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淺析V-t圖像在傳送帶問題中的應(yīng)用

喬佳文安達(dá)七中“傳送帶問題”和“等時(shí)圓”，“滑塊與木板”是高中物理力學(xué)問題中較難掌握的專題。大部分高中學(xué)生對(duì)“傳送帶問題”的理解困難。對(duì)于物體放在傳送帶后，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的判斷難以著手。物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可能性比較多。在物體的運(yùn)動(dòng)過程中，物體可能有一種或多種運(yùn)動(dòng)形式。

對(duì)于這種專題的分析，需從受力分析判斷摩擦力的方向，結(jié)合牛頓第二定律判斷加速度a的大小和方向。再根據(jù)臨界條件V_物=V（V為傳送帶運(yùn)行速度）結(jié)合μ與tanθ的關(guān)系判斷物體的運(yùn)動(dòng)情況。傳送帶問題在傳統(tǒng)的分析過程中主要體現(xiàn)依靠公式推導(dǎo)和文字分析。文字分析從形式上不直觀。學(xué)生在理解文字和提取結(jié)論的過程吃力，往往認(rèn)為傳送帶模型過于抽象不易掌握。但加入了V-t圖像來(lái)輔助分析傳送帶問題，就解決了不直觀，抽象，難理解，不易掌握的問題。下面我將以水平放置的傳送帶和傾斜放置的傳送帶為例進(jìn)行多種情況的分析演示。

一、物體在水平傳送到上

例如，已知傳送帶長(zhǎng)為L(zhǎng)，運(yùn)行速度為V，與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。

1.若物塊輕放在水平傳送帶上。

    對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受到水平向右的滑動(dòng)摩擦力作用。F_合=f=μmg=ma。以a=μg做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在接下來(lái)物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

由v²=2ax，得V_物² =2aL.所以V_物=

若v=

時(shí)，物體做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)恰好V_物=V。

若v>

時(shí)，物體做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)V_物<V。

若v<

時(shí)，物體做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，未運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)就有V_物=V，再以V_物=V的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)端點(diǎn)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若v=

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若v>

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

若v<

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的③。

這樣可以直接的借助圖像明確物塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)而解決相關(guān)問題。

2.若物塊以一定初速度沖上水平傳送帶上。（v₀≠0）

（1）v₀與v同向，且v₀<v時(shí)，

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受到水平向右的滑動(dòng)摩擦力作用。F_合=f=μmg=ma。以a=μg做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在接下來(lái)物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

由v²-v₀²=2ax，得V_物² =2aL+v₀².所以V_物=

若v=

時(shí)，物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)恰好V_物=V。

若v>

時(shí)，物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)V_物<V。

若v<

時(shí)，物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，未運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)就有V_物=V，再以V_物=V的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)直到運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)端點(diǎn)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若v=

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若v>

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

若v<

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的③。

這樣可以直接的借助圖像明確物塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)而解決相關(guān)問題。

（2）v₀與v同向，且v₀>v時(shí)，

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受到水平向左的滑動(dòng)摩擦力作用。F_合=f=μmg=ma。以a=μg做的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在接下來(lái)物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

由v²-v₀²=-2ax，得V_物² =-2aL+v₀².所以V_物=

若v=

時(shí)，物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)恰好V_物=V。

若v>

時(shí)，物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，未運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)就有V_物=V，再以V_物=V的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)直到運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)端點(diǎn)。

若v<

時(shí)，物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)V_物>V。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若v=

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若v>

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

若v<

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的③。

這樣可以直接的借助圖像明確物塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)而解決相關(guān)問題。

（3）v₀與v反向時(shí)，

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受到水平向右的滑動(dòng)摩擦力作用。F_合=f=μmg=ma。以a=μg做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在接下來(lái)物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

假設(shè)物塊減速到0，則有v₀²=2ax=2μgx，（看成初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的逆運(yùn)動(dòng)）

若v₀=

時(shí)，物體一直做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)恰好V_物=0。

若v₀>

時(shí)，物體一直做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B的端點(diǎn)時(shí)V_物≠0。

若v₀<

時(shí)，物體先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，減速到0（未達(dá)到B點(diǎn)）后，在反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若v₀=

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若v₀>

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

若v₀<

時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的③。

這樣可以直接的借助圖像明確物塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)而解決相關(guān)問題。

二、物體在傾斜傳送帶上

例如，已知傳送帶運(yùn)行速度為V，與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，與水平面間的夾角為θ。

1.傳送帶斜向上傳送

（1）若物塊輕放在傳送帶的底端，且μ>tanθ.

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受到斜向上滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。由于μ>tanθ，則μmgcosθ>mgsinθ。得F合=μmgcosθ-mgsinθ=ma，a=g（μcosθ-sinθ）。物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

ⅰ.若傳送帶較短時(shí)，物體將以a=g（μcosθ-sinθ）向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

ⅱ.若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，物體先以a=g（μcosθ-sinθ）向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與傳送帶v相等時(shí)，再以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若傳送帶較短時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

（2）若物塊放在傳送帶的底端，V₀<V(V₀≠0)且μ>tanθ.

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受到斜向上滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。由于μ>tanθ，則μmgcosθ>mgsinθ。得F合=μmgcosθ-mgsinθ=ma，a=g（μcosθ-sinθ）。物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

ⅰ.若傳送帶較短時(shí)，物體將以a=g（μcosθ-sinθ）向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

ⅱ.若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，物體先以a=g（μcosθ-sinθ）向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與傳送帶v相等時(shí)，在以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若傳送帶較短時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

（3）若物塊放在傳送帶的底端，V₀<V(V₀≠0)且μ<tanθ.

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受到斜向上滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ<tanθ，則有μmgcosθ<mgsinθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ）。即物體沿傳送帶斜向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

（4）若物塊放在傳送帶的底端，V₀>V(V₀≠0)且μ>tanθ.

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ>tanθ，則有μmgcosθ>mgsinθ。即F合=μmgcosθ+mgsinθ=ma，a=g（μcosθ+sinθ）。由于f與V₀反向，則物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

ⅰ.若傳送帶較短時(shí)，物體將以a=g（μcosθ+sinθ）沿傳送帶斜向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

ⅱ.若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，物體先以a=g（μcosθ+sinθ）沿傳送帶斜向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與傳送帶v相等時(shí)，在以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若傳送帶較短時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

（5）若物塊放在傳送帶的底端，V₀>V(V₀≠0)且μ<tanθ.

 

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受斜向下滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。F合=μmgcosθ+mgsinθ=ma，a=g（μcosθ+sinθ）。由于f與V₀反向，則物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

ⅰ.若傳送帶較短時(shí)，則物體將沿傳送帶斜向上以a=g（μcosθ+sinθ）做勻減速直線運(yùn)動(dòng)對(duì)物體受力分析如上左圖所示。

ⅱ.若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，則物體先沿傳送帶斜向上以a=g（μcosθ+sinθ）做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體的速度減速到v后摩擦力f的方向改變，其受力分析如上右圖所示。因μ<tanθ，則有μmgcosθ<mgsinθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ），則物體再以a=g（sinθ-μcosθ）沿傳送帶繼續(xù)斜向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若傳送帶較短時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

2、傳送帶斜向下傳送

（1）若物塊輕放在傳送帶的頂端，且μ>tanθ.

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受斜向下滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ>tanθ，則有μmgcosθ>mgsinθ。即F合=μmgcosθ+mgsinθ=ma，a=g（μcosθ+sinθ）。物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

ⅰ.若傳送帶較短時(shí)，物體將以a=g（μcosθ+sinθ）沿傳送帶斜向下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

ⅱ.若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，物體先以a=g（μcosθ+sinθ）沿傳送帶斜向下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與傳送帶v相等時(shí)，在以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若傳送帶較短時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

（2）若物塊放在傳送帶的頂端，V₀<V(V₀≠0)且μ>tanθ.

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受斜向下滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ>tanθ，則有μmgcosθ>mgsinθ。即F合=μmgcosθ+mgsinθ=ma，a=g（μcosθ+sinθ）。物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

ⅰ.若傳送帶較短時(shí)，物體將以a=g（μcosθ+sinθ）沿傳送帶斜向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

ⅱ.若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，物體先以a=g（μcosθ+sinθ）沿傳送帶斜向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與傳送帶v相等時(shí)，在以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

若傳送帶較短時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

（3）若物塊輕放在傳送帶的頂端，且μ<tanθ.

對(duì)物體受力分析，物體受斜向上滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ<tanθ，則有μmgcosθ<mgsinθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ），則物體以a=g（sinθ-μcosθ）沿傳送帶斜向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

（4）若物塊放在傳送帶的頂端，V₀<V(V₀≠0)且μ<tanθ.

 

對(duì)物體受力分析，物體受斜向上滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ<tanθ，則有μmgcosθ<mgsinθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ），則物體以a=g（sinθ-μcosθ）沿傳送帶斜向上做的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

（5）若物塊放在傳送帶的頂端，V₀>V(V₀≠0)且μ>tanθ.

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受斜向上滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ>tanθ，則有μmgcosθ>mgsinθ。即F合=μmgcosθ-mgsinθ=ma，a=g（μcosθ-sinθ）。物體的運(yùn)動(dòng)形式分析如下：

ⅰ.若傳送帶較短時(shí)，物體將以a=g（μcosθ-sinθ）沿傳送帶斜向下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

ⅱ.若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，物體先以a=g（μcosθ-sinθ）沿傳送帶斜向下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度與傳送帶v相等時(shí)，在以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

若傳送帶較短時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的①。

若傳送帶較長(zhǎng)時(shí)，對(duì)應(yīng)V-t圖像中的②。

（6）若物塊放在傳送帶的頂端，V₀>V(V₀≠0)且μ<tanθ.

對(duì)物體受力分析如上圖所示，物體受滑動(dòng)摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ）。

物體將以a=g（sinθ-μcosθ）沿傳送帶斜向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

利用V-t圖像分析該題時(shí)可以轉(zhuǎn)化如下圖所示。

對(duì)應(yīng)V-t圖像如上圖所示。

   物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)形式有很多種，分析方法也是多種多樣。V-t圖像的引入可以直觀的展現(xiàn)物體參與的所有運(yùn)動(dòng)形式。代替了傳統(tǒng)的公式推導(dǎo)和理論分析，可以簡(jiǎn)單明了的總結(jié)物體運(yùn)動(dòng)情況。對(duì)于上述的例子和分析可能還不夠精良，預(yù)判的情況不夠完備。對(duì)于具體的問題的解題方式方法還需從具體問題出發(fā)。筆者只是在這里提出一個(gè)可以應(yīng)用V-t圖像來(lái)輔助解題的方法?！皸l條大道通羅馬”解決問題的方法可以是多種多樣的。借助用V-t圖像能夠更容易理解并解決傳送帶問題。希望V-t圖像在傳送帶問題中的應(yīng)用能夠在以后學(xué)生學(xué)習(xí)傳送帶問題上有所幫助。

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