傅立葉（JeanBaptiste Joseph Fourier，1768-1830），法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院院士，提出傅立葉級(jí)數(shù)，并將其應(yīng)用于熱傳導(dǎo)理論上。1807年向巴黎科學(xué)院呈交《熱的傳播》論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。其他貢獻(xiàn)有：最早使用定積分符號(hào)，改進(jìn)了代數(shù)方程符號(hào)法則的證法和實(shí)根個(gè)數(shù)的判別法等。傅立葉變換的基本思想首先由傅立葉提出，所以以其名字來(lái)命名以示紀(jì)念。
從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅立葉變換是一種特殊的積分變換。傅里葉變換能將滿足一定條件的函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換。奇妙的是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅立葉變換具有非常好的性質(zhì),使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：
1、傅立葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子；
2、傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；
3、正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲?。?/span>
4、著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；
5、離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速地算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法，FFT)。正是由于上述的良好性質(zhì),傅立葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。物理方面，他是傅立葉定律的創(chuàng)始人，1822 年在代表作《熱的分析理論》中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問(wèn)題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對(duì)19 世紀(jì)理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。
此外，在1820年傅立葉計(jì)算出，一個(gè)物體如果有地球那樣的大小，以及到太陽(yáng)的距離和地球一樣，如果只考慮入射太陽(yáng)輻射的加熱效應(yīng)，那它應(yīng)該比地球?qū)嶋H的溫度更冷。雖然傅立葉最終建議，星際輻射可能占了其他熱源的一大部分，但他也考慮到一種可能性：地球的大氣層可能是一種隔熱體。這種看法被廣泛公認(rèn)為是有關(guān)現(xiàn)在廣為人知的“溫室效應(yīng)”的第一項(xiàng)建議。小行星10101號(hào)命名為傅立葉，他也是名字被刻在埃菲爾鐵塔的七十二位法國(guó)科學(xué)家與工程師的其中一位。
1768年3月21日，傅立葉生在奧塞爾的一個(gè)裁縫之家。傅立葉的父母在他8歲時(shí)相繼病故，一個(gè)奧塞爾的主教就收容了傅立葉，他看這孩子溫文有禮，就請(qǐng)教堂附近一個(gè)婦人照顧他，傅立葉也進(jìn)入這間教堂所辦的小學(xué)就讀：傅立葉在12歲時(shí)就顯出一流的文學(xué)才能，他負(fù)責(zé)替主教記錄講道稿，甚至還自己寫(xiě)稿賣(mài)給一些不會(huì)講道的主教。很多人認(rèn)為這個(gè)孩子這么乖，又這么懂事，將來(lái)一定可以當(dāng)大主教，哪知傅立葉自己寫(xiě)道：“我的心充滿了煩躁、叛逆，我不知道我在寫(xiě)什么，那些照本宣科的人也不知自己在胡扯什么。聽(tīng)道是最無(wú)聊的事，我尤其怕聽(tīng)自己寫(xiě)的講道稿，又怕被人家看出，只好自愿擔(dān)任管爐火的工作，在教室里做事比聽(tīng)道有趣?；馉t與講道大廳有一道大慢子隔開(kāi)，我在火爐邊沒(méi)有什么事做，就找一些書(shū)讀，一天我偶然讀到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)立刻成為我無(wú)聊時(shí)的最佳解悶劑?！?/span>
數(shù)學(xué)本來(lái)只是一種加、減、乘、除的計(jì)算方法，后來(lái)數(shù)學(xué)才逐漸被發(fā)現(xiàn)是“了解上帝創(chuàng)造”的最佳方法。在看得見(jiàn)的世界背后，有一個(gè)看不見(jiàn)的數(shù)學(xué)天地。人類必須用純理智的思索，才能走進(jìn)數(shù)學(xué)城堡的大門(mén)。數(shù)學(xué)也是訓(xùn)練人抽象思維的最佳方式，所有的科學(xué)都需要依靠實(shí)驗(yàn)，只有數(shù)學(xué)不用實(shí)驗(yàn)證明，反而用來(lái)解析實(shí)驗(yàn)。傅立葉寫(xiě)道：“我到處收集別人用剩的蠟燭，這樣夜里沒(méi)有爐火時(shí)，我還可以再讀數(shù)學(xué)?！睂?duì)一個(gè)拒絕聽(tīng)道的孩子不要太早失望，因?yàn)樗赡茉谄渌胤秸业缴系邸?/span>
1789年，傅立葉參加過(guò)革命軍，反對(duì)腐敗的路易斯王朝。但是，不久他就發(fā)現(xiàn)得勢(shì)的革命軍，反成為野心分子殘殺異己的工具。他退出軍隊(duì)，又回到教堂管爐火、寫(xiě)講章、讀數(shù)學(xué)。這時(shí)他提出“數(shù)值分析”，求得多項(xiàng)式根的方法。當(dāng)時(shí)兵荒馬亂，很少人注意到這個(gè)研究。管爐火的薪水很低，傅立葉只好回到以前就讀的教會(huì)學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)的代課老師。不久學(xué)生就發(fā)現(xiàn)這個(gè)代課老師，才是真正的數(shù)學(xué)高手。傅立葉的數(shù)學(xué)能力首先是被學(xué)生肯定的，而后才逐漸有名，他發(fā)現(xiàn)的數(shù)值分析法也被注意到了。1794年拿破侖任命他為巴黎師范大學(xué)的首席數(shù)學(xué)教授，那時(shí)傅立葉才26歲。年輕的他，充滿了熱情與改革數(shù)學(xué)教育的抱負(fù)。他知道教堂里沉悶冗長(zhǎng)的講道，會(huì)把上帝活潑的真理講死了。同樣沉悶的方式，也會(huì)把數(shù)學(xué)講成一堆垃圾。傅立葉以首席數(shù)學(xué)教授的身分，要求老師四點(diǎn)：
第一、上課時(shí)，老師不能坐在椅子上，必須站著教學(xué)。
第二、上每一堂課以前，老師必須準(zhǔn)備一點(diǎn)“新東西”來(lái)教，而非老調(diào)重彈。
第三、教學(xué)時(shí)，不只是要教理論，而且要教這個(gè)理論產(chǎn)生的歷史淵源，傅立葉是第一個(gè)在數(shù)學(xué)課堂上教數(shù)學(xué)史的人。
第四、每一次上課，老師都要準(zhǔn)備一個(gè)小題目，與學(xué)生一起討論，增加師生間的互動(dòng)。傅立葉被稱為“天才教師”，連拿破侖在晚上舉辦宴會(huì)時(shí)，也請(qǐng)傅立葉去演講數(shù)學(xué)。
1798年，拿破侖率領(lǐng)遠(yuǎn)征軍，進(jìn)攻埃及。拿破侖要求傅立葉同行：“看我如何把歐洲文明，分享給埃及百姓?！蹦闷苼龅能婈?duì)3天之內(nèi)就攻入開(kāi)羅，以后又節(jié)節(jié)勝利。傅立葉卻在這時(shí)逐漸對(duì)政治失望，他沒(méi)想到分享文明是用戰(zhàn)爭(zhēng)，而非用教育。他在埃及建立學(xué)校，希望用教育重整埃及的秩序。從此傅立葉與拿破侖漸行漸遠(yuǎn)。
傅立葉這個(gè)教堂里長(zhǎng)大的孩子也經(jīng)歷過(guò)信仰動(dòng)搖期，對(duì)圣經(jīng)的真實(shí)性產(chǎn)生過(guò)懷疑。但他后來(lái)在數(shù)學(xué)研究中重新尋找到上帝。圣經(jīng)是一本以歷史呈現(xiàn)的書(shū)，因此考古是判斷圣經(jīng)真?zhèn)蔚暮梅椒?。圣?jīng)里多次提到埃及，例如以色列人約瑟被賣(mài)到埃及，后來(lái)還擔(dān)任宰相，幫助埃及人度過(guò)七個(gè)干旱之年。這么大的事件，應(yīng)該在古埃及土地里留下痕跡，但是由埃及人寫(xiě)的歷史里沒(méi)有這一段的干旱，埃及史里也沒(méi)提到這一個(gè)宰相。他于是組織了一個(gè)考古隊(duì)去探索圣經(jīng)中流傳的奧秘，這是圣經(jīng)考古學(xué)的開(kāi)始，他要在沙漠中尋找天地和弦。
1801年，傅立葉被任命為格勒諾布爾(Grenoble)的行政長(zhǎng)宮。傅立葉顯然不是一個(gè)好市長(zhǎng)，埃及炎熱的沙漠有一段記載，深深地吸引他，為此他率領(lǐng)一支考古隊(duì)進(jìn)入沙漠，考證在沙漠間流傳的一個(gè)古老傳說(shuō)。當(dāng)時(shí)的埃及動(dòng)蕩不安，有些暴徒專在黑夜，拿開(kāi)山刀切開(kāi)法國(guó)旅客的喉嚨。傅立葉的沙漠考古隊(duì)，在炎熱中奮力地挖掘。他不知道還有多少時(shí)間可以工作?？上У氖?，1805年法國(guó)在海上被英國(guó)打敗，傅立葉只好撤退。英國(guó)的考古隊(duì)繼續(xù)在原址開(kāi)挖，后來(lái)挖出了約在公元前三千二百年時(shí)埃及的第四個(gè)古王朝，有一個(gè)從來(lái)不為人所知的法老王的雕像，他的額頭上有7個(gè)無(wú)花果的印記，代表7個(gè)豐年，考古隊(duì)還發(fā)現(xiàn)那個(gè)法老王的宰相就是約瑟。他們還挖出了一口深井，井深約有一百公尺，是當(dāng)時(shí)埃及旱災(zāi)時(shí)所挖的深井。這口井后來(lái)就稱為“約瑟井”，是目前人類最古老的一口井。
傅立葉回到法國(guó)后，他的熱忱沒(méi)有消退，1807年發(fā)表了《熱的傳播》，電磁學(xué)大師麥克斯韋說(shuō)：“這是一首偉大的數(shù)學(xué)詩(shī)篇”。1814年拿破侖戰(zhàn)敗，被送到地中海的厄爾巴島。1815年3月1日，拿破侖偷渡回國(guó)，受到全國(guó)熱烈的歡迎。傅立葉卻公開(kāi)反對(duì)拿破侖，傅立葉到里昂，請(qǐng)當(dāng)?shù)刂笓]宮反抗拿破侖，傅立葉立刻被捕，并且由拿破侖親自審問(wèn)他。在審問(wèn)中傅立葉說(shuō)了一句非常有名的話，他對(duì)拿破侖說(shuō)：“我確信你是失敗的，因?yàn)樵谀愕闹車(chē)皇Ｏ乱蝗嚎駸岬淖冯S者。狂熱過(guò)去，什么都會(huì)過(guò)去的! ”傅立葉能夠分辨理想的熱忱與盲目的狂熱，他的看法是正確的。1815年6月18日，拿破侖兵敗滑鐵盧，傅立葉才自監(jiān)獄中被放出。出獄后，傅立葉繼續(xù)研究熱的數(shù)學(xué)理論，并發(fā)表以邊界條件解微分方程式的方法。1830年5月16日，他因心臟病去世。
傅里葉變換是一種時(shí)頻分析方法，它在金融學(xué)中扮演越來(lái)越重要的角色，常用于金融時(shí)間序列分析，比如期權(quán)定價(jià)，利率分析，股指波動(dòng)等的研究。我們所遇到的金融數(shù)據(jù)基本都是時(shí)域形式的信號(hào)，通過(guò)傅里葉變換，可以將其從時(shí)域變換到頻率域，這通常有助于分析，因?yàn)闀r(shí)域看似復(fù)雜無(wú)規(guī)律的信號(hào)，其頻域結(jié)構(gòu)要相對(duì)簡(jiǎn)單。本篇是關(guān)于傅里葉變換的簡(jiǎn)單介紹，具體包含三個(gè)內(nèi)容，先介紹正余弦信號(hào)，然后推導(dǎo)傅里葉級(jí)數(shù)，最后通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)導(dǎo)出傅里葉變換。
1. 余弦信號(hào)：
正弦和余弦信號(hào)只有一個(gè)頻率成分，稱之為單頻信號(hào)。以余弦信號(hào)（1-1式）為例：
f(t)是信號(hào)的時(shí)域形式，freq表示該信號(hào)的頻率，t為時(shí)間。信號(hào)f(t)具有周期性，每秒鐘有f個(gè)重復(fù)波形。
之所以先說(shuō)正余弦波，是因?yàn)橄旅嬉v的傅里葉級(jí)數(shù)會(huì)用到它們。希望讀者樹(shù)立一個(gè)概念：時(shí)域的一條余弦波，代表頻域的一個(gè)頻率分量。
2. 傅里葉級(jí)數(shù)
傅里葉級(jí)數(shù)作為級(jí)數(shù)的一種，其出發(fā)點(diǎn)和其他級(jí)數(shù)一樣，那就是對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的波形，能不能將它分解成一系列簡(jiǎn)單波形的疊加，這樣會(huì)便于分析處理。
例如一個(gè)周期性的方波信號(hào)f(t)（占空比0.5）（1-2式）：
該方波幅度為1，周期T=1s，其波形如下圖：
傅里葉級(jí)數(shù)通過(guò)多個(gè)正余弦波的疊加來(lái)逼近信號(hào)。通常一個(gè)周期信號(hào)只要滿足狄里赫利條件，就可以分解成傅里葉級(jí)數(shù)，并且我們遇到的周期性信號(hào)大多滿足狄里赫利條件，所以狄里赫利條件這里就不講了。
假設(shè)周期信號(hào)記作f(t)，其周期為T, 則f(t)可以展開(kāi)成如下的傅里葉級(jí)數(shù)（1-3式）：
以（1-1）式定義的周期方波為例，使用傅里葉級(jí)數(shù)做分解，可以得到它的級(jí)數(shù)系數(shù)：
截取該級(jí)數(shù)的前8項(xiàng)，得到其波形為：
傅里葉系數(shù)的前16項(xiàng)如下：
插入動(dòng)態(tài)度[Fourier_series_and_transform.gif]
從上圖可以看到，周期信號(hào)f(t)可以分解成無(wú)窮多個(gè)余弦波形的疊加，每個(gè)余弦波的幅度由傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)確定。每個(gè)余弦波代表了一個(gè)頻率分量，而且這些頻率分量都是1/T的整數(shù)倍。
利用歐拉公式，可以將正余弦項(xiàng)合并，得到形式上更加簡(jiǎn)化的傅立葉級(jí)數(shù)。歐拉公式如下：
將歐拉公式帶入（1-3）式，得到負(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，這將方便導(dǎo)出傅里葉變換。
其中系數(shù)Cn為：
3. 傅里葉變換
由于傅里葉級(jí)數(shù)只能分解周期信號(hào)，而在實(shí)際中遇到的信號(hào)通常是非周期信號(hào)，所以需要對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)做些修改。非周期信號(hào)可以看成周期很大，甚至無(wú)窮大的信號(hào)，因此，對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Cn乘以周期T，再關(guān)于T求極限，從而得到(1-4)式：
將F(f)定義為非周期信號(hào)f(t)的傅里葉變換，也叫f(t)的頻譜函數(shù)。需要注意到是，傅里葉變換也有使用條件，比如，信號(hào)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件是在無(wú)線區(qū)間內(nèi)滿足絕對(duì)可積，即要求：
同樣以矩形脈沖為例，定義信號(hào)f(t)
其時(shí)域波形如圖：
根據(jù)(1-4)式，得到f(t)的傅里葉變換（頻譜）:
F(f)的圖像如下所示：
從上圖可以看到，該非周期方波f(t)包含有從0到無(wú)窮大的所有頻率分量，并且頻率越高的分量，其幅度越小。與周期信號(hào)相比，非周期信號(hào)的頻域分量是連續(xù)的，而周期信號(hào)的頻域分量是以倍頻的形式離散分布的。
參考文獻(xiàn)
[1] 鄭君里, 楊為理, 應(yīng)啟珩. 信號(hào)與系統(tǒng)（上冊(cè)、下冊(cè)）[M]. 3版. 高等敎育出版社, 2011.
[2] Bloomfield P. Fourier analysis of timeseries: an introduction[M]. John Wiley & Sons, 2004.
[2] Fang F, Oosterlee C W. A novel pricingmethod for European options based on Fourier-cosine series expansions[J]. SIAMJournal on Scientific Computing, 2008, 31(2): 826-848.
[3] Cherubini U, Della Lunga G, Mulinacci S, etal. Fourier transform methods in finance[M]. John Wiley & Sons, 2010.
∑編輯 | Gemini
來(lái)源 | AMF工作室
聯(lián)系客服
