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題組一　對(duì)向心加速度及其公式的理解

1．如圖所示，細(xì)繩的一端固定，另一端系一小球，讓小球在光滑水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的加速度方向，下列圖中可能的是( )

2．關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是( )

A．由an＝可知，an與r成反比

B．由an＝ω2r可知，an與r成正比

C．由v＝ωr可知，ω與r成反比

D．由ω＝2πn可知，ω與n成正比

3.如圖1所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點(diǎn)的過(guò)程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么( )

A．加速度為零

B．加速度恒定

C．加速度大小不變，方向時(shí)刻改變，但不一定指向圓心

D．加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心

4．物體做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的向心加速度、角速度、線速度和周期分別為a、ω、v和T，則下列關(guān)系式正確的是( )

A．ω＝ B．v＝aR

C．a(chǎn)＝ωv D．T＝2π

題組二　向心加速度公式的有關(guān)計(jì)算

5．一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為4 m/s，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為2 s，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )

A．角速度為0.5 rad/s B．轉(zhuǎn)速為0.5 r/s

C．軌跡半徑為 m D．加速度大小為4π m/s2

6.如圖2所示，一小物塊以大小為a＝4 m/s2的向心加速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑R＝1 m，則下列說(shuō)法正確的是( )

A．小物塊運(yùn)動(dòng)的角速度為2 rad/s

B．小物塊做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為π s

C．小物塊在t＝ s內(nèi)通過(guò)的位移大小為 m

D．小物塊在π s內(nèi)通過(guò)的路程為零

7．a(chǎn)、b兩輛玩具車在各自的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在相同的時(shí)間內(nèi)，它們通過(guò)的路程之比為3∶4，轉(zhuǎn)過(guò)的角度之比為2∶3，則它們的向心加速度大小之比為( )

A．2∶1 B．1∶2 C．9∶16 D．4∶9

8．如圖3所示，一半徑為R的球體繞軸O1O2以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B為球體上兩點(diǎn)．下列說(shuō)法中正確的是( )

A．A、B兩點(diǎn)具有相同的角速度

B．A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度

C．A、B兩點(diǎn)具有相同的向心加速度

D．A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向都指向球心

9.如圖4所示，兩輪壓緊，通過(guò)摩擦傳動(dòng)(不打滑)，已知大輪半徑是小輪半徑的2倍，E為大輪半徑的中點(diǎn)，C、D分別是大輪和小輪邊緣的一點(diǎn)，則E、C、D三點(diǎn)向心加速度大小關(guān)系正確的是( )

A．a(chǎn)nC＝anD＝2anE B．a(chǎn)nC＝2anD＝2anE

C．a(chǎn)nC＝＝2anE D．a(chǎn)nC＝＝anE

10．如圖5所示為一皮帶傳動(dòng)裝置，右輪的半徑為r，a是邊緣上的一點(diǎn)，左輪上的兩輪共用同一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪的半徑為2r，b點(diǎn)在小輪上，到小輪中心的距離為r，c點(diǎn)和d點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動(dòng)過(guò)程中皮帶不打滑，則( )

A．a(chǎn)點(diǎn)和b點(diǎn)的線速度大小相等

B．a(chǎn)點(diǎn)和b點(diǎn)的角速度相等

C．a(chǎn)點(diǎn)和c點(diǎn)的線速度大小相等

D．a(chǎn)點(diǎn)和d點(diǎn)的向心加速度的大小相等

題組三　綜合應(yīng)用

11.如圖6所示，壓路機(jī)大輪的半徑R是小輪半徑r的2倍，壓路機(jī)勻速行駛時(shí)，大輪邊緣上A點(diǎn)的向心加速度為0.12 m/s2，那么小輪邊緣上B點(diǎn)的向心加速度為多大？大輪上距軸心的距離為的C點(diǎn)的向心加速度為多大？

圖6

12.Maloof Money Cup是全球最大的滑板賽事，于2011年9月在南非舉行．如圖7所示，某滑板運(yùn)動(dòng)員恰好從B點(diǎn)進(jìn)入半徑為2 m的圓弧軌道，該圓弧軌道在C點(diǎn)與水平軌道相接，運(yùn)動(dòng)員滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為10 m/s，求他到達(dá)C點(diǎn)前、后的瞬時(shí)加速度(不計(jì)各種阻力)．

13.如圖8所示，甲、乙兩物體自同一水平線上同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，甲沿順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，圓半徑為R；乙做自由落體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙下落至A點(diǎn)時(shí)，甲恰好第一次運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)B，求甲物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度的大?。?已知重力加速度為g)

答案精析

1．B　[做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度就是向心加速度，其方向指向圓心，B正確．]

2．D　[物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與物體的線速度、角速度、半徑有關(guān)．但向心加速度與半徑的關(guān)系要在一定前提條件下才能成立．當(dāng)線速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成反比；當(dāng)角速度一定時(shí)，向心加速度與半徑成正比．對(duì)線速度和角速度與半徑的關(guān)系也可以同樣進(jìn)行討論．正確選項(xiàng)為D.]

3．D　[由題意知，木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木塊的加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心，D正確，A、B、C錯(cuò)誤．]

4．CD　[由a＝Rω2，v＝Rω可得ω＝ ，v＝，a＝ωv，即A、B錯(cuò)誤，C正確；又由T＝與ω＝ 得T＝2π，即D正確．]

5．A　[角速度為ω＝＝π rad/s，A錯(cuò)誤；轉(zhuǎn)速為n＝＝0.5 r/s，B正確；半徑r＝＝ m，C正確；向心加速度大小為an＝＝4π m/s2，D正確．]

6．AB　[因?yàn)閍＝ω2R，所以小物塊運(yùn)動(dòng)的角速度為ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，選項(xiàng)A、B正確；小物塊在 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)，通過(guò)的位移為 m，在π s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)一周，通過(guò)的路程為2π m，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤．]

7．B　[a、b兩玩具車的線速度之比va∶vb＝sa∶sb＝3∶4，角速度之比ωa∶ωb＝θa∶θb＝2∶3，故它們的向心加速度之比aa∶ab＝vaωa∶vbωb＝1∶2，B正確．]

8．A　[A、B兩點(diǎn)隨球體一起繞軸O1O2轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)一周所用的時(shí)間相等，故角速度相等，有ωA＝ωB＝ω，選項(xiàng)A正確．A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的平面與軸O1O2垂直，交點(diǎn)為圓心，故A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rA＝Rsin 60°；同理，B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rB＝Rsin 30°，所以A、B兩點(diǎn)的線速度分別為：vA＝rAω＝Rω，vB＝rBω＝Rω，顯然vA>vB，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．A、B兩點(diǎn)的向心加速度分別為：aA＝rAω2＝Rω2，aB＝rBω2＝Rω2，顯然，A、B兩點(diǎn)的向心加速度不相等，且它們的向心加速度方向指向各自平面的圓心，并不指向球心，故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤．]

9．C　[同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，C、E兩點(diǎn)的角速度相等，由an＝ω2r，有＝2，即anC＝2anE；兩輪邊緣點(diǎn)的線速度大小相等，由an＝，有＝，即anC＝anD，故選C.]

10．CD　[由題意可知，b、c、d是固定在同一輪軸的兩輪上的點(diǎn)，因此ωb＝ωc＝ωd，a、c為用皮帶連接的兩輪邊緣上的點(diǎn)，皮帶不打滑時(shí)有va＝vc，故選項(xiàng)C正確；由角速度與線速度的關(guān)系v＝ωr并結(jié)合題中所給各點(diǎn)的半徑，易得ωa＝2ωc＝2ωb＝2ωd及va＝2vb，由此排除A、B兩選項(xiàng)；由向心加速度an＝ω2r可推得ana＝and，則選項(xiàng)D正確．]

11．0.24 m/s2　0.04 m/s2

解析　壓路機(jī)勻速行駛時(shí)，vB＝vA，

由an＝，得＝＝2

得aB＝2aA＝0.24 m/s2

又ωA＝ωC，由an＝ω2r，得＝＝

得aC＝aA＝0.04 m/s2.

12．50 m/s2，方向豎直向上　0

解析　運(yùn)動(dòng)員經(jīng)圓弧滑到C點(diǎn)前做圓周運(yùn)動(dòng)．因?yàn)椴挥?jì)各種阻力，故經(jīng)過(guò)C點(diǎn)之前的瞬間，運(yùn)動(dòng)員只在豎直方向上受力，只有向心加速度．由an＝得運(yùn)動(dòng)員到達(dá)C點(diǎn)前的瞬時(shí)加速度a1＝ m/s2＝50 m/s2，方向豎直向上．運(yùn)動(dòng)員滑過(guò)C點(diǎn)后，進(jìn)入水平軌道做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故加速度a2＝0.

13.π2g

解析　設(shè)乙下落到A點(diǎn)所用時(shí)間為t，

則對(duì)乙，滿足R＝gt2，得t＝ ，

這段時(shí)間內(nèi)甲運(yùn)動(dòng)了T，即T＝ ①

又由于a＝Rω2＝R②

由①②得，a＝π2g.