前文回顧：【數(shù)學(xué)】常見數(shù)學(xué)解題方法（上）
六、 數(shù)學(xué)模型法
數(shù)學(xué)模型法，是指把所考察的實(shí)際問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究，使實(shí)際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法。
利用數(shù)學(xué)模型法解答實(shí)際問題（包括數(shù)學(xué)應(yīng)用題），一般要做好三方面的工作：
（1）建模。根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。從總體上說，建模的基本手段，是數(shù)學(xué)抽象方法。建模的具體過程，大體包括以下幾個(gè)步驟：
1. 考察實(shí)際問題的基本情形。分析問題所及的量的關(guān)系，弄清哪些是常量，哪些是變量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其對象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，確定問題所及的具體系統(tǒng)。
2. 分析系統(tǒng)的矛盾關(guān)系。從實(shí)際問題的特定關(guān)系和具體要求出發(fā)，根據(jù)有關(guān)學(xué)科理論，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的關(guān)系。
3. 進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。對事物對象及諸對象間的關(guān)系進(jìn)行抽象，并用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、符號和表達(dá)式去刻畫事物對象及其關(guān)系。如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用，可以根據(jù)實(shí)際情況，建立新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法去表現(xiàn)數(shù)學(xué)模型。
（2）推理、演算。在所得到的數(shù)學(xué)模型上，進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果。
（3）評價(jià)、解釋。對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價(jià)和解釋，返回到原來的實(shí)際問題中去，形成最終的解答。
七、試驗(yàn)法
解答數(shù)學(xué)題，需要多方面的信息。數(shù)學(xué)中的各種試驗(yàn)，常常能給人以有益的信息，為分析問題和解決問題提供必要的依據(jù)。
用試驗(yàn)法處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，必須從問題的實(shí)際情形出發(fā)，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，恰當(dāng)選擇試驗(yàn)的對象和范圍；在制定試驗(yàn)方案時(shí)，要全面考慮試驗(yàn)的各種可能情 形，不能有所遺漏；在實(shí)施試驗(yàn)方案時(shí)，要講究試驗(yàn)技巧，充分利用各次試驗(yàn)所提供的信息，以縮小試驗(yàn)范圍，減少試驗(yàn)次數(shù)，盡快找出原題的解答。
任何試驗(yàn)都和觀察相聯(lián)系。觀察依賴于試驗(yàn)，試驗(yàn)離不開觀察。因此，要用好試驗(yàn)法，必須勤于觀察，善于觀察，有目的、有計(jì)劃、有條理地進(jìn)行觀察。
八、分類法
分類法是數(shù)學(xué)中的一種基本方法，對于提高解題能力，發(fā)展思維的縝密性，具有十分重要的意義。
不少數(shù)學(xué)問題，在解題過程中，常常需要借助邏輯中的分類規(guī)則，把題設(shè)條件所確定的集合，分成若干個(gè)便于討論的非空真子集，然后在各個(gè)非空真子集內(nèi)進(jìn)行求 解，直到獲得完滿的結(jié)果。這種把邏輯分類思想移植到數(shù)學(xué)中來，用以指導(dǎo)解題的方法，通常稱為分類或分域法。
用分類法解題，大體包含以下幾個(gè)步驟：
第一步：根據(jù)題設(shè)條件，明確分類的對象，確定需要分類的集合A；
第二步：尋求恰當(dāng)?shù)姆诸惛鶕?jù)，按照分類的規(guī)則，把集合A分為若干個(gè)便于求解的非空真子集A1，A2，…An;
第三步：在子集A1，A2，…An內(nèi)逐類討論；
第四步：綜合子集內(nèi)的解答，歸納結(jié)論。
以上四個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，尋求分類的根據(jù)，是其中的一項(xiàng)關(guān)鍵性的工作。從總體上說，分類的主要依據(jù)有：分類敘述的定義、定理、公式、法則，具有分類討 論位置關(guān)系的幾何圖形，題目中含有某些特殊的或隱含的分類討論條件等。在實(shí)際解題時(shí)，僅憑這些還不夠，還需要有較強(qiáng)的分類意識，需要思維的靈活性和縝密 性，特別要善于發(fā)掘題中隱含的分類條件。
九、數(shù)形結(jié)合法
數(shù)形結(jié)合，是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)基本觀點(diǎn)，對于溝通代數(shù)、三角與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，具有重要的指導(dǎo)意義。理解并掌握數(shù)形結(jié)合法，有助于增強(qiáng)人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的能力。
數(shù)和形這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石。數(shù)學(xué)就是圍繞這兩個(gè)概念發(fā)展起來的。在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。
數(shù)形結(jié)合的基本思想，是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。
中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合法包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是運(yùn)用代數(shù)、三角知識，通過對數(shù)量關(guān)系的討論，去處理幾何圖形問題；二是運(yùn)用幾何知識，通過對圖形性質(zhì)的 研究，去解決數(shù)量關(guān)系的問題。就具體方法而論，前者常用的方法有解析法、三角法、復(fù)數(shù)法、向量法等；后者常用的方法主要是圖解法。
十、反證法與同一法
反證法和同一法是間接證明的兩種方法，在解題中有著廣泛的應(yīng)用。
（一）反證法是一種重要的證明方法。這里主要研究反證法的邏輯原理、解題步驟和適用范圍。
反證法的解題步驟：
第一步：反設(shè)。假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真。
第二步：歸謬。由反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果。這里所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理、公式矛盾，與已知條件矛盾，與臨時(shí)假設(shè)矛盾，以及自相矛盾等各種情形。
第三步：存真。由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。
反證法的三個(gè)步驟是互相聯(lián)系的。反設(shè)是前提，歸謬是關(guān)鍵，存真是目的。只有正確地作出反設(shè)，合乎邏輯地進(jìn)行推導(dǎo)，才能間接地證出原題。
十一、同一法
互逆的兩個(gè)命題未必等效。但是，當(dāng)一個(gè)命題條件和結(jié)論都唯一存在，它們所指的概念是同一概念時(shí)，這個(gè)命題和它的逆命題等效。這個(gè)道理通常稱為同一原理。
對于符合同一原理的命題，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，可以改證和它等效的逆命題，只要它的逆命題正確，這個(gè)命題就成立。這種證明方法叫做同一法。
同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題。應(yīng)用同一法解題，一般包括下面幾個(gè)步驟：
第一步：作出符合命題結(jié)論的圖形。
第二步：證明所作圖形符合已知條件。
第三步：根據(jù)唯一性，確定所作的圖形與已知圖形重合。
第四步：斷定原命題的真實(shí)性。
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