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【題頭】

簡諧運(yùn)動(dòng)是最簡單、最基本的機(jī)械振動(dòng)，如果一個(gè)做機(jī)械振動(dòng)的物體的回復(fù)力與偏離平衡位置的位移大小成正比，而且方向與位移方向相反（即滿足：F=?kx，k為常數(shù)），就能判定它是簡諧運(yùn)動(dòng)。彈簧振子、單擺等是我們熟悉的簡諧運(yùn)動(dòng)，還有哪些機(jī)械運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)呢？請(qǐng)看下面的例題。

【例題1】

“雙彈簧振子”的運(yùn)動(dòng)。

如圖所示，將兩個(gè)勁度系數(shù)分別為k₁和 k₂的輕質(zhì)彈簧套在光滑的水平桿上，彈簧的兩端固定，中間接一質(zhì)量為m的小球，此時(shí)兩彈簧均處于原長?，F(xiàn)將小球沿桿拉開一段距離后松開，小球以O為平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)證明小球所做的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。

【解析】

當(dāng)小球向右運(yùn)動(dòng)到任意位置C，離開O的位移為x，此時(shí)小球受到兩個(gè)彈力F₁、F₂，方向沿x軸負(fù)方向，如圖所示。

兩個(gè)力的合力即為小球的回復(fù)力，即F=?(F₁+F₂)=?(k₁x+k₂x)=? ( k₁+k₂)x，其中k₁+k₂為常數(shù)，所以F與x成正比?；貜?fù)力F沿x軸負(fù)方向，位移x沿x軸正方向，F與x方向相反。由此證明小球所做的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。

【例題2】

“類單擺”運(yùn)動(dòng)。

如圖，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球在光滑的圓弧面上振動(dòng)，圓弧面所在圓周的半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圓弧的長度，試證明小球的運(yùn)動(dòng)可以視為簡諧運(yùn)動(dòng)。

【解析】

設(shè)小球質(zhì)量為m，圓弧的半徑為R，小球相對(duì)平衡位置的位移為x.

小球的重力沿切線方向的分力是小球沿圓弧振動(dòng)的回復(fù)力F_回=mgsinθ 

當(dāng)半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圓弧的長度時(shí)，θ很小，小球位移的大小與θ角所對(duì)的弧長及θ角所對(duì)的弦都近似相等，因而sinθ≈x/R，且位移方向與回復(fù)力方向相反，所以回復(fù)力為F_回=?mgx/R，所以小球的運(yùn)動(dòng)可以視為簡諧運(yùn)動(dòng)。 

【例題3】

電場(chǎng)中的簡諧運(yùn)動(dòng)。

如圖所示，M、N是真空中兩個(gè)電荷量均為+Q的固定點(diǎn)電荷，它們間的距離為2L，O是MN連線的中點(diǎn)。一電荷量為+q的帶電粒子放置在M、N連線上的P點(diǎn)，P、O間的距離為d.已知靜電力常量為k，不計(jì)粒子重力。

現(xiàn)將帶電粒子從P點(diǎn)由靜止釋放，若d<>，帶電粒子所做的運(yùn)動(dòng)能否視為簡諧運(yùn)動(dòng)？試分析說明。

【解析】

帶電粒子由靜止釋放后，將以O為平衡位置振動(dòng)。以O為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)軸。

當(dāng)帶電粒子相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的位移為x時(shí)，帶電粒子所受的電場(chǎng)力：

由題意可知，x<>，則

所以，當(dāng)d<>時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可視為簡諧運(yùn)動(dòng)。

【品析】

    一個(gè)運(yùn)動(dòng)是否是簡諧運(yùn)動(dòng)，除了用F=?kx來判斷外，也可以通過簡諧運(yùn)動(dòng)的特征來分析。如簡諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程x=Acosωt；簡諧振動(dòng)的周期滿足

【拓展1】

圓周中的簡諧運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)以角速度ω做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。請(qǐng)分析論證小球在x方向上的分運(yùn)動(dòng)是否符合簡諧運(yùn)動(dòng)的特征。

【解析】

質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，在B點(diǎn)將速度分解，如圖所示。

A點(diǎn)速度v₀沿x正方向，所以v₀即為x方向上經(jīng)過平衡位置O點(diǎn)的速度。

B點(diǎn)速度沿x方向的分量為v_x= v₀sinθ①   

B點(diǎn)在x方向的投影x= Rcosθ②

B點(diǎn)加速度沿x方向的分量為：a_x =?Rω²cosθ③

由牛頓第二定律可得：F_x =ma_x=?mRω²cosθ④

由②④得：F_x= ?mω²x，其中的mω²對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)是不變的，說明小球在x方向上的分運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。

也可以采用如下方法來分析：

將①②兩式兩邊平方并相加

整理后得

因v-₀和R均不變，所以式中

【拓展2】

當(dāng)一個(gè)較為復(fù)雜的物理過程，在某一方面的特征與一個(gè)簡單的物理過程特征相同時(shí)，我們可以通過研究簡單物理過程的規(guī)律了解復(fù)雜的物理過程。如對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的研究可以轉(zhuǎn)化為研究豎直方向和水平方向的直線運(yùn)動(dòng)。

小球在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在水平地面上形成投影的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，這是可以證明的結(jié)論。設(shè)小球的質(zhì)量為m，角速度為ω，半徑為A，從開始計(jì)時(shí)經(jīng)時(shí)間t小球位置如圖所示。

a．取過圓心O水平向右為x軸，則小球的位移在x軸方向上的分量可表示為x=Asinωt。以此為例，寫出小球在x軸方向的速度v_x、加速度a_x及合外力F_x隨時(shí)間t的變化關(guān)系。

b．物體做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，回復(fù)力應(yīng)該滿足F=－kx，則反映該投影是簡諧運(yùn)動(dòng)中的k值是多少？

【解析】

a．對(duì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度v=ωA，向心加速度a=ω²A，合外力F=mω²A。

在x軸方向上，有：

b．小球在x軸方向上為簡諧運(yùn)動(dòng)，故F_x=－kx，所以k=mω²

【小試牛刀】

如圖所示，一個(gè)半徑為R、電荷量為+Q的均勻帶電圓環(huán)固定在真空中，環(huán)心為O，MN是其中軸線?，F(xiàn)讓一電荷量為?q、質(zhì)量為m的帶電粒子從MN上的P點(diǎn)由靜止釋放，P、O間的距離為d.不計(jì)粒子重力。試證明：當(dāng)d<>時(shí)，帶電粒子做簡諧運(yùn)動(dòng)。