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模型研究 | 面積系列之鉛垂法

昵稱47813312 >《初中數(shù)學(xué)》

2019.11.15

關(guān)注

求三角形的面積是幾何題中常見(jiàn)問(wèn)題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補(bǔ)、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問(wèn)題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．

問(wèn)題描述

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7)，求△ABC的面積．

【分析】顯然對(duì)于這樣一個(gè)位置的三角形，面積公式并不太好用，割補(bǔ)倒是可以一試，比如這樣：

構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個(gè)三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補(bǔ)”，

同樣可以采用“割”：

此處AE+AF即為A、B兩點(diǎn)之間的水平距離．

由題意得：AE+BF=6．

下求CD：

根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線AB解析式為：

由點(diǎn)C坐標(biāo)（4,7）可得D點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，

將4代入直線AB解析式得D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，

故D點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2），CD=5,

綜上，S=0.5×6×5=15．

鉛垂法

方法總結(jié)

作以下定義：

（1）水平寬：A、B兩點(diǎn)之間的水平距離；

（2）鉛垂高：過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線與AB交點(diǎn)為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．

如圖可得：

【解題步驟】

（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；

（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；

（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；

（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；

（5）利用公式求得三角形面積．

真題演練

2019海南中考（刪減）

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過(guò)A(-5,0)、B(-4,-3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值．

【分析】

（1）y=x2+6x+5；

（2）取BC兩點(diǎn)之間的水平距離為水平寬，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，則PQ即為鉛垂高．

根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得AC=4，

根據(jù)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線BC解析式：y=x+1，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2+6m+5），

則點(diǎn)Q（m，m+1），

得PQ=-m2-5m-4，

考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積就最大．

【小結(jié)】選兩個(gè)定點(diǎn)作水平寬，設(shè)另外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示鉛垂高．

【思考】如果第3個(gè)點(diǎn)的位置不像上圖一般在兩定點(diǎn)之間，如何求面積？

鉛垂法大全

鉛垂法其實(shí)就是在割補(bǔ)，重點(diǎn)不在三個(gè)點(diǎn)位置，而是取兩個(gè)點(diǎn)作水平寬之后，能求出其對(duì)應(yīng)的鉛垂高！因此，動(dòng)點(diǎn)若不在兩定點(diǎn)之間，方法類似：

（1）取AB作水平寬，過(guò)點(diǎn)C作鉛垂高CD．

（2）取AC作水平寬，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸交直線AC于點(diǎn)D，BD即對(duì)應(yīng)的鉛垂高，

（3）取BC作水平寬，過(guò)點(diǎn)A作鉛垂高AD．

甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高．

（4）取BC作水平寬，過(guò)點(diǎn)A作鉛垂高AD．

（5）取AC作水平寬，過(guò)點(diǎn)B作鉛垂高BD．

（6）取AB作水平寬，過(guò)點(diǎn)C作鉛垂高CD．

說(shuō)這么多做法也不是要記住的，基本上從(3)開(kāi)始往后都是用不上的，

那為啥還要看這些？

看都看了，又何必再問(wèn)為什么了……

真題演練

2019綿陽(yáng)中考（刪減）

在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2（a>0）的圖像向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），OA=1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5．

（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖像下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

【分析】

（1）拋物線解析式：y=0.5x2-x-1.5；

一次函數(shù)解析式：y=0.5x+0.5．

（2）顯然，當(dāng)△ACE面積最大時(shí)，

點(diǎn)E并不在AC之間．

已知A（-1,0）、C（0,0.5），

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，0.5m2-m-1.5），

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交直線AD于F點(diǎn)，

則F點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，

代入一次函數(shù)解析式得F（m，0.5m+0.5），