梁峰
《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教師版）》2011 年第 9 期
文獻(xiàn)結(jié)尾提出了兩個(gè)結(jié)論，現(xiàn)證明如下：
定理1已知PA，PB為橢圓
（a>0,b>0且a>b）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，Q為線段A，B的中點(diǎn)，線段PQ交橢圓于點(diǎn)C，則直線PQ經(jīng)過(guò)橢圓的中心O，且OC2=OP·OQ.
下面證明：OC2=OP·OQ.
為了證明以上結(jié)論，先給出文獻(xiàn)的結(jié)論：已知PA，PB為橢圓（雙曲線或者拋物線）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，過(guò)P的直線交橢圓（雙曲線或者拋物線）于C，D兩點(diǎn)，交弦AB于點(diǎn)Q，則PQ2=PC·PD-QC·QD.
由文獻(xiàn)可知PQ2-PC·PD+QC·QD=0.
上式左邊=（OP-OQ）2-（OP-OC）·（OP+OC）+
（OC-OQ）·（OC+OQ）
=OP2-2OP·OQ+OQ2-OP2+OC2+
OC2-OQ2
=2OC2-2OP·OQ=右邊=0，
即證OC2=OP·OQ.
定理2已知PA，PB為雙曲線
（a>0,b>0且a≠b）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，Q為線段A，B的中點(diǎn)，線段PQ交雙曲線于點(diǎn)C，則直線PQ經(jīng)過(guò)雙曲線的中心O，且OC2=OP·OQ.
證明類似定理1，略。
【參考文獻(xiàn)】
高凱。一道競(jìng)賽題的推廣［J］。數(shù)學(xué)通訊，2010（2）（下半月）。
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