第四章 珠算除法
除法是將一個數(shù)平均分成幾份，求出每份是多少，或求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍的方法，實(shí)際上也是同一個數(shù)連續(xù)相減的的簡便算法。其算式為：被除數(shù)÷除數(shù)=商數(shù)。當(dāng)除不盡時，除法的算式成為：被除數(shù)÷除數(shù)=商數(shù)……余數(shù)。
珠算除法的種類較多，一般分為基本算法和變通算法?；舅惴砂匆韵路诸悾孩侔粗蒙虣n次分，有挨檔置商和隔檔置商；②按求商是否用口訣分，有不用口訣求商和用口訣求商。
挨位置商除法是根據(jù)我國傳統(tǒng)的歸除口訣來撥珠運(yùn)算的，一歸除法為代表；隔檔置商除法是用九九口訣來撥珠運(yùn)算的，以商除法為代表。也就是說，珠算的基本除法主要有歸除法和商除法兩種，這兩種方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)：歸除法的優(yōu)點(diǎn)是利用九歸口訣定商是較準(zhǔn)的，但運(yùn)算時必須用口訣，因而牢記口訣就成為必需。商除法的計算方法和筆算類同，由于它不需口訣，故易于掌握，雖其定商不如歸除明顯，但如掌握了估商的規(guī)律，其速度是快的。不論用哪種方法運(yùn)算，珠算除法應(yīng)遵守以下兩個基本規(guī)則：①用被除數(shù)除以除數(shù)時，應(yīng)從左到右，先從被除數(shù)的最高位除起，依次除到最低位。②珠算除法是用大九九口訣相乘，其乘積是遞位迭減，它是乘法的逆運(yùn)算。
為便于讀者學(xué)習(xí)掌握各種珠算除法，我們對商除法、歸除法均加以介紹，同時還介紹一些變通除法。
第一節(jié) 商的定位法
商的定位法就是確定商數(shù)位數(shù)的方法。商的定位方法也有多種，常用的有：公式定位法、固定個位點(diǎn)定位法。
一、公式定位法
公式定位法也叫通用定位法，它是用公式的方法進(jìn)行定位，把定位的規(guī)律公式化，使之易懂、易記、易用。它有以下優(yōu)點(diǎn)：①適用范圍廣，不論筆算、心算、珠算、機(jī)械算等都能適用，并且比較方便；②不論整數(shù)、小數(shù)的除法，定位公式一致，原理相同；③不論在計算前、計算后，都適用；④盤上盤下都可用。
（一）定位公式
先假設(shè)：被除數(shù)的位數(shù)為m,除數(shù)的位數(shù)為n,商的位數(shù)為W,則有商的兩個定位公式：
公式一：W=m-n
公式二：W=m-n+1
從上面可以看出，商的位數(shù)有兩種情況：一是被除數(shù)位數(shù)減除數(shù)位數(shù)；二是被除數(shù)位數(shù)減除數(shù)位數(shù)再加一位。因此，在實(shí)際運(yùn)算中如何來判斷用哪個公式進(jìn)行定位是一個重要的問題，可先看下面兩組實(shí)例：
56÷8=7 … （2位-1位=1位）
第一組 270÷45=6… （3位-2位=1位）
2628÷36=73… （4位-2位=2位）
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92÷4=23… （2位-1位+1位=2位）
第二組 72÷24=3… （2位-2位+1位=1位）
169÷13=13…（3位-2位+1位=2位）
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從上面的例題可以看出，第一組是用公式一進(jìn)行定位的，即用W=m-n進(jìn)行定位；第二組是用公式二進(jìn)行定位的，即用W=m-n+1進(jìn)行定位。
（二）進(jìn)行定位的方法
在實(shí)際運(yùn)算中，如何迅速正確的判斷用哪個公式進(jìn)行定位，可用兩種方法進(jìn)行：一是公式定位基本方法；二是盤上公式定位法。
1、公式定位基本方法。
公式定位基本方法，是用被除數(shù)的首位數(shù)與除數(shù)的首位數(shù)進(jìn)行比較后來確定用哪個公式進(jìn)行定位，通過比較會出現(xiàn)三種情況：
（1）被除數(shù)的首位數(shù)小于除數(shù)的首位數(shù)。當(dāng)被除數(shù)的首位數(shù)小于除數(shù)的首位數(shù)時，就用公式一進(jìn)行定位，即用W=m-n進(jìn)行定位。如上面第一組的第一題，被除數(shù)首位是5，除數(shù)的首位是8,5比8小，就用公式一進(jìn)行定位。第一組的另外兩題也是如此。
（2）被除數(shù)的首位數(shù)大于除數(shù)的首位數(shù)。當(dāng)被除數(shù)的首位數(shù)大于除數(shù)的首位數(shù)時，就用公式二進(jìn)行定位，即用W=m-n+1進(jìn)行定位。如上面第二組的第一題，被除數(shù)的首位是9，除數(shù)的首位是4,9比4大，就用公式二進(jìn)行定位。
（3）被除數(shù)的首位數(shù)等于除數(shù)的首位數(shù)。當(dāng)被除數(shù)的首位數(shù)等于除數(shù)的首位數(shù)時，還要將兩因數(shù)的同位數(shù)進(jìn)行比較，即將被除數(shù)的第二位數(shù)與除數(shù)的第二位數(shù)進(jìn)行比較，如果被除數(shù)小于除數(shù)，就用公式一進(jìn)行定位；如果被除數(shù)大于除數(shù)，就用公式二進(jìn)行定位。如上面第二組的第三題169÷13，被除數(shù)與除數(shù)的首位數(shù)都是1，相等，則將兩因數(shù)的第二位進(jìn)行比較，6比3大，所以用公式二進(jìn)行定位。當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)的各位都相等時，用公式二進(jìn)行定位，如10÷10=1，是用公式二進(jìn)行定位的。
這種方法的定位可概括為：“位數(shù)相減，實(shí)大加1”。“位數(shù)相減”，代表公式一，即將被除數(shù)的位數(shù)減除數(shù)的位數(shù)?！拔粩?shù)相減，實(shí)大加1”，代表公式二，即將被除數(shù)的位數(shù)減除數(shù)的位數(shù)，還要再加1位。在什么情況下加1呢？實(shí)大的時候才加1。所謂“實(shí)大”，就是指被除數(shù)首位數(shù)大于除數(shù)的首位數(shù)，亦即夠除。
2、盤上公式定位法。
把公式定位法原理運(yùn)用到算盤上定位，叫做“盤上公式法”，又稱“首位檔定位法”。它是指經(jīng)運(yùn)算后，根據(jù)商數(shù)的首位數(shù)落在哪一檔上來確定用哪個公式進(jìn)行定位。用這種方法進(jìn)行定位，要依據(jù)運(yùn)用什么除法來運(yùn)算。如果用隔位置商（如商除法）的方法進(jìn)行運(yùn)算時，運(yùn)算完畢，如果商的首位數(shù)落在原被除數(shù)首位數(shù)的前一檔上，就用公式一進(jìn)行定位；如果商的首位數(shù)落在原被除數(shù)首位數(shù)的隔一檔上，就用公式二進(jìn)行定位。假如用挨位置商（如歸除法）的方法進(jìn)行運(yùn)算時，運(yùn)算完畢，如果商的首位數(shù)落在原被除數(shù)首位數(shù)的本檔上，就用公式一進(jìn)行定位；如果商的首位數(shù)落在原被除數(shù)首位數(shù)的前一檔上，就用公式二進(jìn)行定位。
為了盡快確定一道題用哪個公式進(jìn)行定位,最好是將被除數(shù)撥在固定的檔位上,不要隨意變動.運(yùn)用歸除法運(yùn)算,一般是將被除數(shù)從算盤左邊第二檔起撥入,即算盤左邊留出一個空檔;運(yùn)用商除法運(yùn)算,將被除數(shù)從算盤左邊第三檔起撥入,即算盤左邊留出兩個空檔。這樣，當(dāng)運(yùn)算完畢后，如果算盤左邊第一檔有商數(shù)時就要加1位，即用公式二進(jìn)行定位；否則是不能加1位的，即用公式一進(jìn)行定位。
這種方法的定位可概括為：“位數(shù)相減，滿檔加1”?！拔粩?shù)相減”，代表公式一，即將被除數(shù)的位數(shù)減除數(shù)的位數(shù)?！拔粩?shù)相減，滿檔加1”。代表公式二，即將被除數(shù)的位數(shù)減除數(shù)的位數(shù)，還要再加1位。在什么情況下加1呢？滿檔的時候才加1位，所謂“滿檔”，就是指商數(shù)的首位數(shù)在算盤左邊第一檔出現(xiàn)。
[例一]239668÷57.2=4190（用不隔位除法運(yùn)算）
①將被除數(shù)239668從算盤左邊第二檔起撥入。
②運(yùn)算結(jié)果的盤面數(shù)是419，但首位檔是空檔，故用公式m-n進(jìn)行定位,即6位-2位=4位，得到商數(shù)為4190。
[例2]69275÷42.5=1630（用不隔位除法運(yùn)算）
①將被除數(shù)69275從算盤左邊第二檔起撥入。
②運(yùn)算結(jié)果的盤面數(shù)是163，但首位檔是滿檔，故用公式m-n+1進(jìn)行定位,即5位-2位+1位=4位,得到商數(shù)為1630。
二、固定個位點(diǎn)（檔）定位法
它是一種算前定位法，又叫固定個位檔定位法。是在運(yùn)算前運(yùn)用m-n或m-n+1求出商的個位,然后按此要求將被除數(shù)和除數(shù)兩數(shù)的位數(shù)相減(m-n)得出位數(shù);如采用隔位除法運(yùn)算,是將被除數(shù)的位數(shù)減除數(shù)的位數(shù)后再減1位(m-n-1)得出位數(shù)。得出的位數(shù)作為“實(shí)數(shù)”的新位數(shù)，然后對應(yīng)個位檔撥入盤內(nèi)，它的個位就是所求商的個位。
[例1]457.71÷57=8.03(用不隔位除法運(yùn)算)
①算前定位: m-n=3位-2位=1位,并將被除數(shù)457.71改變?yōu)?.5771撥入算盤,定出個位檔。
②運(yùn)算結(jié)果，盤面數(shù)為803，原定個位檔是8，故商數(shù)為8.03。
[例2]8.046÷0.14=57.6(用隔位除法運(yùn)算)
①算前定位: m-n-1=1位-0位-1位=0位,并將被除數(shù)8.064改變?yōu)?.8064撥入算盤,定出個位檔。
②運(yùn)算結(jié)果,盤面數(shù)為576,以原定個位檔計數(shù),則商數(shù)為57.6。
練習(xí)題
用公式定位法確定下列各題的商
(1)2506.61÷68.3→367；(2)412.02÷327→126；(3)3.74496÷0.752→498；(4)0.76076÷3.08→247；(5)49491.2÷836→592；(6)24.60051÷0.03267→753；(7)4.76248÷23.6→2018；(8)19226.66÷498.1→386；(9)52.3882÷0.00326→1607；(10)0.03100188÷85.17→364
第二節(jié) 基本除法
一、商除法
（一）筆算除法與珠算除法的聯(lián)系和區(qū)別
基本商除法，又稱算術(shù)商除法，它是用大九九口訣進(jìn)行求商，計算的原理和方法與筆算除法基本一致。商除法的“商”，是商量、商議之意，即用估商的辦法求出商數(shù)，每求一位商數(shù)都需經(jīng)過估商和乘減兩個步驟。但也有不同的地方：一是珠算運(yùn)用的工具是算盤，而筆算的用紙和筆；二是珠算估商后將商置在算盤左邊，而筆算把商數(shù)寫在被除數(shù)上方；三是減積時，筆算將積數(shù)寫在紙上，珠算則只須邊乘邊從算盤上減去積數(shù)。所以，珠算比筆算方便又快速。
商除法歷史悠久，古書《孫子算經(jīng)》早有記述方法，但有商除專名者，始見南宋楊輝《算法通變本末》一書。歷史上商除法都是“隔位”法的，即“夠除隔位置商，不夠除挨位置商”。當(dāng)今，發(fā)展有“不隔法”的，即“夠除挨位商，不夠除本位改商”。
(二)隔位商除法
1.商除法程序、步驟。
（1）置數(shù)。是將被除數(shù)撥入算盤，撥入被除數(shù)時，算盤的左邊起碼要留出兩個空檔，即被除數(shù)從算盤左邊第三檔起撥入。
（2）估商。估商也叫試商，就是被除數(shù)除以除數(shù)確定商數(shù)是幾。
（3）置商。置商也叫立商，就是將估計的商數(shù)撥在某一檔上。置商原則是：“數(shù)大（相等）隔位商，數(shù)小前位商。
“數(shù)大”包括兩種類型：①被除數(shù)的首位數(shù)大于除數(shù)首位數(shù)字。如：763÷48，被除數(shù)首數(shù)是7，除數(shù)首位是4，7比4大。②被除數(shù)和除數(shù)頭幾位數(shù)字相同，但后面的數(shù)字，被除數(shù)大于除數(shù)。如：33763÷335，被除數(shù)和除數(shù)的首次兩位都是3，相同，但被除數(shù)和除數(shù)的第三位分別是7和5，7比5大。
“相等“是指被除數(shù)和除數(shù)相同的。如”473627÷473，被除數(shù)和除數(shù)的前三位都是473，相等。
“數(shù)小”包括以下兩類型：①被除數(shù)的首位數(shù)字小于除數(shù)的首位數(shù)的。如：41263÷653，被除數(shù)首位是4，除數(shù)首位是6，4比6小。②被除數(shù)和除數(shù)的頭位或頭幾位數(shù)字相同，但后面的數(shù)字被除數(shù)小于除數(shù)。如：5367÷586，被除數(shù)和除數(shù)的首位都是5，相同，但被除數(shù)和除數(shù)的第二位分別是3和8，3比8小。
“隔位商”，就是指要在被除數(shù)首位的左邊隔一檔上置商。
“前位商”，就是指在要被除數(shù)首位的左邊前一檔上置商。
分清數(shù)大（相等）或數(shù)小，在商除法中是極為重要的，因?yàn)樗鼪Q定置商的檔次。
（4）減積。即從被除數(shù)中減“商數(shù)與除數(shù)的乘積”。就是將試商乘以除數(shù)，依次相乘，邊乘邊從被除數(shù)中減去積數(shù)。是從商數(shù)的右邊一檔開始減。
（5）商數(shù)或余數(shù)。減商積以后，被除數(shù)被減后，被減數(shù)減完，便是除盡了，所以之商就是商數(shù)。
如果還有余數(shù)，這個數(shù)也叫做第二次被除數(shù)，按照以上程序再進(jìn)行估商、置商、減商積，去做第二次除、第三次除……有幾次余數(shù)就要做幾次除，直到除盡或計算到所要求的位數(shù)為止。
（6）定位。用公式定位法進(jìn)行定位。
2.一位數(shù)除法。
在珠算方面，除數(shù)只有一個非零的數(shù)字，稱一位數(shù)除法。一位數(shù)除法的運(yùn)算方法及步驟為：
（1）置數(shù)。將被除數(shù)從算盤左第三檔起撥入，要求默記除數(shù)。
（2）估商。就是把被除數(shù)的首位或首次兩位除以除數(shù)，用心算估計出商數(shù)。當(dāng)被除數(shù)首位大于除數(shù)時，是將被除數(shù)的首位數(shù)除以除數(shù)而求出商數(shù);當(dāng)被除數(shù)首位小于除數(shù)時，是將被除數(shù)的首次兩位除以除數(shù)而求商數(shù)。
（3）置商。按置商原則規(guī)定的要求進(jìn)行置商。
（4）減積。將估計的商數(shù)乘以除數(shù)，其積數(shù)從商數(shù)的右邊一檔開始減去。
（5）定位。用公式定位法進(jìn)行定位。
[例1]2622÷6＝437
①將被除數(shù)2622從算盤左邊第三檔起撥入。
②被除數(shù)首位2小于除數(shù)6，是屬數(shù)小類型。將被除數(shù)的首次兩位26除以6，估計商數(shù)4并撥在被除數(shù)首位2的前一檔上（數(shù)小前位商），然后在商4的右檔起減乘積“四六24”，得首位商4，余數(shù)為222。
③余數(shù)首位2小于除數(shù)6，是屬數(shù)小類型。將余數(shù)首次兩位的22除以6，估計商數(shù)3并撥在余數(shù)首位2的前一檔上（數(shù)小前位商），然后在商3的右檔起減乘積“三六18”，得首、次位商為43，余數(shù)為42。
④余數(shù)首位4小于除數(shù)6，是屬數(shù)小類型。將余數(shù)首次兩位42除以6，估計商數(shù)7并撥在余數(shù)首位4的前一檔上（數(shù)小前位商），然后在商7的右檔起減乘積“七六42”，恰好除盡。
⑤定位，用盤上公式定位法定位，盤左一檔無商數(shù)，則不加1，4位-1位＝3位，得商數(shù)為437。
[例2]738÷3＝246
①將被除數(shù)738從算盤左邊第三檔起撥入。
②被除數(shù)首位7大于除數(shù)3，是屬數(shù)大類型。將被除數(shù)的首位7除以3，估計商數(shù)2并撥在被除數(shù)首位7前面隔一檔上（數(shù)大隔位商），然后在商2的右檔起減乘積“二三06”，得首位商2，余數(shù)為138。
③余數(shù)首位1小于除數(shù)3，是屬數(shù)小類型。將余數(shù)首次兩位13除以3，估計商數(shù)4并撥在余數(shù)首位1的前一檔上（數(shù)小前位商），然后在商4的右檔起減乘積“四三12”，得首、次位商為24，余數(shù)為18。
④余數(shù)首位1小于除數(shù)3，是屬數(shù)小類型。將余數(shù)首次兩位18除以3，估計商數(shù)6并撥在余數(shù)首位1的前一檔上（數(shù)小前位商），然后在商6的右檔起減乘積“六三18”，恰好除盡。
⑤定位，用盤上公式定位法，商的首位數(shù)在算盤左邊第一檔上，故要加1位，3位-1位+1位＝3位，得商數(shù)為246。
練習(xí)題
用商數(shù)法計算下列各題：
（1）1548÷4＝？（2）3052÷7＝？（3）286÷2＝？（4）5056÷8＝？（5）3228÷6＝？（6）26.46÷9＝？（7）2.58÷0.5＝？（8）0.1134÷0.03＝？（9）723.4÷2＝？（10）1.7325÷0.07＝？
3.多位數(shù)除法
除數(shù)里非零的數(shù)字超過一位者，稱之為多位數(shù)除法。多位數(shù)除法與一位數(shù)除法大同小異，也有置數(shù)、估商、置商、減積、定位等五個計算步驟。不同的只是由于除數(shù)的位數(shù)增加后，減積次數(shù)也相應(yīng)增加，同時，給估商和減積帶來了一定的難度。
多位數(shù)除法的運(yùn)算方法及步驟：
（1）置數(shù)。同一位數(shù)除法一樣，將被除數(shù)從算盤左邊第三檔開始撥入。
（2）估商。雖然與一位數(shù)除法一樣，是將被除數(shù)的首位或首次兩位除以除數(shù)的首位，但由于除數(shù)的第一位數(shù)字和第二位數(shù)字對商數(shù)影響較大，因此，估商時要靈活運(yùn)用。
（3）置商。同一位數(shù)除法的置商一樣。
（4）減積。估商后，用商數(shù)與除數(shù)各位數(shù)字逐一相乘，依次從被除數(shù)中減去。減積的檔次是：除數(shù)是第幾位，它與商數(shù)相乘，其乘積的十位數(shù)就從商右邊第幾檔中減去。也就是說，除數(shù)是第一位，它與商數(shù)相乘后其乘積的十位數(shù)就在商數(shù)右邊第一位減，個位數(shù)在商右邊第二位減；除數(shù)是第二位，它與商數(shù)相乘后其乘積的十位數(shù)就在商右邊第二位減，個位數(shù)在商右邊第三位減，余依此類推?；蛘呤菑纳虜?shù)右邊一檔起開始減積數(shù)，以下各減的數(shù)依照“指不離檔”原則逐位從被除數(shù)中減去。
（5）定位。用公式定位法進(jìn)行定位。
[例1]308924÷826＝374
①將被除數(shù)308924從算盤左邊第三檔起撥入。
②被除數(shù)首位3小于除數(shù)首位8，屬數(shù)小類型。將被除數(shù)的首次兩位30除以除數(shù)首位8，可估商3并撥在被除數(shù)首位3的前一檔上（數(shù)小前位商），然后在商3的右一檔起依次減去乘積“三八24”、“三二06”、“三六18”，余數(shù)為61124。
③余數(shù)首位6小于除數(shù)首位8，屬數(shù)小類型。將余數(shù)的首次兩位61除以除數(shù)首位8，可估商7并撥在余數(shù)首位6的前一檔上（數(shù)小前位商），然后在商7的右一檔起依次減去乘積“七八56”、“七二14”、“七六42”，余數(shù)為3304。
④余數(shù)首位3小于除數(shù)首位8，屬數(shù)小類型。將余數(shù)的首次兩位33除以除數(shù)首位8，可估商4并撥在余數(shù)首位3的前一檔上（數(shù)小前位商），然后在商4的右一檔起依次減去乘積“四八32”、“四二08”、“四六24”，恰好除盡。
⑤定位，用盤上公式定位法，商的首位數(shù)在算盤左邊第二檔上，故不能加1位，6位-3位＝3位，得商為374。
