【本講教育信息】
一. 教學內(nèi)容：
勻速圓周運動問題歸納
二. 學習目標：
1、理解線速度、角速度和周期的概念和它們之間的關系。
2、理解向心力和向心加速度的概念。
3、掌握向心力和向心加速度的公式，會解決有關問題。
考點地位：
圓周運動是機械運動中一種典型的曲線運動，本部分內(nèi)容是高考考查的重點和難點，水平面內(nèi)的勻速圓周運動以考查圓周運動的基本規(guī)律及其應用為主，2006年上海理綜卷的第12題，2005年上海卷的第23題，出題的形式多以選擇題的形式出現(xiàn)，豎直面內(nèi)的非勻速圓周運動以考查受力分析，臨界條件、極值、向心力公式為主，如2007年全國Ⅱ卷的第23題，這部分內(nèi)容的綜合性很強，常和以后我們所學的機械能守恒及功能關系相互聯(lián)系，從知識體系上又是以后學習帶電粒子在磁場中圓周運動問題的基礎，出題形式以計算題目形式為主。
三. 重難點解析：：
（一）勻速圓周運動的基本概念：
1. 勻速圓周運動的定義
質點沿圓周運動，如果在相等的時間里通過的圓弧長度相等，這種運動叫做勻速圓周運動。
2. 描述勻速圓周運動快慢的物理量
（1）線速度v
①物理意義：描述質點沿圓周運動的快慢。
②定義：質點做圓周運動通過的弧長s和所用時間t的比值叫做線速度。
③大?。?/span>
④方向：質點在圓周某點的線速度方向沿圓周上該點的切線方向。
由于質點做勻速圓周運動時的速度方向不斷發(fā)生變化，所以勻速圓周運動是一種變速運動。
（2）角速度
①物理意義：描述質點轉過圓心角的快慢。
②定義：在勻速圓周運動中，連接運動質點和圓心的半徑轉過的角度
③大?。?/span>
④勻速圓周運動是角速度不變的圓周運動。
（3）周期T和頻率f
①物理意義：周期和頻率都是描述物體做圓周運動快慢的物理量。
②定義：做圓周運動的物體運動一周所用的時間叫做周期。用T表示，單位：s。
做圓周運動的物體在單位時間內(nèi)沿圓周繞圓心轉過的圈數(shù)叫做頻率。用f表示，單位：Hz。在國際單位制中是
3. 線速度、角速度、周期之間的關系
（1）線速度和角速度間的關系
如果物體沿半徑為r的圓周做勻速圓周運動，在時間t內(nèi)通過的弧長是s，半徑轉過的角度是
上式表明：①當半徑相同時，線速度大的角速度也大，角速度大的線速度也大，且成正比。如圖（a）所示。②當角速度相同時，半徑大的線速度大，且成正比。如圖（b）所示。③當線速度相同時，半徑大的角速度小，半徑小的角速度大，且成反比。如圖（c）、（d）所示。
（2）線速度與周期的關系
由于做勻速圓周運動的物體，在一個周期內(nèi)通過的弧長為
上式表明，只有當半徑相同時，周期小的線速度大；當半徑不同時，周期小的線速度不一定大，所以周期與線速度描述的快慢是不一樣的。
（3）角速度與周期的關系
由于做勻速圓周運動的物體，在一個周期內(nèi)半徑轉過的角度為
上式表明，角速度與周期一定成反比，周期大的角速度一定小。
（4）考慮頻率f，則有：
（二）向心力及向心加速度：
1. 向心力
（1）定義：做勻速圓周運動的物體受到的合外力總是指向圓心的，這個力叫做向心力。
說明：①向心力是按力的作用效果來命名的力。它不是具有確定性質的某種力，相反，任何性質的力都可以作為向心力，例如，小鐵塊在勻速轉動的圓盤內(nèi)保持相對靜止的原因是靜摩擦力充當向心力；若圓盤是光滑的，就必須用細線拴住小鐵塊，才能保證小鐵塊同圓盤一起做勻速轉動，這時向心力是由細線的拉力提供的。②向心力的作用效果是改變線速度的方向。做勻速圓周運動的物體所受的合外力即為向心力，它是產(chǎn)生向心加速度的原因，其方向一定指向圓心，是變化的（線速度大小變化的非勻速圓周運動的物體所受的合外力不指向圓心，它既要改變速度方向，同時也改變速度的大小，即產(chǎn)生法向加速度和切向加速度）。③向心力可以是某幾個力的合力，也可以是某個力的分力。例如，用細繩拴著質量為m的物體，在豎直平面內(nèi)做圓周運動到最低點時，其向心力由繩的拉力和物體的重力（
（2）大?。?/span>
（3）方向：總是沿著半徑指向圓心，方向時刻改變，所以向心力是變力。
2. 向心加速度
（1）定義：根據(jù)牛頓第二定律
（2）物理意義：描述線速度方向改變的快慢。
（3）大?。?/span>
（4）
（5）方向：總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻改變，不論加速度
說明：向心加速度不一定是物體做圓周運動的實際加速度，對于勻速圓周運動，其所受的合外力就是向心力，只產(chǎn)生向心加速度，因而勻速圓周運動的向心加速度是其實際加速度，對于非勻速圓周運動，例如豎直平面內(nèi)的圓周運動，如圖，小球的合力不指向圓心，因而其實際加速度也不指向圓心，此時的向心加速度只是它的一個分加速度。
3. 對勻速圓周運動的進一步理解
（1）勻速圓周運動的特點
線速度大小不變、方向時刻改變；角速度、周期、頻率都恒定不變；向心加速度和向心力大小都恒定不變，但方向時刻改變。
（2）勻速圓周運動的性質
①因線速度僅大小不變而方向時刻改變，是變速運動。
②因向心加速度僅大小恒定而方向時刻改變，是非勻變速曲線運動。
③勻速圓周運動具有周期性，即每經(jīng)過一個周期運動物體都要重新回到原來的位置，其運動狀態(tài)（如v、a大小方向）也要重復原來的情況。
④勻速圓周運動的物體所受外力的合力大小恒定，方向總是沿半徑指向圓心。
（3）質點做勻速圓周運動的條件
合外力的大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，勻速圓周運動僅是速度的方向變化而速度大小不變的運動，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做勻速圓周運動的物體所受的合外力。
【典型例題】
問題1、勻速圓周運動的各量關系的理解和運用：
例1 （2006·武漢模擬）某種變速自行車，有六個飛輪和三個鏈輪，如圖所示，鏈輪和飛輪的齒數(shù)如下表所示，前后輪直徑為
名稱 | 鏈輪 | 飛輪 | |||||||
齒數(shù)N/個 | 48 | 38 | 28 | 15 | 16 | 18 | 21 | 24 | 28 |
A.
答案：B
變式：
［考題4］如圖所示的皮帶傳動裝置中，右邊兩輪是連在一起同軸轉動，圖中三輪半徑的關系為：
解析：因為A、B兩輪由不打滑的皮帶相連，所以相等時間內(nèi)A、B兩點轉過的弧長相等，即
所以
再根據(jù)
答案：1：1：3 1：2：2 2：1：1
問題2、圓周運動的多解問題：
例2 如圖所示，半徑為R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉動，其正上方h處沿OB方向水平拋出一小球，要使球與盤只碰一次，且落點為B，則小球的初速度v=________，圓盤轉動的角速度
解析：（1）小球做平拋運動，在豎直方向上
又因為水平位移為R，所以球的速度
（2）在時間t內(nèi)盤轉過的角度
又因為
變式：
［考題6］如圖所示，小球Q在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，當Q球轉到圖示位置時，有另一小球P在距圓周最高點為h處開始自由下落，要使兩球在圓周最高點相碰，則Q球的角速度
解析：小球P做自由落體運動，至豎直線上的A點時，要與Q球相碰，需兩小球的運動時間相等，P球運動時間
設P球自由落體至圓周最高點的時間為t。
由自由落體運動規(guī)律有
Q球由圖示位置轉到最高點的時間也應是t，但Q球做勻速圓周運動，運動周期為T，由題意得
由
問題3、勻速圓周運動問題的動力學問題：
［考題6］如圖所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則下列說法中正確的是
A. A球的線速度必定大于B球的線速度
B. A球的角速度必定小于B球的角速度
C. A球的運動周期必定小于B球的運動周期
D. A球對筒壁的壓力必定大于B球對筒壁的壓力
答案：AB
變式：
［考題7］長為L的細線，拴一質量為m的小球，一端固定于O點，讓其在水平面內(nèi)做勻速圓周運動（這種運動通常稱為圓錐擺運動），如圖（a）所示，求擺線L與豎直方向的夾角為
（a） （b）
解析：（1）做勻速圓周運動的小球受力如圖（b）所示，小球受重力
因為小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，所以小球受到的合力指向圓心O′，且是水平方向。
由平行四邊形定則得小球受到的合力大小為
（2）由牛頓第二定律得
由幾何關系得
所以，小球做勻速圓周運動的線速度的大小為
（3）小球運動的角速度
小球運動的周期
問題4、勻速圓周運動中的臨界問題與極值問題：
［考題7］在光滑平面中，有一轉軸垂直于此平面，交點O的上方h處固定一細繩的一端，繩的另一端固定一質量為m的小球B，繩長
A.
答案：A
變式1：
［變式4］（2007·長沙重點中學質檢）如圖所示，輕桿的一端固定質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球做半徑為R的圓周運動，以下說法中正確的是
A. 小球過最高點時，桿所受的彈力可以等于零
B. 小球過最高點時的最小速度為
C. 小球過最高點時，桿對球的作用力可以與球所受重力方向相反，此時重力一定大于或等于桿對球的作用力
D. 小球過最高點時，桿對球的作用力一定與球所受重力方向相反
答案：AC
變式2、（2004年全國IV理綜卷第20題）
如圖所示，輕桿的一端有一個小球，另一端有光滑的固定軸O。現(xiàn)給球一初速度，使球和桿一起繞O軸在豎直面內(nèi)轉動，不計空氣阻力，用F表示球到達最高點時桿對小球的作用力，則F
A. 一定是拉力
B. 一定是推力
C. 一定等于0
D. 可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
答案：D。
【模擬試題】（答題時間：50分鐘）
1、質點做勻速圓周運動，則
A. 在任何相等的時間里，質點的位移都相等
B. 在任何相等的時間里，質點通過的路程都相等
C. 在任何相等的時間里，質點運動的平均速度都相同
D. 在任何相等的時間里，連接質點和圓心的半徑轉過的角度都相等
2、甲、乙兩個做圓周運動的質點，它們的角速度之比為3：1，線速度之比為2：3，那么下列說法中正確的是
A. 它們的半徑之比為2：9
B. 它們的半徑之比為1：2
C. 它們的周期之比為2：3
D. 它們的周期之比為1：3
3、廣州和烏魯木齊相比，由于地球自轉方向由西向東，每天早晨廣州要比烏魯木齊天亮得早，
（1）下列說法正確的是
A. 烏魯木齊一晝夜的時間要比廣州的一晝夜時間略長
B. 烏魯木齊一晝夜的時間要比廣州的一晝夜時間略短
C. 烏魯木齊一晝夜的時間與廣州的一晝夜時間都是24h
D. 無法確定
（2）由于地球自轉，該兩地所在處物體具有的角速度和線速度相比較
A. 烏魯木齊處物體的角速度大，廣州處物體的線速度大
B. 烏魯木齊處物體的線速度大，廣州處物體的角速度大
C. 兩處地方物體的角速度、線速度都一樣大
D. 兩處地方物體的角速度一樣大，但廣州處物體的線速度比烏魯木齊處物體線速度要大
4、如圖所示，A、B是兩只相同的齒輪，A被固定不能轉動，若B齒輪繞A齒輪運動半圈，到達圖中的C位置，是B齒輪上所標出的豎直向上的箭頭所指的方向是
A. 豎直向上 B. 豎直向下
C. 水平向左 D. 水平向右
5、機械表的時針和分針做圓周運動時
A. 分針角速度是時針的12倍
B. 分針角速度是時針的60倍
C. 如果分針的長度是時針長度的1.5倍，則分針端點的線速度是時針端點線速度的18倍
D. 如果分針的長度是時針長度的1.5倍，則分針端點的線速度是時針端點線速度的1.5倍
6、為了測定子彈的飛行速度，在一根水平放置的軸桿上固定兩個薄圓盤A、B，A、B平行相距
A.
7、如圖所示，豎直圓筒內(nèi)壁光滑，半徑為R，頂部有一入口A，在A的正下方h處有一出口B，一質量為m的小球從入口A處沿切線方向射入圓筒內(nèi)，要使小球恰能從B處飛出，求小球進入入口的速度v的表達式。
8、兩個小球固定在一根長為L的桿的兩端，并且繞桿上的O點做圓周運動，如圖所示，當小球A的速度為
9、如圖所示，在同一高度上有A、B兩物體，它們的質量分別為m和M，A物體在豎直面內(nèi)做勻速圓周運動，運動方向為逆時針方向，軌道半徑為R，同時B物體在恒力F作用下，從靜止開始做勻加速直線運動，運動方向向右，問：要使兩物體的速度相同，A物體做圓周運動的角速度
【試題答案】
1. B、D（質點做勻速圓周運動時，相等時間內(nèi)通過的圓弧長度相等，即路程相等，B項正確，此時半徑所轉過的角度也相等，D項正確，但由于位移是矢量，在相等時間里，質點位移大小相等，方向卻不一定相同，因此位移不一定相同，而平均速度也是矢量，雖然大小相等，但方向不盡相同，故A、C錯誤。）
2. A、D（由題意可得：
3. （1）C（2）D（烏魯木齊與廣州角速度相同，故一晝夜時間相同，均為24小時；兩處角速度相等，但是廣州比烏魯木齊半徑大，故廣州的線速度大）。
4. A （當B齒輪繞A齒輪轉動的同時，B輪上的各點也同時繞自身圓心運動。因為B輪繞A輪公轉半徑是B輪邊緣上各點繞自身圓心自轉半徑的2倍，所以當B輪繞A輪轉半圈時，B輪上箭頭所在點自轉了一周，箭頭仍向上，或者在A上也畫一豎直向上的箭頭，當B轉到任何位置時，兩個箭頭均以A、B兩輪接觸點的切線為軸對稱，你也可以用兩枚硬幣試試）
5. A、C（分針轉一周時間
6. C（子彈的速度
7.
8.
9.
線速度大小
B物體經(jīng)過相同的時間速度達到
而
則有
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