有時(shí)候深?yuàn)W的道理，不是從復(fù)雜的問題中發(fā)現(xiàn)的，反而是從簡單的問題中反映出來的。比如從中考數(shù)學(xué)的一種簡單題型中，就可以看到數(shù)學(xué)思維的一個(gè)進(jìn)化過程。這種題型就是“先化簡，再求值”，一種簡單到不能再簡單的題型。下面老黃以2022年深圳中考數(shù)學(xué)中的類型題為例，給大家講解講解，分析其中的道理。
先化簡，再求值：((2x-2)/x-1)÷((x^2-4x+4)/(x^2-x))，其中x=4.
分析：多么簡單的一道題。小學(xué)思維是這樣的：先根據(jù)四則運(yùn)算法則，有括號先算括號。括號內(nèi)先通分相減，得到：
原式= (2x-2-x)/x ÷ (x^2-4x+4)/(x^2-x)= (x-2)/x ÷ (x^2-4x+4)/(x^2-x)
注意，千萬不要先對2x-2因式分解，那是在自找麻煩。接下來的事情，小學(xué)思維就搞不定了，只能運(yùn)用初中思維，先因式分解，再化除法為乘法，或者先化除法為乘法，再因式分解，也是行得通的。
=((x-2)/x)÷((x-2)^2/(x(x-1)))=((x-2)/x)·(x(x-1)/(x-2)^2)
小學(xué)的思維，會運(yùn)用分?jǐn)?shù)(式)的乘法法則，分母的積做積的分母，分子的積做積的分子，然后再約分，得到
=((x-2)x(x-1))/(x(x-2)^2)=(x-1)/(x-2).
初中的思維則會直接對兩個(gè)分式相乘進(jìn)行約分，也會得到相同的結(jié)果。最后把x=4代入(x-1)/(x-2)，就可以得到：原式= (4-1)/(4-2)= 3/2.
整個(gè)解題過程整理如下圖：
這樣似乎已經(jīng)很簡便了。但如果到了中考的時(shí)候，你還要這樣解這類題的話，那數(shù)學(xué)思維方面可能就落后得太多了。中考思維應(yīng)該是這樣的：先確定因式，可以發(fā)現(xiàn)，一級運(yùn)算有兩個(gè)因式（一個(gè)是被除式，一個(gè)是除式）。同步對它們進(jìn)行化簡，其中：
(2x-2)/x-1= (x-2)/x；
(x^2-4x+4)/(x^2-x)= (x-2)^2/(x(x-1))。
即原式=((x-2)/x)÷((x-2)^2/(x(x-1)))。
注意：除法也是可以直接約分的。和乘法約分不同的是，乘法約分是分子和分母約，而除法約分則是被除式的分母和除式的分母約，被除式的分子和除式的分子約。因此就可以直接得到最簡的式子形式了。最后代入x=4，就可以得到結(jié)果了。整個(gè)解題過程整理如下圖：(注意兩種解法數(shù)學(xué)語言上的區(qū)別)
兩個(gè)解法對比一下，看出差距了嗎？看似差別不是很大，其實(shí)差了十萬八千里。這個(gè)差距不是兩種解法使用的筆墨多少可以反映的。
思維進(jìn)化后，才有可能進(jìn)入更高的數(shù)學(xué)思維層次。一直保留在低水平的數(shù)學(xué)思維，那么就很難在數(shù)學(xué)思維上有所突破。那些解這類題目都有困難的考生，就是因?yàn)槿狈?shù)學(xué)思維，甚至還低留在小學(xué)低年級的數(shù)學(xué)思維水平導(dǎo)致的。
另外，在思維的寬度來看，解2顯然也得到了拓廣。甚至問題復(fù)雜化之后，就會對數(shù)學(xué)思維的層次提出更高的要求。比如上面提到的除法約分，你有沒有想過，乘除混合的時(shí)候，該怎么約分？另外，有沒有想過這道題是否可以先運(yùn)用乘法分配律試一試，這些都是思維寬度的問題。
最后，如果你的數(shù)學(xué)思維不提升層次的話，高中數(shù)學(xué)是絕對學(xué)不好的，就更遑論高等數(shù)學(xué)了。
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