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高中物理 | 追及問題

2018.06.28

追及問題問題常涉及的是兩個(gè)或兩個(gè)以上物體（或質(zhì)點(diǎn)）在某段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的相關(guān)運(yùn)動(dòng)，分析該類問題需要有正確的時(shí)間和空間觀念。從時(shí)間和空間的角度來(lái)看，追及問題實(shí)質(zhì)就是指同一時(shí)刻能否同時(shí)到達(dá)空間同一位置?？梢?，追及時(shí)若能相遇的物體必然存在以下兩個(gè)關(guān)系：一是追及位置與各物體的初始位置之間存在著一定的位移關(guān)系（若同地出發(fā)，相遇時(shí)位移相等為空間條件）；二是追及時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也存在一定的關(guān)系，若物體同時(shí)出發(fā)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等；若兩者先后出發(fā)相差△t，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為

。要使物體追及就必須同時(shí)滿足上述位移關(guān)系和運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系。

解“追及”、“相遇”解題的基本思路是：

①根據(jù)對(duì)兩物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，畫出物體的運(yùn)動(dòng)示意圖。

②根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，分別列出兩物體的位移方程（注意要將兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系反映在方程中）。

③由運(yùn)動(dòng)示意圖找出兩物體位移間相關(guān)聯(lián)的方程。

④聯(lián)立方程求解。

⑵分析“追及”、“相遇”問題應(yīng)注意：

①分析“追及”、“相遇”問題時(shí)，一定要抓住一個(gè)條件，即兩物體的速度相等時(shí)，它們的距離是最大還是最小，是恰好追上還是恰好追不上等。

②兩個(gè)關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。通過(guò)畫示意圖找到兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的突破口。

③若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定要注意追上前該物體是否停止運(yùn)動(dòng)。

④解決“追及”和“相遇”問題大致可分為兩種方法，即數(shù)學(xué)方法和物理方法。求解過(guò)程中可以有不同的思路，例如考慮使用圖象法等。

1、勻速運(yùn)動(dòng)的物體追趕勻加速運(yùn)動(dòng)的物體

例1、甲、乙兩車相距10m，現(xiàn)兩車同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，甲車在乙車后面做速度為5m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)。乙做初速度為零、加速度為2m/s²的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。試問甲車能否追上乙車？若能追上，則需經(jīng)多少時(shí)間；若不能追上，兩車間最短的距離是多少。

分析：若兩物體同向追趕，則兩者速度相等往往是物體間能否追上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)。

解析：設(shè)經(jīng)過(guò)ts后甲追上乙，畫出運(yùn)動(dòng)示意圖，如圖所示

則由圖可知甲車追上乙車時(shí)位移關(guān)系應(yīng)有

即

代入整理得

上式由于

顯然t在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，這表明甲車無(wú)法追上乙車。

不能追上時(shí)，當(dāng)兩車速度相等時(shí)兩車間距離最短，故有

，代入數(shù)據(jù)得

，所以兩車間最小距離為

。

2、減速運(yùn)動(dòng)的物體追趕勻速運(yùn)動(dòng)的物體

例2、在鐵軌上有甲、乙兩列車，甲車在前，乙車在后，分別以

的速度同向勻速行駛，當(dāng)甲、乙距離為1500m時(shí)，乙車開始剎車做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為0.2m/s²，問乙車能否追上甲車。

分析：若追上時(shí)，追者速度大于被追者速度，則被追者還有一次追上追者的機(jī)會(huì)；在此期間兩物體速度相等時(shí)，二者間距最大。

解析：當(dāng)乙車的速度減為和甲車的速度相等時(shí)，若乙車的位移大于或等于甲車相對(duì)乙車初始位置的位移，則乙車一定能追上甲車，否則追不上。

設(shè)乙車速度減為

，所用時(shí)間為t，則

由

可得

這段時(shí)間里乙車的位移

這段時(shí)間內(nèi)甲車對(duì)乙車初始位置的位移為：

因?yàn)?span lang='EN-US'>

，故乙車能追上甲車，又因?yàn)樗俣认嗟葧r(shí)，乙車超到前面做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則甲車還有一次追上乙車的機(jī)會(huì)，故相遇兩次。

3、勻加速運(yùn)動(dòng)的物體追趕勻速運(yùn)動(dòng)的物體

例3、一輛值勤的警車停在公路旁，當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以

的速度勻速行駛的貨車有違章行為時(shí)，決定前去攔截，經(jīng)2.5s，警車發(fā)動(dòng)起來(lái)，以a=2m/s²加速度勻加速開出，警車以加速度

維持勻加速運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大速度為

，試問：

（1）警車要多長(zhǎng)時(shí)間才能追上違章的貨車？

（2）在警車追上貨車之前，兩車間的最大距離是多少？

解析：（1）設(shè)警車在勻加速運(yùn)動(dòng)中經(jīng)時(shí)間t追上貨車，則根據(jù)位移關(guān)系有：

代入數(shù)據(jù)得

解得

此時(shí)警車速度

因此警車發(fā)動(dòng)后10s可追上貨車

（2）當(dāng)兩車速度相等，即

時(shí)

兩車相距最遠(yuǎn)，兩車的最遠(yuǎn)距離為

代入數(shù)據(jù)得：

4、勻加速運(yùn)動(dòng)的物體追趕勻加速運(yùn)動(dòng)的物體

例4、羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)過(guò)

距離能加速到最大速度

，并能維持一段較長(zhǎng)的時(shí)間；獵豹從靜止開始奔跑，經(jīng)過(guò)

的距離能加速到最大速度

，以后這個(gè)速度只能維持4.0s。設(shè)獵豹距離羚羊x時(shí)開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊后1.0s才開始奔跑，假設(shè)羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速運(yùn)動(dòng)。且均沿同一直線奔跑。求：

（1）獵豹要在其最大速度減速前追到羚羊，x值應(yīng)在什么范圍？

（2）獵豹要在其加速階段追上羚羊，x值應(yīng)在什么范圍？

解析：對(duì)于討論獵豹開始攻擊時(shí)離羚羊的距離x的范圍，首先要根據(jù)題意，分析獵豹攻擊羚羊時(shí)的物理情景和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，從而找出位移和速度關(guān)系。特別要注意獵豹和羚羊的加速時(shí)間和最大速度以及獵豹以最大速度做勻速運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。

（1）獵豹要在其最大速度減速前追到羚羊，即獵豹的運(yùn)動(dòng)只能是先勻加速，后勻速。設(shè)獵豹在維持最大速度的時(shí)間t內(nèi)追到羚羊，由題意得

?，F(xiàn)首先需要考慮的問題是，當(dāng)獵豹追到羚羊時(shí)，羚羊的運(yùn)動(dòng)情況如何？為此，可先分別求得羚羊和獵豹做加速運(yùn)動(dòng)的加速度和時(shí)間。羚羊做加速運(yùn)動(dòng)的加速度為：

羚羊做加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

而獵豹做加速運(yùn)動(dòng)的加速度為

獵豹做加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

顯然由

可知：當(dāng)獵豹進(jìn)入勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程1s后，羚羊?qū)⒆鰟蛩龠\(yùn)動(dòng)。所以，當(dāng)獵豹追到羚羊時(shí)，羚羊早已在勻速運(yùn)動(dòng)，只是勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比獵豹少了1s。

則根據(jù)位移關(guān)系有

解得

（2）獵豹要在其加速階段追上羚羊，言下之意是，獵豹運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

又因

，所以獵豹追上羚羊時(shí)，羚羊也正在加速，則根據(jù)位移關(guān)系有：