【本講教育信息】
一. 教學(xué)內(nèi)容：
◆ 選修2－1知識復(fù)習(xí)（二）
二. 教學(xué)目的
通過對選修2－1各章節(jié)重點(diǎn)知識分析及例題講解，加強(qiáng)對本冊知識的掌握。
三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)問題專題講解
四. 知識分析
（八）拋物線
拋物線是平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l（Fl）距離相等的點(diǎn)的軌跡。拋物線部分的重點(diǎn)是拋物線的定義及相關(guān)概念、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。難點(diǎn)是利用拋物線的定義解題，求拋物線的方程以及拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用。下面通過幾例來體驗(yàn)一下如何突破拋物線的重難點(diǎn)。
例1. 如圖所示，AB為拋物線上的動弦，且
（a為常數(shù)且
），則弦AB的中點(diǎn)M與x軸的最小距離為__________。
分析：將M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而利用定義解題。
解：設(shè)A，M，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，且A，M，B三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為。
由拋物線的定義知：
，
所以
又M是線段AB的中點(diǎn)，
所以
等號在定長為a的弦AB過焦點(diǎn)F時成立，此時M點(diǎn)與x軸的距離最小，最小值為（）。
點(diǎn)評：本題運(yùn)用了拋物線的定義，并注意挖掘題目中隱含的幾何條件（三角形的性質(zhì)），使解題過程簡明快捷。另外，拋物線過焦點(diǎn)的弦的最小長度為1，故的條件保證了AB過焦點(diǎn)，即本題的最小值可以取到。
例2. 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且拋物線上一點(diǎn)（－3，m）到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程。
分析：應(yīng)分焦點(diǎn)在y軸正半軸和負(fù)半軸兩種情況考慮，利用拋物線的定義，結(jié)合待定系數(shù)求拋物線方程。
解：若焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，則可設(shè)方程為
準(zhǔn)線方程為， 所以
又因?yàn)?/span>，所以，所以。解得p=1或。
所以拋物線方程為或
若焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，則可設(shè)方程為
準(zhǔn)線方程為，所以
又因?yàn)?/span>，所以。
所以。解得p=1或p=9
所以拋物線方程為或。
例3. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩個不同動點(diǎn)A，B滿足AO⊥BO，如圖所示。
（1）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；
（2）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由。
分析：求動點(diǎn)軌跡的常規(guī)方法，就是設(shè)動點(diǎn)（x，y），找該點(diǎn)與A（），B（）的關(guān)系，再求軌跡方程。求面積的最小值經(jīng)常與二次函數(shù)以及均值不等式聯(lián)系在一起。
解：（1）設(shè)△AOB的重心為G（x，y），點(diǎn)A（），B（），則
因?yàn)?/span>AO⊥BO，所以
即 ③
又點(diǎn)A，B在拋物線上，所以
代入③化簡得
由①得
所以
即重心G的軌跡方程為。
（2）
由（1）得
因?yàn)?/span>
所以，且當(dāng)x=0時，
所以
故△AOB的面積存在最小值，最小值為1。
點(diǎn)評：本題考查了軌跡問題、最值問題，同時考查了同學(xué)們推理運(yùn)算能力及綜合運(yùn)用知識解題的能力，應(yīng)注意代入法的使用。
（九）直線與圓錐曲線
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，也是近年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。只要是考查圓錐曲線問題，一般都是與直線結(jié)合。因此我們扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，熟練地掌握各種技能是必須的。本文對這一小塊內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，希望會對你有所幫助。
一、重點(diǎn)再現(xiàn)
直線與圓錐曲線問題的求解思路通常有兩條：其一是借助方程，將直線l的方程與圓錐曲線C的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程（當(dāng)然，也可以消去x得到關(guān)于y的方程），通過分析方程產(chǎn)生結(jié)論；其二是數(shù)形結(jié)合，由于拋物線及雙曲線的特殊性，有時借助于數(shù)形結(jié)合可能會更直觀、更方便。我們知道當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或與雙曲線的漸近線平行時，都只有一個交點(diǎn)，但此時并非相切。
二、難點(diǎn)回顧
由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以涉及直線與圓錐曲線的所有基礎(chǔ)知識與基本技能，又可以與函數(shù)、方程、不等式等知識進(jìn)行交匯，因而它是解析幾何的難點(diǎn)之一。
三、典例解析
例1. 求過點(diǎn)P（2，1）且被點(diǎn)P平分的橢圓的弦所在直線的方程。
解法一：設(shè)所求直線方程為，
則
消去y，并整理得：
由得。
于是所求直線方程為
解法二：設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為（）與（），
則由
可得：
所以
于是所求直線方程為
評析：直線與圓錐曲線相交，出現(xiàn)“中點(diǎn)弦”問題的常規(guī)處理方法有兩種：
（1）通過方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；
（2）點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解。
例2. 已知直線與雙曲線關(guān)于A，B兩點(diǎn)。
（1）若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若A，B在雙曲線的兩支上，求實(shí)數(shù)a的范圍。
解：由
可得：
由于直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，
因此，可得：
（1）設(shè)A（），B（），
則
即
也就是
所以
解得
（2）若A，B在雙曲線的兩支上，則
即
于是可得。
評析：涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常常將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，消元后，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，這是常用的方法，本題就是利用這個解題方法進(jìn)行求解的。
例3. 過點(diǎn)（－2，0）的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)的軌跡方程。
解：易知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為
設(shè)A（），B（），AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則。
于是
相減得：
那么
由于
所以
即
又由，得：
由，得：
k>0或。又k=2x，
所以x>0或x<－4
因此軌跡方程為。
評析：整體運(yùn)算是一種運(yùn)算策略，它通過整體推理、整體代換等手段有效地繞過許多中間環(huán)節(jié)使運(yùn)算直指結(jié)論。它既可優(yōu)化解題過程又可給我們帶來一種賞心悅目的享受，本題借助整體運(yùn)算產(chǎn)生中點(diǎn)軌跡方程，其過程既簡練又運(yùn)算簡單。
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（十）空間向量及其運(yùn)算
一、知識要點(diǎn)
1. 空間任意兩向量共線的充要條件是存在惟一實(shí)數(shù)，使。
注：與任一向量共線。
2. 空間中與不共線向量共面的充要條件是存在惟一一對實(shí)數(shù)x，y，使。
該定理的推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在惟一一對有序?qū)崝?shù)x，y，使，或?qū)臻g一點(diǎn)O有。
注：空間任意兩向量必共面。
3. 如果不共面，那么對空間任一向量，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使。
注：空間上四個點(diǎn)共面的充要條件為：若存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得對于空間任意一點(diǎn)O，有，且成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面。
4. 空間向量的數(shù)量積及向量平行或垂直的坐標(biāo)表示。
設(shè)=（），=（），則有：
二、典例精析
例1. 已知非零向量不共線，如果，，求證：A，B，C，D共面。
分析：要證A，B，C，D共面，只須證共面，即找到惟一一對實(shí)數(shù)x，y，使。
證明：觀察易得：
即。
所以共面，即A，B，C，D共面。
點(diǎn)評：要證四點(diǎn)共面，可證從同一點(diǎn)出發(fā)的三向量共面，此時應(yīng)注意待定系數(shù)法的使用。
例2. 如下圖，已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD內(nèi)的射影恰好是正方形的中心O。Q是CD的中點(diǎn)，求下列各題中x，y的值。
（1）；
（2）。
分析：要求x，y的值，實(shí)際上是求如何用，來表示，用來表示。
解：（1）
所以
（2）因?yàn)?/span>，所以。
又，所以。
所以
所以。
點(diǎn)評：空間任一向量都可以用基底惟一表示，所以將用基底表示，其系數(shù)是惟一的。解題中應(yīng)多注意結(jié)合圖形使用加法、減法、數(shù)乘等運(yùn)算法則。
例3. 已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），設(shè)。
（1）設(shè)，求；
（2）求；
（3）若與互相垂直，求k。
解：（1）因?yàn)?/span>=（－2，－1，2）且，
所以設(shè)
所以
解得
所以=（－2，－1，2）或=（2，1，－2）。
（2）=（1，1，0），=（－1，0，2）
所以
因?yàn)?/span>，
所以
（3）易知
又
所以
即
解得或。
點(diǎn)評：在運(yùn)用夾角公式求解時，應(yīng)注意角的范圍。通過列方程、解方程解決問題，這種思路在解決空間向量問題時應(yīng)用十分廣泛。
（十一）空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
由于向量具有“形（幾何形式）神（坐標(biāo)形式）兼?zhèn)洹钡奶卣鳎蚁蛄恳约跋蛄科叫?、垂直的充要條件都具有坐標(biāo)表示形式和幾何表示形式，加之向量的數(shù)量積不僅是一個實(shí)數(shù)，而且與向量夾角的余弦值緊密相關(guān)，這使得它成為溝通數(shù)學(xué)各個分支，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識之間橫向聯(lián)系的橋梁和紐帶。從近幾年全國及單獨(dú)命題的省、市高考題中可知，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用是高考必考內(nèi)容。解決立體幾何問題時，“平移是手段，垂直是關(guān)鍵”，向量的運(yùn)算中，兩向量的共線易解決平行問題，向量的數(shù)量積則易解決垂直、兩向量所成角及線段的長度等問題。一般來說，當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強(qiáng)有力的工具時，應(yīng)該說不僅降低了學(xué)習(xí)的難度，而且增強(qiáng)了可操作性，為我們提供了嶄新的視角，豐富了思維結(jié)構(gòu)。
專題一：向量與平行關(guān)系
例1. 已知正方體的棱長為1，E，F，G分別為AB，AD，的中點(diǎn)，求證：平面EFG//平面。
證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），（1，0，1），（1，1，1），（0，0，1）。
于是得E（1，，0），F（，0，0），G（1，0，）。
設(shè)為平面EFG的法向量，（）為平面的法向量。
則，且
取可得：=（1，―1，―1），=（1，―1，―1）。
由，得平面EFG//平面。
評注：設(shè)分別為平面α，β的法向量，要證α//β，只需證明：存在一個非零實(shí)數(shù)，滿足。
本題也可轉(zhuǎn)化為由線線平行證面面平行，即用向量證明，從而證明平面EFG//平面。
專題二：向量與垂直關(guān)系
例2. 如圖所示，在正方體ABCD—中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為的中點(diǎn)，求證：平面平面GBD。
分析：要證明平面平面GBD，只要證明平面內(nèi)的一條直線垂直于平面GBD中的兩條相交直線即可，而從圖中觀察，證，較容易成功。
證明：設(shè)
則
而
所以
又BDOG=O
所以平面GBD
而平面
所以平面⊥平面GBD。
評注：向量垂直于向量的充要條件是=0。據(jù)此可以證明直線與直線垂直，進(jìn)而還可證明直線與平面垂直及兩個平面垂直。在證明一對向量垂直時，往往用一組基底先表示這一對向量，再考慮它們的數(shù)量積是否為零。
專題三：空間向量與空間角
1. 求異面直線所成的角。
例3. 在長方體ABCD—中，已知DA=DC=4，，求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。
解：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz。
則A1（4，0，3），B（4，4，0），（4，4，3），C（0，4，0）
于是=（0，4，－3），=（－4，0，－3）
設(shè)與的夾角為θ，
則
所以與的夾角大小為。
故異面直線與所成角的大小為。
評注：以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積來求異面直線所成的角，思路自然，靈活簡便。
2. 求直線與平面所成的角。（略）
3. 求二面角。
例4. 在直三棱柱ABC—中，AB=BC，D，E分別為，的中點(diǎn)。若，求二面角的大小。
解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)。
不妨設(shè)A（1，0，0），則B（0，1，0），C（－1，0，0），（1，0，2）。
于是=（―1，―1，0），=（－1，1，0），=（0，0，2）。
所以，
所以BC⊥AB，BC⊥AA1
又AB=A，所以BC⊥平面A1AD
又E（0，0，1），D（0，1，1）
所以（－1，0，－1），（－1，0，1），=（0，1，0）。
易知，，所以EC⊥AE，EC⊥ED。
又，所以EC⊥面。
因?yàn)?/span>
所以和的夾角為60°。
故二面角的大小為60°。
專題四：空間向量與空間距離
例5. 正方形ABCD的邊長為4，E，F分別是AB，AD的中點(diǎn)，PC⊥面ABCD，PC=2，求點(diǎn)B到平面PEF的距離。
解：如圖所示，分別以CB，CD，CP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，
由已知，則有P（0，0，2），E（4，2，0），F（2，4，0），B（4，0，0）。
所以=（4，2，－2），=（－2，2，0）。
設(shè)平面PEF的法向量為=（1，y，z），
則由，可得：，解得，所以=（1，1，3）
又=（0，2，0），所以點(diǎn)B到平面PEF的距離為：。
評注：求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟為：先確定平面α的法向量，點(diǎn)P是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P0到平面α的距離，即的法向量上的射影長。
【模擬試題】
1. 已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（1）；
（2）； （3）。
2. 已知平行四邊形ABCD，從平面外一點(diǎn)引向量。
。
（1）求證：四點(diǎn)共面；
（2）平面平面。
3. 如圖正方體中，，求與所成角的余弦。
4. 已知空間三點(diǎn)A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。
⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；
⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標(biāo)。
5. 已知平行六面體中，
，
，求的長。
【試題答案】。
1. 解：如圖，
（1）；
（2）。
；
（3）。
2. 解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，
∴共面；
（2）解：∵，又∵，
∴。
所以，平面平面。
3.
解：不妨設(shè)正方體棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，， ，
∴，，
∴，
。
。
4. 分析：⑴
∴∠BAC＝60°，
⑵設(shè)＝（x，y，z），則
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝（1，1，1）或＝（－1，－1，－1）。
5. 解：
所以，。
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