上海市楊浦區(qū)教師進修學(xué)院 李沐東 選自《物理教師》2009年第7期
在進行高中物理“勻速圓周運動”章節(jié)的學(xué)習(xí)時，常會在各類教科書和參考資料上看到這樣的提法：“向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量”。例如“向心加速度的方向始終與速度的方向垂直，它只是描述物體運動速度方向變化的快慢程度，并不描述運動速度大小的變化快慢程度?！?；“向心加速度表示做勻速圓周運動的質(zhì)點速度方向變化的快慢。”。
產(chǎn)生上述提法的根源在于：做曲線運動的物體不僅速度的大小可以發(fā)生變化而且線速度的方向時刻在變化，因此物體具有加速度，且加速度與速度成一定夾角。這種情況比較復(fù)雜，但我們由勻加速直線運動和勻速率圓周運動這兩個特殊情況的加速度特點可以得到一些啟示，即可以把一般的加速度a分解為兩部分：一個分量方向與速度方向在同一直線上，稱為切向加速度aτ；另一個分量方向與速度方向垂直，稱為法向加速度an。再從加速度是描述速度變化快慢的物理量這一概念出發(fā)，從而說：切向加速度是描述速度大小變化快慢的物理量，而法向加速度(對于圓周運動即為向心加速度)是描述速度方向變化快慢的物理量。這一說法似乎順理，但成章嗎？
這一觀點在解釋質(zhì)點做勻速圓周運動時問題不大，但在解釋做繞軸轉(zhuǎn)動的剛體時，就會遇到難以調(diào)和的矛盾。如下例。
一根輕質(zhì)細(xì)桿繞其一端O點勻速轉(zhuǎn)動，桿上分布A、B兩點，如圖1所示。已知rA＜rB，當(dāng)輕質(zhì)桿從位置1轉(zhuǎn)到位置2時，A、B兩點的線速度方向改變的角度一致，所以線速度的方向改變快慢一致；但由于有an＝rω2，所以兩點的向心加速度有aA＜aB的關(guān)系，這說明向心加速度并不是描述線速度方向變化快慢的物理量。
由此，一部分物理教師對上述說法提出異議，因A、B兩點的角速度ω是相同的，從而提出“角速度ω是標(biāo)志圓周運動的線速度的方向變化快慢的物理量”的觀點。
這兩個觀點孰對孰錯。雜志上也有不少相關(guān)的討論文章，各持己見。那么線速度方向變化快慢到底該用什么物理量來衡量？本文擬從定義速度方向變化快慢的物理量出發(fā)，對相關(guān)物理量的物理意義和數(shù)學(xué)定義式進行分析，以澄清認(rèn)識。
首先對一般曲線運動的速度方向變化的快慢研究入手，對于速度方向變化快慢可以作如下推導(dǎo)：
d（v/v）/dt＝(vdv/dt－vdv/dt)/v2＝va/v2－vaτ/v2＝a/v－vaτ/v2＝(aτ＋an)/v－aτ/v＝an/v
這里（v/v）為速度方向的單位矢量，其大小為1，只表示速度的方向，因而d（v/v）/dt即表示速度方向變化的快慢。
根據(jù)上述的推導(dǎo)，描述速度方向變化快慢的物理量應(yīng)為an/v，即法向加速度除以速率，方向為法向加速度的方向，單位為s-1。
對于勻速圓周運動，an為向心加速度，v為線速度的大小。由于v值不變，所以對于單個質(zhì)點的勻速圓周運動，an/v為一定值，用an相替代，似乎不會出現(xiàn)矛盾，所以導(dǎo)致有人認(rèn)為：“向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量”。但an/v與an數(shù)值上一般不同、單位也不同，所以“向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量”的說法不妥。
對于勻速圓周運動有an＝vω，所以上式比值的大小為ω。無論是單個質(zhì)點勻速圓周運動還是剛體繞軸勻速轉(zhuǎn)動，ω均不變，所以導(dǎo)致有人認(rèn)為：“角速度ω是描述線速度方向變化快慢的物理量”。雖然an/v與ω的大小相同、單位相同，但方向不同，兩者的物理意義也不同，所以“角速度ω是描述線速度方向變化快慢的物理量”的說法也不妥。
根據(jù)上述的分析可知，an/v是描述速度方向變化快慢的物理量，當(dāng)然也適合描述圓周運動線速度方向變化的快慢。線速度方向變化的快慢均不能以an與ω來描述。鑒于高中階段學(xué)生的理解力與知識儲備，不便于討論線速度方向變化快慢的問題，高中階段最好回避這個問題。
既然向心加速度an不是描述線速度方向變化快慢的物理量，那它的物理意義到底是什么呢？
正如本文開始所述，一般曲線運動的加速度求解較難，所以將其分解為切向和法向兩個分量，再進行求解。在實際求解一般曲線運動的加速度時，還把曲線的每個元段看成是所在圓周的一部分的思想，即以圓周運動的加速度推導(dǎo)來求解曲線運動的加速度。以下就通過圓周運動的加速度的推導(dǎo)，來揭示向心加速度的物理意義。
在圓周運動中，線速度的方向時刻發(fā)生變化，如圖2所示。取質(zhì)點在某一點A的線速度vA，當(dāng)質(zhì)點運動到B點時線速度為vB。將線速度vA、vB進行平移，構(gòu)成圖3所示的矢量幾何圖。
在矢量vB（即線段AD）上截取AE＝vA，并連接CE，令ED＝(Δv)τ，CE＝(Δv)n。這樣，線速度的速度變化量Δv可分解為(Δv)τ、(Δv)n兩部分的矢量和，即Δv＝(Δv)τ＋(Δv)n。其中（Δv）τ表示由于線速度大小（即速率）變化引起的速度變化量，而(Δv)n表示由于線速度方向變化引起的速度變化量。根據(jù)加速度的定義得
a＝limΔt→0Δv/Δt＝limΔt→0(Δv)τ/Δt＋limΔt→0(Δv)n/Δt。
當(dāng)Δt→0時，有∠CAE→0，這時(Δv)τ的方向趨于vA的方向，即A點的切線方向，所以limΔt→0(Δv)τ/Δt表示的分加速度叫做切向加速度，用aτ表示。大小為
aτ＝limΔt→0(Δv)τ/Δt＝dv/dt
切向加速度aτ反映了圓周運動的速度在大小上的變化，或者說是描述由于線速度大小（即速率）的變化而引起的速度變化的快慢（即(Δv)τ的變化快慢）的物理量。
當(dāng)Δt→0時，有∠CAE→0，所以底邊(Δv)n與腰vA垂直，因此limΔt→0(Δv)n/Δt的方向沿半徑方向指向圓心，我們稱這個分加速度為向心加速度。以an表示。大小為
an＝limΔt→0(Δv)n/Δt＝limΔt→0vAΔθ/Δt＝vAω＝vA2/R
向心加速度an反映了圓周運動的速度在方向上的變化，或者說是描述由于線速度的方向變化而起的那部分速度變化的快慢（即(Δv)n變化的快慢）的物理量。
質(zhì)點在A點的加速度a 可以看作an與aτ的矢量和，即
a＝an＋aτ。
式中三者的矢量關(guān)系如圖4所示。由于an 與aτ方向互相垂直，所以圓周運動的總加速度大小為
a2＝an2＋aτ2
若θ為a與v的夾角，則 θ＝tan-1(an/aτ )
以上關(guān)于加速度的討論及結(jié)果，適用于任何的平面曲線運動。
根據(jù)以上分析可知，向心加速度是為了解決一般曲線運動的加速度的求解而引入的，它是描述做圓周運動的質(zhì)點由于線速度的方向的變化而引起的速度變化快慢的物理量。對于勻速圓周運動，v是常數(shù)，所以aτ＝0，則a＝an。因此，勻速圓周運動的向心加速度即為物體的加速度，是描述線速度這個矢量變化快慢的物理量，它的物理意義等同于上述推導(dǎo)的an，不應(yīng)該單純理解為描述線速度方向變化快慢的物理量。
綜合全文的分析，可以得出如下一些結(jié)論：
（1）速度方向變化的快慢可以用an/v來描述。
（2）對于勻速圓周運動，無論以向心加速度或角速度來描述線速度方向的變化快慢均是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。且勻速圓周運動的向心加速度即為物體的加速度，是描述線速度這個矢量變化快慢的物理量。
（3）在目前的高中物理教學(xué)中，不宜提線速度方向變化快慢的問題來進行討論。
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