一、傳送帶模型分析
情景
傳送帶類別
圖示
滑塊可能的運(yùn)動情況
滑塊受（摩擦）力分析
情景1
水平
一直加速
受力f=μmg
先加速后勻速
先受力f=μmg，后f=0
情景2
水平
v0>v，一直減速
受力f=μmg
v0>v，先減速再勻速
先受力f=μmg，后f=0
v0
受力f=μmg
v0
先受力f=μmg，后f=0
情景3
水平
傳送帶長度l
，滑塊一直減速到達(dá)左端
受力f=μmg（方向一直向右）
傳送帶長度l≥
，v00
受力f=μmg（方向一直向右）
傳送帶長度l≥
，v0>v，滑塊先減速再向右加速，最后勻速，到達(dá)右端速度為v
減速和反向加速時(shí)受力f=μmg（方向一直向右），勻速運(yùn)動f=0
情景4
傾斜
一直加速
受摩擦力f=μmgcosθ
先加速后勻速
先受摩擦力f=μmgcosθ，后f=mgsinθ
情景5
傾斜
一直加速
受摩擦力f=μmgcosθ
先加速后勻速
先受摩擦力f=μmgcosθ，后f=mgsinθ
先以加速度a1加速，后以加速度a2加速
先受摩擦力f=μmgcosθ，后受反向的摩擦力f=μmgcosθ
情景6
傾斜
一直加速
受摩擦力f=μmgcosθ
先加速后勻速
先受摩擦力f=μmgcosθ，后f=mgsinθ
一直勻速（v0>v）
受摩擦力f=mgsinθ
一直勻速（v0=v）
受摩擦力f=0
先以加速度a1加速，后以加速度a2加速
先受摩擦力f=μmgcosθ，后受反向的摩擦力f=μmgcosθ
情景7
傾斜
一直加速
受摩擦力f=μmgcosθ
一直勻速
受摩擦力f=mgsinθ
先減速后反向加速
受摩擦力f=μmgcosθ，
二、應(yīng)用舉例
【例1】如圖1所示，一水平傳送裝置由輪半徑均為R＝ m的主動輪O1和從動輪O2及傳送帶等構(gòu)成。兩輪軸心相距8.0 m，輪與傳送帶不打滑?，F(xiàn)用此裝置運(yùn)送一袋面粉，已知這袋面粉與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.4。（g取10 m/s2）求：
（1）當(dāng)傳送帶以4.0 m/s的速度勻速運(yùn)動時(shí)，將這袋面粉由左端O2正上方的A點(diǎn)輕放在傳送帶上后（設(shè)面粉初速度近似為零），這袋面粉由A端運(yùn)送到O1正上方的B端所用的時(shí)間為多少？
（2）要想盡快將面粉由A端送到B端，主動輪O1的轉(zhuǎn)速至少應(yīng)為多大？
【解析】設(shè)這袋面粉質(zhì)量為m，其在與傳送帶產(chǎn)生相對滑動的過程中所受摩擦力f＝μmg。故其加速度為a＝＝μg＝4.0 m/s2。
（1）若傳送帶的速度v帶＝4.0 m/s，則這袋面粉加速運(yùn)動的時(shí)間t1＝v帶/a＝1.0 s，在t1時(shí)間內(nèi)的位移x1為x1＝at12＝2.0 m。
其后以v＝4.0 m/s的速度做勻速運(yùn)動，
x2＝lAB－x1＝vt2，
解得：t2＝1.5 s。
運(yùn)動的總時(shí)間為：t＝t1＋t2＝2.5 s。
（2）要想時(shí)間最短，這袋面粉應(yīng)一直向B端做加速運(yùn)動，由lAB＝at′2可得t′＝2.0 s。
面粉到達(dá)B端時(shí)的速度v′＝at′＝8.0 m/s，即傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的最小速度。
由v′＝ωR＝2πnR可得：n＝4 r/s＝240 r/min。
【例2】如圖2所示，質(zhì)量為m的物體從離傳送帶高為H處沿光滑圓弧軌道下滑，水平滑上長為L的靜止的傳送帶并落在水平地面的Q點(diǎn)，已知物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，則當(dāng)傳送帶轉(zhuǎn)動時(shí)，物體仍以上述方式滑下，將落在Q點(diǎn)的左邊還是右邊?
【解析】物體從P點(diǎn)滑下，設(shè)水平滑上傳送帶時(shí)的速度為v0，則由機(jī)械能守恒mgH=mv02，可得。
當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，分析物體在傳送帶上的受力知物體做勻減速運(yùn)動，a=μmg/m=μg。
物體離開傳送帶時(shí)的速度為，
隨后做平拋運(yùn)動而落在Q點(diǎn)。
當(dāng)傳送帶逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動時(shí)，分析物體在傳送帶上的受力情況與傳送帶靜止時(shí)相同，因而物體離開傳送帶時(shí)的速度仍為，隨后做平拋運(yùn)動而仍落在Q點(diǎn)。
（當(dāng)v02μgL時(shí)，物體將不能滑出傳送帶而被傳送帶送回，顯然不符合題意）
當(dāng)傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動時(shí)，可能出現(xiàn)五種情況：
（1）當(dāng)傳送帶的速度v較小，時(shí)，分析物體在傳送帶上的受力可知，物體一直做勻減速運(yùn)動，離開傳送帶時(shí)的速度為，因而仍將落在Q點(diǎn)。
（2）當(dāng)傳送帶的速度
時(shí)，分析物體在傳送帶上的受力可知，物體將在傳送帶上先做勻減速運(yùn)動，后做勻速運(yùn)動，離開傳送帶時(shí)的速度
，因而將落在Q點(diǎn)的右邊。
（3）當(dāng)傳送帶的速度
=v0時(shí)，則物體在傳送帶上不受摩擦力的作用而做勻速運(yùn)動，離開傳送帶時(shí)的速度
，因而將落在Q點(diǎn)的右邊。
（4）當(dāng)傳送帶的速度
時(shí)，分析物體在傳送帶上的受力可知，物體將在傳送帶上先做勻加速運(yùn)動，后做勻速運(yùn)動，離開傳送帶時(shí)的速度
，因而將落在Q點(diǎn)的右邊。
（5）當(dāng)傳送帶的速度v較大 時(shí)，分析物體在傳送帶上的受力可知，物體一直做勻加速運(yùn)動，離開傳送帶時(shí)的速度為，因而將落在Q點(diǎn)的右邊。
綜上所述：
當(dāng)傳送帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動或順時(shí)針轉(zhuǎn)動且速度時(shí)，物體仍將落在Q點(diǎn)；
當(dāng)傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動且速度時(shí)，物體將落在Q點(diǎn)的右邊。
【例3】如圖3所示，繃緊的傳送帶，始終以2 m/s的速度勻速斜向上運(yùn)行，傳送帶與水平方向間的夾角θ＝30°?，F(xiàn)把質(zhì)量為10 kg的工件輕輕地放在傳送帶底端P處，由傳送帶傳送至頂端Q處。已知P、Q之間的距離為4 m，工件與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ＝，取g＝10 m/s2。求：
（1）通過計(jì)算說明工件在傳送帶上做什么運(yùn)動；
（2）求工件從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)所用的時(shí)間。
【解析】（1）對工件進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律得：
μmgcosθ－mgsinθ＝ma，
代入數(shù)值得：a＝2.5 m/s2。
則其速度達(dá)到傳送帶速度時(shí)發(fā)生的位移為x1＝＝0.8 m
可見工件先勻加速運(yùn)動0.8 m，然后勻速運(yùn)動3.2 m。
（2）勻加速時(shí)，由x1＝t1得t1＝0.8 s，
勻速上升時(shí)t2＝＝1.6 s，
所以工件從P點(diǎn)運(yùn)動到Q點(diǎn)所用的時(shí)間為t＝t1＋t2＝2.4 s。
【例4】如圖4所示，傳送帶與水平面夾角為37°，并以v=10m/s運(yùn)行，在傳送帶的A端輕輕放一個(gè)小物體，物體與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，AB長16 m，求：以下兩種情況下物體從A到B所用的時(shí)間。
（1）傳送帶順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動；
（2）傳送帶逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動。
【解析】（1）傳送帶順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動時(shí)受力如圖4-1，由牛頓第二定律得
mgsinθ－μmgcosθ=ma，
物體下滑的加速度為a=gsinθ－μgcosθ=2m/s2。
加速的位移為s=
at2，故有加速的時(shí)間為：
。
（2）傳送帶逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動物體受力如圖4-2，開始摩擦力方向向下，向下勻加速運(yùn)動。
a=gsin37°+μgcos37°=10m/s2，
加速的時(shí)間為t1=v/a=1s。
加速的位移為s1=
at2 =5m，
還剩位移s2=11m。
由題意，1s后，速度達(dá)到10m/s，摩擦力方向變?yōu)橄蛏?，由牛頓第二定律得
a2=g sin37°-μg cos37°=2 m/s2。
由運(yùn)動學(xué)公式得s2=vt2+
a2t22，解得t2=1s，
故從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間為t=t1+t2=2s。
三、題后反思
在水平方向的傳送帶問題中物塊的受力主要是討論滑動摩擦力，在存在相對運(yùn)動時(shí)就會存在摩擦力，因此分析問題時(shí)以滑塊是否與傳送帶共速為臨界進(jìn)行分析討論。
在斜面方向上的傳送帶問題中物塊的受力就要復(fù)雜些了，物體相對傳送帶滑動或者有滑動的趨勢是判斷摩擦力方向的關(guān)鍵，比如滑塊受到沿斜面向下的滑動摩擦力作用，這樣物體在沿斜面方向上所受的合力為重力的下滑分力和向下的滑動摩擦力，物體要做勻加速運(yùn)動。當(dāng)物體加速到與傳送帶有相同速度時(shí)，摩擦力情況要發(fā)生變化，同速的瞬間可以看成二者間相對靜止，無滑動摩擦力，但物體此時(shí)還受到重力的下滑分力作用，因此相對于傳送帶有向下的運(yùn)動趨勢。若重力的下滑分力大于物體和傳送帶之間的最大靜摩擦力，此時(shí)有μ＜tanθ，則物體將向下加速，所受摩擦力為沿斜面向上的滑動摩擦力；若重力的下滑分力小于或等于物體和傳送帶之間的最大靜摩擦力，此時(shí)有μ≥tanθ，則物體將和傳送帶相對靜止一起向下勻速運(yùn)動，所受靜摩擦力沿斜面向上，大小等于重力的下滑分力。也可能出現(xiàn)的情況是傳送帶比較短，物體還沒有加速到與傳送帶同速就已經(jīng)滑到了底端，這樣物體全過程都是受沿斜面向上的滑動摩擦力作用。
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