誠(chéng)實(shí)一些，承認(rèn)教師和學(xué)校的邊界，釋放一些學(xué)生的時(shí)間，讓他們讀讀保羅的書。
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