函　數

函數的識別

例1：下列關系式中哪些是函數，哪些不是？

(1)y=x；(2)y=x2+z；(3)y2=x；(4)y=±√x

解析：要判斷一個關系式是不是函數，首先看這個變化過程中是否只有兩個變量，其次看每一個x的值是否對應唯一確定的y值．

解：(1)此關系式只有兩個變量，且每一個x值對應唯一的一個y值，故它是函數．

(2)此關系式中有三個變量，因此y不是x的函數．

(3)此關系式中雖然只有兩個變量，但對于每一個確定的x值(x>0)對應的都有2個y值，如當x＝4時，y＝±2，故它不是函數．

(4)對于每個確定的x值(x>0)對應的都有2個y值，如當x＝9時，y＝±3，故它不是函數．

方法總結：由函數的定義可知在某個變化過程中，有兩個變量x和y，對于每一個確定的x值，y值都有且只有一個值與之對應，當x值取不同的值時，y的值可以相等也可以不相等，但如果一個x的值對應著兩個不同的y值，那么y一定不是x的函數．根據這一點，我們可以判定一個關系式是否表示函數．

自變量的取值范圍

例1.函數y＝√(x+1)的自變量x的取值范圍是( )

A.x≠1

B.x≥-1

C.x＞-1

D.x≥1

解析：要使y＝√(x+1)有意義，則必須滿足x＋1≥0，∴x≥－1.故選B.

方法總結：求自變量的取值范圍應從兩個方面考慮：一是必須使含自變量的代數式有意義，二是滿足實際問題．

函數三種表示方法

例：早年間某地區(qū)遭遇了嚴重干旱．某水庫的蓄水量隨著時間的增加而減小，干旱持續(xù)時間t(天)與蓄水量V(萬立方米)的變化情況如圖所示，根據圖象回答問題．

(1)這個圖象反映了哪兩個變量之間的關系？

(2)根據圖象填表：

(3)當t取0至60天之間的任一值時，對應幾個V值？

(4)V可以看成t的函數嗎？如果是，試寫出用自變量表示函數的式子．

解析：(1)通過讀圖可知，橫坐標表示干旱持續(xù)時間，縱坐標表示蓄水量，因此它表示的是干旱持續(xù)時間與水庫蓄水量之間的關系；

(2)根據圖象信息確定每個特殊點的坐標即可；

(3)觀察圖象可得；

(4)可根據函數的定義來判斷．

解：(1)圖象反映了干旱持續(xù)時間與水庫蓄水量之間的關系；

(2)如下表：

(3)當t取0至60天之間的任一值時，對應著一個V值；

(4)V是t的函數．

根據圖象可知，該水庫初始蓄水量為1200萬立方米，干旱每持續(xù)10天，蓄水量減少200萬立方米，由此寫出的式子為：V＝1200-200/10t=＝－20t＋1200(0≤t≤60)

方法總結：三種函數表示方法之間有互補性，是可以相互轉化的．

求函數值

例.求當x＝－4時的函數值。

（1）y=(x+2)/4；（2）y=1/(2x+1)

解析：利用已知x的值，代入關系式求出即可．

解：(1)代入x＝－4，得y=(-4+2)/4=-1/2

(2)代入x＝－4，得y=1/(-8+1)=-1/7

方法總結：利用函數值的定義，正確代入自變量的取值求解是解題的關鍵．

函數圖像

例： 洗衣機在洗滌衣服時，每漿洗一遍都經歷了注水、清洗、排水三個連續(xù)過程(工作前洗衣機內無水)．在這三個過程中，洗衣機內的水量y(升)與漿洗一遍的時間x(分)之間函數關系的圖象大致為（）

解析：∵洗衣機工作前洗衣機內無水，∴A，B兩選項不正確，淘汰；又∵洗衣機最后排完水，∴D選項不正確，淘汰，所以選項C正確，故選C.

方法總結：本題考查了對函數圖象的理解能力，看函數圖象要理解兩個變量的變化情況．

一次函數與正比例函數

一次函數與正比例函數的識別

例： 下列函數關系式中，哪些是一次函數，哪些是正比例函數？

(1)y＝－x－4;

(2)y＝5x2－6；

(3)y＝2πx;

(4)y＝－2/x；

(5)y＝1/x；

(6)y＝8x2＋x(1－8x)．

解析：首先看每個函數的表達式能否變形轉化為y＝kx＋b(k≠0，k、b是常數)的形式，如果x的次數是1，則是一次函數，否則不是一次函數；在一次函數中，如果常數項b＝0，那么它是正比例函數．

解：(1)是一次函數，不是正比例函數；

(2)不是一次函數，也不是正比例函數；

(3)是一次函數，也是正比例函數；

(4)是一次函數，也是正比例函數；

(5)不是一次函數，也不是正比例函數；

(6)是一次函數，也是正比例函數．

方法總結：一個函數是一次函數的條件：自變量是一次整式，一次項系數不為零； 判斷一個函數是正比例函數的條件：自變量是一次整式，一次項系數不為零，常數項為零．

根據一次函數和正比例函數的定義求字母的值

(1)若它是一次函數，求m的值；

(2)若它是正比例函數，求m的值．

解析：(1)要使函數是一次函數，根據一次函數的定義x的指數m2－24＝1，且一次項系數m－5≠0；(2)要使函數是正比例函數，除了滿足上述條件外，還需加上m＋1＝0這個條件．

解：(1)因為該函數是一次函數，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以當m＝－5時，原函數是一次函數．

(2)因為已知函數是一次函數，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1，則這樣的m不存在，所以函數不可能為正比例函數．

方法總結：函數是一次函數，則k≠0，且自變量的次數為1.當b＝0時，一次函數為正比例函數．

一次函數的圖象

正比例函數的圖像畫法

例：畫出函數y＝－2x的圖象．

解析：當x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝－2.經過原點O(0，0)和點A(1，－2)作直線，則這條直線就是函數y＝－2x的圖象．

解：如圖：

方法總結：作函數圖象的一般步驟：列表，描點，連線，正比例函數的圖象是經過原點的直線，只需再另外找一點就可作出圖象．

正比函數的圖像

例：已知正比例函數y＝kx(k≠0)，當x＝－1時，y＝－2，則它的圖象大致是（）

解析：將x＝－1，y＝－2代入正比例函數y＝kx(k≠0)中，求出k的值為2，即可根據正比例函數的性質判斷出函數的大致圖象，故選C.

方法總結：本題考查了正比例函數的圖象，知道正比例函數的圖象是過原點的直線，且當k>0時，圖象過一、三象限；當k<>

正比例函數的性質

例：已知正比例函數y＝－kx的圖象經過一、三象限， P?(x?，y?)、P?(x?，y?)、P?(x?，y?)三點在函數y＝(k－2)x的圖象上，且x?>x?>x?，則y?，y?，y?的大小關系為（）

A．y?>y?>y?

B．y?>y?>y?

C．y?<><>

D．y?>y?>y?

解析：由y＝－kx的圖象經過一、三象限，可知－k>0即k<><0.由正比例函數的性質可知，y＝(k－2)x的函數值y隨x的增大而減小，則由x?>x?>x?得y?<><>

方法總結：正比例函數y＝kx(k≠0)的函數值y隨x的變化情況由k的符號決定．k>0時，y隨x的增大而增大；k<>

一次函數的應用

確定正比例函數的表達式

解析：本題是利用正比例函數的定義來確定表達式的，即自變量的指數為1，系數不為0，這種類型簡稱為定義式．

解：由正比例函數的定義知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法總結：利用正比例函數的定義確定表達式：自變量的指數為1，系數不為0.

確定一次函數的表達式

例： 已知一次函數的圖象經過(0，5)、(2，－5)兩點，求一次函數的表達式．

解析：先設一次函數的表達式為y＝kx＋b，因為它的圖象經過(0，5)、(2，－5)兩點，所以當x＝0時，y＝5；當x＝2時，y＝－5.由此可以得到兩個關于k、b的方程，通過解方程即可求出待定系數k和b的值，再代回原設即可．

解：設一次函數的表達式為y＝kx＋b，根據題意，5=b且-5=-2k+b解得k=-5,b=5.

∴一次函數的表達式為y＝－5x＋5.

方法總結：“兩點式”是求一次函數表達式的基本題型．二次函數y＝kx＋b中有兩個待定系數k、b，因而需要知道兩個點的坐標才能確定函數的關系式．

根據圖像確定一次函數表達式

例： 正比例函數與一次函數的圖象如圖所示，它們的交點為A(4，3)，B為一次函數的圖象與y軸的交點，且OA＝2OB.求正比例函數與一次函數的表達式．

解析：根據A(4，3)可以求出正比例函數表達式，利用勾股定理可以求出OA的長，從而可以求出點B的坐標，根據A、B兩點的坐標可以求出一次函數的表達式．

解：解：設正比例函數的表達式為y?＝k?x，一次函數的表達式為y?＝k?x＋b.

∵點A(4，3)是它們的交點，

∴代入上述表達式中，得3＝4k?，3＝4k?＋b

∴k?＝3/4，即正比例函數的表達式為y=3/4x

∵OA=√(32+42)=5且OA＝2OB

∴OB＝5/2

∵點B在y軸的負半軸上

∴B點的坐標為(0，－5/2)

又∵點B在一次函數y?＝k?x＋b的圖象上

∴-5/2=b代入3＝4k?＋b中，得k?＝11/8

∴一次函數的表達式為y?＝11/8x-5/2

方法總結：根據圖象確定一次函數的表達式的方法：從圖象上選取兩個已知點的坐標，然后運用待定系數法將兩點的橫、縱坐標代入所設表達式中求出待定系數，從而求出函數的表達式．

根據實際問題確定一次函數表達式

例： 某商店售貨時，在進價的基礎上加一定利潤，其數量x與售價y的關系如下表所示，請你根據表中所提供的信息，列出售價y(元)與數量x(千克)的函數關系式，并求出當數量是2.5千克時的售價.

解析：從圖表中可以看出售價由8＋0.4依次向下擴大到2倍、3倍、……

解：由表中信息，得y＝(8＋0.4)x＝8.4x，即售價y與數量x的函數關系式為y＝8.4x.當x＝2.5時，y＝8.4×2.5＝21.所以數量是2.5千克時的售價是21元．

方法總結：解此類題要根據所給的條件建立數學模型，得出變化關系，并求出函數的表達式，根據函數的表達式作答

利用圖像獲取信息

例： 由于干旱，某水庫的蓄水量隨時間的增加而直線下降．若該水庫的蓄水量V(萬米³)與干旱的時間t(天)的關系如圖所示，則下列說法正確的是（）

A．干旱開始后，蓄水量每天減少20萬米3

B．干旱開始后，蓄水量每天增加20萬米3

C．干旱開始時，蓄水量為200萬米3

D．干旱第50天時，蓄水量為1200萬米3

解析：從圖象上觀察：當t＝0時，V＝1200；當t＝50時，V＝200.所以從干旱開始到第50天，蓄水量減少了1200－200＝1000(萬米3)，則每天減少1000÷50＝20(萬米3)．故選A.

方法總結：要認真觀察圖象，結合題意，弄清各點所表示的意義．

一次函數與一元一次方程

例： 一次函數y＝kx＋b(k，b為常數，且k≠0)的圖象如圖所示，根據圖象信息可求得關于x的方程kx＋b＝0的解為（）

A．x＝－1

B．x＝2

C．x＝0

D．x＝3

解析：首先由函數經過點(0，1)可得b＝1，再將點(2，3)代入y＝kx＋1，可求出k的值為1，從而可得出一次函數的表達式為y＝x＋1，再求出方程x＋1＝0的解為x＝－1，故選A.

方法總結：此題主要考查了一次函數與一元一次方程的關系，關鍵是正確利用待定系數法求出一次函數的關系式．

利用兩個一次函數解決實際問題

例： 自來水公司有甲、乙兩個蓄水池，現將甲池中的水勻速注入乙池，甲、乙兩個蓄水池中水的深度y(米)與注水時間x(時)之間的函數圖象如圖所示，結合圖象回答下列問題．

(1)分別求出甲、乙兩個蓄水池中水的深度y與注水時間x之間的函數表達式；

(2)求注入多長時間后甲、乙兩個蓄水池的深度相同；

(3)3小時后，若將乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需多長時間？

解析：(1)根據圖象確定點的坐標，再運用待定系數法確定函數表達式；(2)根據甲、乙兩個蓄水池水的深度相同，可以得到一個一元一次方程，解此方程可得注水時間；(3)由圖可知乙蓄水池的水深為4米，乙蓄水池水上升的速度為1米/小時，由此求得答案即可．

解：(1)設它們的函數關系式為y＝kx＋b，根據甲的函數圖象可知，當x＝0，y＝2；當x＝3時，y＝0，將它們分別代入所設函數關系式y＝kx＋b中得k＝-2/3＝2，所以甲蓄水池中水的深度y與注水時間x之間的函數關系式為y＝-2/3x+2， 同理可得乙蓄水池中水的深度y與注水時間x之間的函數關系式為y＝x＋1；

(2)由題意得-2/3x+2=x+1，得x=3/5，當注水3/5 小時后，甲、乙兩個蓄水池水的深度相同；

(3)4÷(3÷3)＝4小時．所以若將乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需要4小時．

方法總結：本題首先根據圖象確定一次函數的表達式．然后結合方程思想解題．

利用兩個一次函數解決幾何問題

例：已知一次函數y＝3/2x+a和y=-1/2x+b的圖象都經過點A(－4，0)，且與y軸分別交于B、C兩點，求△ABC的面積．

解析：充分利用數形結合的方法，求出點B，C的坐標，求得BC的長，進而求出面積．

∵函數y＝3/2x+a和y=-1/2x+b的圖象都經過點A(－4，0)

∴3/2×（-4）+a=0,-1/2×(-4)+b=0

∴a＝6，b＝－2.

∴兩個一次函數分別是y＝3/2x+6和y=-1/2x-2，y＝3/2x+6與y軸交于點B,則y=3/2×0+6=6,

∴B(0，6)；

y=-1/2x-2與y軸交于點C,則y＝－2，

∴C(0，－2)．如圖所示，△ABC面積S=1/2BC·AO=1/2×4×(6+2)=16

方法總結：解此類題要先求得頂點的坐標，即兩個一次函數的交點和它們分別與x軸、y軸交點的坐標．