在動(dòng)量守恒的考題里面，一旦帶有彈簧，往往題目的檔次就不一般。因?yàn)閺椈赡Ｐ湍軌虺晒Π褎?dòng)力學(xué)、功能、動(dòng)量三個(gè)模塊的知識(shí)凝聚在一起。

高中階段的彈簧，絕大多數(shù)都是輕彈簧，質(zhì)量忽略不計(jì)，無論速度多大，動(dòng)量都忽略不計(jì)。所以，對(duì)于下圖所示的模型，

輕彈簧

從動(dòng)量的角度出發(fā)：說A、B、彈簧三者動(dòng)量守恒，跟說AB兩者動(dòng)量守恒是一回事；

從能量的角度出發(fā)：盡管彈簧質(zhì)量為零，但彈性勢(shì)能是我們考察的一個(gè)重要方面。

閑話少說，我們直奔主題。

一.彈簧對(duì)兩端物體的作用

我們研究下面的模型。

彈簧對(duì)兩端物體的作用

AB兩物塊質(zhì)量分別為M、m，放置在光滑水平面上，中間有一個(gè)壓縮的彈簧，彈簧與AB不栓接，AB之間還連接一根繩，現(xiàn)在把繩子剪斷，我們研究的是繩子剪斷之后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過程對(duì)AB兩物體的作用。

1.力

彈簧彈力只跟自身形變有關(guān)，故無論兩端物體的質(zhì)量是否相同，彈簧對(duì)兩端物體的力的大小都是相等的，而且是每時(shí)每刻都相等。

2.兩物體脫離彈簧的時(shí)間

由于彈簧對(duì)兩端物體的力大小每時(shí)每刻都相等，故假如A在某一時(shí)刻脫離了彈簧，即彈簧對(duì)A的力為零，那么，彈簧此時(shí)對(duì)B的力也為零，B也在此時(shí)脫離彈簧。

所以，兩物體脫離彈簧一定是在同一時(shí)刻。

只要彈簧還處于壓縮狀態(tài)，對(duì)兩物體都有力，兩物體都還在加速；當(dāng)彈力為零物體脫離彈簧的時(shí)刻，兩物體的速度同時(shí)達(dá)到最大。

3.加速度

彈力相同，但兩物體質(zhì)量不一定相同，故兩物體的加速度不一定相同；質(zhì)量大的加速度小。

4.動(dòng)量

兩物體水平方向動(dòng)量守恒，又由于初始動(dòng)量為零，故兩物體在運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)量方向相反、大小相等。

5.速率

兩物體動(dòng)量大小相等，由p=mv可知，由于兩物體質(zhì)量不一定相同，故速率也不一定相同；在某一時(shí)刻，質(zhì)量大的速率小。

6.兩物塊的動(dòng)量變化

彈簧對(duì)兩物體每時(shí)每刻彈力的大小相等，力的作用時(shí)間也相同，故彈力的沖量大小相等，也即兩物體動(dòng)量變化的大小相等。

也可以從守恒的角度來分析，兩物體初始動(dòng)量為零，末動(dòng)量即為動(dòng)量變化；由于兩物體動(dòng)量大小相等，故動(dòng)量變化大小相等。

7.機(jī)械能

兩物體和彈簧組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒。

例1:在光滑水平地面上有靜止的物體A和B，兩物體間有壓緊的輕質(zhì)彈簧。A的質(zhì)量是B的2倍．把連接物體的細(xì)繩剪斷，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)（ ）

A. A受到的合力大于B受到的合力

B. A的速率是B的速率的一半

C. A的加速度大于B的加速度

D. A的動(dòng)量是B的動(dòng)量的兩倍

例1配圖

解析：相信有上面的講解，同學(xué)們突破這道題并不難了。

A選項(xiàng)：分別對(duì)兩物體，彈簧彈力就是合力，應(yīng)該是合力相等。A選項(xiàng)錯(cuò)誤。

B選項(xiàng)：A質(zhì)量是B的兩倍，所以速率應(yīng)該A是B的一半。B選項(xiàng)正確。

C選項(xiàng)：A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量，故 A的加速度小于B的加速度。C選項(xiàng)錯(cuò)誤。

D選項(xiàng)：AB動(dòng)量大小相等。D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

本題選B。

例2：如圖所示，A、B兩物體質(zhì)量m_A=2m_B，水平面光滑，當(dāng)燒斷細(xì)線后（原來彈簧被壓縮），則下列說法正確的是（ ）

A．彈開過程中A的速率小于B的速率

B．彈開過程中A的動(dòng)量小于B的動(dòng)量

C．A、B同時(shí)達(dá)到最大速度

D．當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，兩物體同時(shí)脫離彈簧

例2配圖

解析：這道題目也不難。

A選項(xiàng)：A質(zhì)量大，速率小。A選項(xiàng)正確。

B選項(xiàng)：AB動(dòng)量大小相等。B選項(xiàng)錯(cuò)誤。

CD選項(xiàng)：根據(jù)前面的講解，CD都正確。

本題選ACD。

二.含彈簧的經(jīng)典的類碰撞模型

我們考察一下下面的模型。

一個(gè)經(jīng)典的類碰撞模型

問題情境：AB質(zhì)量分別為M、m，放置在光滑水平面上，B的左側(cè)栓接一根彈簧，A以一初速度v向B運(yùn)動(dòng)。這樣的整個(gè)過程既滿足動(dòng)量守恒，也滿足機(jī)械能守恒。

我們研究是重點(diǎn)是：在壓縮彈簧和彈簧恢復(fù)原狀的過程中系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)和功能的變化特點(diǎn)。這一點(diǎn)對(duì)提高解題水平大有幫助。

1.A壓縮彈簧過程

A壓縮彈簧的過程中，彈簧對(duì)A的力向左，A減速；彈簧對(duì)B的力向右，B加速；如圖所示。

A壓縮彈簧過程，受力特點(diǎn)及速度變化

但只要A的速度還比B的速度大，彈簧就會(huì)被繼續(xù)壓縮，彈性勢(shì)能就繼續(xù)增大。

2.彈簧壓縮到最短

當(dāng)A的速度減小、B的速度增大至兩者速度相等時(shí)，之后彈簧就不會(huì)被繼續(xù)壓縮了，彈簧壓縮量此時(shí)達(dá)到最大，彈性勢(shì)能最大。

對(duì)于這樣的經(jīng)典類碰撞問題，同學(xué)們把結(jié)論記好：共速時(shí)彈性勢(shì)能最大。

3.彈簧恢復(fù)原狀過程

彈簧由最大壓縮狀態(tài)恢復(fù)原狀的過程，對(duì)A的力向左，A會(huì)繼續(xù)減速，對(duì)B的力向右，B會(huì)繼續(xù)加速；由于A的速度小于B的速度，彈簧會(huì)逐漸恢復(fù)原狀，如圖所示。

彈簧恢復(fù)原狀過程，受力特點(diǎn)及速度變化

但只要彈簧還沒完全恢復(fù)原狀，B就始終受到向右的力，就始終處于加速狀態(tài)，直到彈簧恢復(fù)原狀為止。

所以，當(dāng)彈簧恢復(fù)原狀時(shí)，B的速度最大。

例3：如圖所示，位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q都可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量相等，都為m。 Q與輕質(zhì)彈簧相連．設(shè)Q靜止，P以初速度v₀向Q運(yùn)動(dòng)并與彈簧發(fā)生碰撞。

（1）在整個(gè)碰撞過程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能是多少？

（2）彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，P的動(dòng)能是多少？

例3配圖

解析：設(shè)置這道題，更多是為了起到示范作用，有了前面關(guān)于模型的講解，這道題目本身并不難。我直接附上解題過程。

例3解析過程

我們繼續(xù)整個(gè)類碰撞問題的模型講解?，F(xiàn)在加個(gè)條件：假如A接觸彈簧之后能夠迅速和彈簧連接。

我們剛才分析到了彈簧第一次恢復(fù)原狀，現(xiàn)在繼續(xù)向后分析，小標(biāo)題我延續(xù)剛才的序號(hào)。

4.彈簧第一次恢復(fù)原狀后

彈簧恢復(fù)原狀后，由于此時(shí)A的速度小于B的速度，之后，彈簧將處于伸長(zhǎng)狀態(tài)。如圖所示。

彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)后，受力及速度特點(diǎn)

此時(shí)，彈簧彈力對(duì)B是阻力，B將減速；彈簧由壓縮最短到第一次恢復(fù)原長(zhǎng)再到伸長(zhǎng)的過程中，A將經(jīng)歷先減速再加速的過程。隨著彈簧伸長(zhǎng)量增大，彈性勢(shì)能逐漸增大。

5.彈簧伸長(zhǎng)到最長(zhǎng)

當(dāng)A加速、B減速至AB速度相等時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量達(dá)到最大（因?yàn)橹驛的速度就大于B的速度，彈簧會(huì)逐漸恢復(fù)原狀），彈性勢(shì)能達(dá)到最大。

由動(dòng)量守恒列方程的時(shí)候，無論是彈簧壓縮到最短時(shí)，還是伸長(zhǎng)到最長(zhǎng)時(shí)，方程的形式是一樣的，解出來的AB的共同速度也是一樣的。

再根據(jù)機(jī)械能守恒，彈簧壓縮最短和伸長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，最大的彈性勢(shì)能是一樣的。

6.彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)的過程

彈簧由伸長(zhǎng)到再次恢復(fù)原長(zhǎng)的過程，受力和速度特點(diǎn)如下圖所示。