二. 教學(xué)過程：
圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
［復(fù)習(xí)目標(biāo)要求］
1. 理解圓的定義及弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、弓形等概念；理解不在同一直線上三點確定一個圓，了解三角形的外接圓、外心、圓的內(nèi)接三角形等概念。
2. 掌握點與圓的位置關(guān)系：垂徑定理，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理及推論，能熟練地運用這些知識進行有關(guān)的計算和證明。
［重點難點突破］
重點是垂徑定理及其推論；圓心角、弧、弦、弦心距的相等關(guān)系定理。
難點是垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論的區(qū)分及靈活運用，實現(xiàn)突破的關(guān)鍵是注意基本圖形，活用弦心距，同時注意與直角三角形的知識組合。
［中考動向分析］
首先是充分利用選擇題容量較大的特點考查對圓的有關(guān)性質(zhì)的準(zhǔn)確理解；其次是利用垂徑定理的證題，開放性試題中的作用詮釋圓的軸對稱性，第三是利用垂徑定理與解直角三角形的組合考查學(xué)生的幾何計算能力；第四是利用圓的有關(guān)性質(zhì)與中位線、相似三角形的組合優(yōu)勢考查學(xué)生的幾何綜合證題能力。
［知識要點及解題方法指導(dǎo)］
（一）圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
圓：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。
圓內(nèi)：圓的內(nèi)部可以看做是到圓心的距離小于半徑的點的集合。
圓外：圓的外部可以看做是到圓心的距離大于半徑的點的集合。
弦：連結(jié)圓上任意兩個點的線段叫做弦。
?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧。
弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形。
同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。
等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓，同圓或等圓的半徑相等。
等?。和瑘A或等圓中能夠互相重合的弧叫做等弧。
對稱性：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸，圓還是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等。
例1. 圓O中，弦AB＝AC，AD是圓O的直徑。
求證：AD平分∠BAC
證明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F
∵AB＝AC
∴OE＝OF
∵△OAE≌△AOF
∴∠1＝∠2
∴AD平分∠BAC
例2. 已知：P為圓O中任意一點，AB為過P點的弦，且AB⊥OP，CD為過P點且異于AB的任意一條弦。
求證：AB＜CD
證明：作OE⊥CD于E，連結(jié)OC、OB，則OE為CD弦的弦心距
∵OP⊥AB
∴OP為AB弦的弦心距
在Rt△OPE中
∵OP＞OE
∴在Rt△OCE和Rt△OBP中，CE＞PB
∴2CE＞2PB
∴AB＜CD
例3. 如圖：
，求證：2CD＞AB
證明：取
中點E，連結(jié)AE、BE，則：
∴AE＝BE＝CD
又∵AE＋BE＞AB
∴2CD＞AB
例4. 如圖：
圓周，AB＝8cm，求圓O直徑。
解：∵圓周的度數(shù)為360°
又
圓周
∴
的度數(shù)為90°
∴∠AOB＝90°
∴OA＝OB
∴圓O直徑為
（二）點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系
1. 點和圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系
點在圓內(nèi)
點在圓上
點在圓外
點到圓心的距離為d，圓的半徑為R
2. 直線和圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系
相離
相切
相交
直線與圓公共點的個數(shù)
0
1
2
圓心到直線的距離為d，半徑為R
圖形
3. 圓和圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系
外離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
（同心圓）
兩圓公共
點的個數(shù)
0
1
2
1
0
圓心距為d，半徑分別為R，r（R＞r）
（
）
外公切線
的條數(shù)
2
2
2
1
0
內(nèi)公切線
的條數(shù)
2
1
0
0
0
圖形
（三）垂直于弦的直徑
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。
推論1：
（1）平分弦（不是直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；
（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
例5. 已知：如圖，AB為圓O直徑，EF為弦，AD、BC垂直于弦，交弦的延長線于D、C。
求證：DE＝FC
分析：由已知容易得到AD∥BC，由O為AB中點應(yīng)想到利用梯形中位線性質(zhì)，因為題中有垂直條件，故作OH⊥DC于H，利用垂徑定理證明。
證明：作OH⊥DC于H
∵AD⊥DC，BC⊥DC
∴AD∥OH∥BC
又∵O為AB中點
∴DH＝HC
又∵OH⊥EF
∴EH＝HF
∴DE＝FC
例6. 如圖，AB為圓O直徑，BC為弦，直徑DE過BC中點F。
求證：
分析：欲證
，由已知得到：
，故考慮證
。
證明：∵F為BC中點，DE為圓O直徑
∴
又∵∠1＝∠2
∴
例7. 已知：如圖，AC為圓O的弦，D為
中點，OD交AC于B，若OB＝1cm，DC＝
cm，求圓O的直徑。
分析：求半徑的長，則應(yīng)把半徑放在一個直角三角形中，利用勾股定理求解（或放到適當(dāng)?shù)娜切沃校瑥囊阎?，?yīng)考慮到垂徑定理。
解：連結(jié)OC
∵D為
中點
∴OD⊥AC
設(shè)圓O半徑為x cm，則
根據(jù)勾股定理有：
解得：
（舍去）
∴圓O的直徑為6cm
與圓有關(guān)的角
［復(fù)習(xí)目標(biāo)要求］
3. 理解圓心角、圓周角、弦切角的概念，正確辨析圓心角、圓周角、弦切角之間的區(qū)別和聯(lián)系。
4. 掌握圓周角、弦切角定理及其推論，能熟練地運用這些定理及推論進行有關(guān)的計算和證明。
［重點難點突破］
重點是掌握圓周角、弦切角定理及其推論。
難點是圓周角、弦切角定理的證明。
實現(xiàn)突破的關(guān)鍵是用弧建立角與角之間的聯(lián)系；其次巧妙地利用直徑構(gòu)造直角從而借助直角三角形的知識解題；第三“在同圓或等圓中，等圓周角對等弧”與“圓心角、弧、弦、弦心距”之間的相等關(guān)系定理聯(lián)合使用可以靈活地實現(xiàn)不同等量之間的相互轉(zhuǎn)化，從而給許多問題的證明帶來方便。
［中考動向分析］
1. 通過選擇題考查圓心角、圓周角、弦切角定理及其推論的題設(shè)條件的準(zhǔn)確理解，特別是圓周角定理及其推論；
2. 以填空題的形式考查三大角的相關(guān)計算；
3. 與切割線定理、解直角三角形組合進行相關(guān)的幾何計算；
4. 與相似三角形等的組合，進行比例線段的證明等。
［知識要點及解題方法指導(dǎo)］
（四）與圓有關(guān)的角
弧的度數(shù)：將頂點在圓心的周角等分成360份，則每一份的圓心角叫1°的角，
°的圓心角所對的弧叫做1°的弧。
圓心角：頂點在圓心，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角，圓心角與它所對的弧的度數(shù)相等。
圓周角：（1）頂點在圓上，角的兩邊與圓相交的角叫圓周角。
（2）圓周角等于它同弧上圓心角的一半。
（3）同弧或等弧所對的圓周角相等，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。
（4）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
（5）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么，這個三角形是直角三角形。
例8. 已知三角形ABC內(nèi)接于圓O，∠A＝60°，，BC＝10，求圓O的直徑。
解：連結(jié)CO并延長交圓O于A'，則
∠A'＝∠A＝60°
∵A'C為圓O直徑
∴∠A'BC＝90°
例9. 已知：△ABC內(nèi)接于圓O，EF是AB的中垂線，交AC于D，交BC延長線于E，交圓O于F、H。
求證：AD·CD＝OD·ED
解：連結(jié)AO
∵EF垂直平分AB
∴EF過圓心O，
∵∠AOH的度數(shù)＝
的度數(shù)
∠AFB的度數(shù)＝
的度數(shù)＝
的度數(shù)
∴∠AOH＝∠AFB
∵∠ACE為圓內(nèi)接四邊形AFBC的外角
∴∠ACE＝∠AFB＝∠AOH
又∵∠1＝∠2
∴△AOD∽△ECD
例10. 已知：如圖△ABC為等邊三角形，AB為圓O直徑，AC、BC與圓O交于D、E點。
求證：D、E平分半圓。
證明：連結(jié)AE
∵△ABC為等邊三角形
∴∠B＝60°
∵AB為圓O直徑
∴∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2＝30°
的度數(shù)＝60°
又∵
的度數(shù)＝180°
的度數(shù)＝60°
∴D、E平分半圓
圓與三角形、圓與四邊形
［復(fù)習(xí)目標(biāo)要求］
5. 理解三角形和多邊形的內(nèi)切圓，圓的外切三角形和圓的外切多邊形及三角形的內(nèi)心的概念；理解圓內(nèi)接四邊形的概念、性質(zhì)及圓外切四邊形的性質(zhì)；
6. 掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理、圓外切四邊形的有關(guān)性質(zhì)，能熟練地解決與它們相關(guān)的計算及證明問題。
［重點難點突破］
重點是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形外接圓，內(nèi)切圓的性質(zhì)及圓外切四邊形的性質(zhì)。
難點是圓外切四邊形的性質(zhì)的靈活運用及三角形內(nèi)切圓的半徑與面積的關(guān)系，在解題過程中要重視利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)靈活地進行角的轉(zhuǎn)換；注意切線長定理與整體觀念的組合正確領(lǐng)會三角形面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系。
［中考動向分析］
5. 組合與圓有關(guān)的角的知識考查角的計算；
6. 計算三角形內(nèi)切圓半徑、三角形面積及圓外切四邊形的面積；
7. 與切線長定理、圓冪定理、相似三角形比例線段等知識結(jié)合考查幾何推理論證能力；
8. 將相關(guān)的幾何問題與函數(shù)、面積、三角函數(shù)、一元二次方程等知識組合考查數(shù)形結(jié)合的思想和綜合解題能力。
［知識要點及解題方法指導(dǎo)］
（五）圓與三角形、圓與四邊形
圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓。
圓與三角形：
（1）經(jīng)過三角形各頂點的圓叫三角形的外接圓，三角形叫圓的內(nèi)接三角形。
（2）和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形叫做圓的外切三角形。
（3）三角形有且只有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，它們的圓心分別叫做三角形的外心和內(nèi)心。
圓與多邊形：
（1）若一個多邊形的所有頂點都在同一圓上，則這個多邊形叫圓的內(nèi)接多邊形，這個圓叫做多邊形的外接圓。
（2）和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，多邊形叫圓的外切多邊形。
（3）圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。
例11. 已知：如圖AB、CD是圓O內(nèi)的兩條平行弦，在
上任取一點P，PB的延長線與DC的延長線交于E，PD與AB交于F。
求證：AD·DE＝BE·DP
思路一：將等積式轉(zhuǎn)化為比例式，發(fā)現(xiàn)四條線段在兩個三角形中，因此只須證△BDE∽△PAD即可。
證法一：連結(jié)AP、DB
∵DC∥AB
∴∠1＝∠2
又∵∠2＝∠P
∴∠1＝∠P
又∵∠DBE為圓內(nèi)接四邊形APBD的外角
∴∠DBE＝∠DAP
∴△ADP∽△DBE
思路二：通過平行弦所夾的弧相等，等弧對等弦，可知AD＝BC，應(yīng)用等量代換可證：BC·DE＝BE·DP。
證法二：連結(jié)BC
∵∠CBE為圓內(nèi)接四邊形DPBC的外角
∴∠CBE＝∠PDC
又∵∠E＝∠E
∴△BCE∽△PDE
∴BC·DE＝BE·PD
又∵AB∥DC
∴AD·DE＝BE·DP
例12. 如圖，AD為圓O直徑，∠ABC＝114°，AC平分∠BAD，求：∠BCD的度數(shù)。
分析：利用直徑上的圓周角是直角和圓內(nèi)接四邊形對角互補進行解題。
解：∵AD為圓O直徑
∴∠ACD＝90°
∵∠ABC＝114°
∴∠D＝66°
∴∠1＝24°
∵AC平分∠BAD
∴∠BAD＝2∠1＝48°
∴∠BCD＝132°
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
一. 選擇題。
1. 如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 一種花邊由圖弓形組成，
的半徑為5，弦AB＝8，則弓形的高CD為（ ）
A. 2 B.
C. 3 D.
3. 若圓的一條弦把圓分成度數(shù)比為1∶3的兩條弧，則劣弧所對圓周角等于（ ）
A. 45° B. 90° C. 135° D. 270°
4. 下列命題中正確的是（ ）
A. 三點確定一個圓
B. 平分弦的直線垂直于弦
C. 相等的圓心角所對弧相等
D. 同圓中，同弦所對圓周角相等
5. 如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點，
，則∠D的度數(shù)是（ ）
A. 60° B. 120° C. 135° D. 150°
二. 填空題。
6. 半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為
，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為___________。
7. 圓內(nèi)接四邊形ABCD中，如果∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，那么∠D＝__________度。
8. 如圖，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于點A，且∠BAC＝45°，AB＝2，則⊙O的面積為______________（結(jié)果保留
）。
9. 如圖，PA、PC分別切⊙O于A、C兩點，B為⊙O上與A、C不重合點，若∠P＝50°，則∠ABC＝_____________。
10. 如圖，點O為△ABC內(nèi)心，∠A＝56°，則∠BOC＝_____________。
三. 解答題。
11. 已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直線DE與⊙O切于點A，BD∥CA。
求證：AB·DA＝BC·BD
12. 如圖，圓外切等腰梯形ABCD，E、F為切點，中位線EF＝15cm，求：等腰梯形ABCD周長。
13. 已知：如圖，BE是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高。
（1）求證：AC·BC＝BE·CD；
（2）已知CD＝6，AD＝3，BD＝8，求⊙O的直徑BE的長。
【試題答案】
一. 選擇題。
1. A 2. A 3. A 4. D 5. C
二. 填空題。
6. 60°或120°
7. 90
8.
9. 65°或115°
10. 118°
三. 解答題。
11. 解：∵BD∥CA
∴∠DBA＝∠BAC
∵DE切⊙O于A
∴∠BAD＝∠BCA
∴△ABC∽△BDA
∴AB·DA＝BC·BD
12. 解：∵等腰梯形ABCD外切于⊙O
∴AB、BC、CD、DA分別切⊙O于點E、N、F、M
∴AM＝AE，DM＝DF，BE＝BN，NC＝FC
∵等腰梯形ABCD中位線EF＝15
∴等腰梯形ABCD周長為60
13. 解：（1）連結(jié)CE
∵BE是⊙O的直徑
∴∠ECB＝90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC＝90°
∴∠ECB＝∠ADC
又∵∠A＝∠E
∴△ADC∽△ECB
（2）在Rt△ACD和Rt△BCD中
∵CD＝6，AD＝3，BD＝8
由（1）有AC·BC＝BE·CD
即
∴
∴⊙O的直徑BE的長是
