近年高考數(shù)學(xué)立體幾何試題分析及解決策略
遵義市南白中學(xué) 鐘永勝
摘要：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科，立體幾何著重研究空間中的位置關(guān)系，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，因此也是高考考查的主要內(nèi)容。高考對立體幾何的考查主要從以下幾個方面進(jìn)行:一是判斷空間內(nèi)基本的幾何元素的基本位置關(guān)系如平行和垂直；二是對空間想象能力的考查；三是對空間內(nèi)的線面關(guān)系的求解和證明。通常會以選擇題，填空題，以及解答題的形式進(jìn)行考查，會有17~22分的題目考查立體幾何內(nèi)容。在以解答題的形式考查立體幾何問題時，常以兩個小題的形式出現(xiàn)，以幾何體為載體，第一小題主要考查立體感(線、面的平行、垂直)，而二小題進(jìn)一步考查空間角和距離。利用空間向量解決立體幾何好的，能很好地把空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)量的計算，因此，向量方法在解決立體幾何問題中有著廣泛的運用，然而用向量法解決立體幾何問題時相應(yīng)的計算較為繁瑣計算量較大，所以在能夠很好的解決這一問題的同時，考慮能提高解決這一問題的速度就顯得很有必要。本文將從簡化向量計算和幾何法的快速切入的角度，以近年高考試題為例進(jìn)行一些探索。
關(guān)鍵詞：立體幾何，空間向量，平面的法向量，向量的內(nèi)積，向量的外積。
從歷年的考題變化看，以簡單幾何體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是高考題對立體幾何?？汲Ｐ碌臒衢T話題。
一、2021年高考各地用卷情況
1、原有的全國I、II卷合并，稱全國乙卷。
適用于安徽、河南、陜西、山西、江西、甘肅、黑龍江、吉林、
寧夏、青海、新疆、內(nèi)蒙古。
2、原有的全國III卷不變，稱全國甲卷。
適用于四川、云南、貴州、廣西、西藏。
3、新高考I卷(新課標(biāo)I卷)
適用于山東、湖北、江蘇、河北、廣東、湖南、福建。
4、新高考II卷(新課標(biāo)II卷)
適用于海南、遼寧、重慶。
5、自主命題
北京、天津、上海、浙江。
二、近年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何試題題型及對比分析.
題型 及分值 題卷 | 甲卷 | 乙卷 | 新高考1卷 | 浙江卷 |
2個選擇題1個解答題共22分 | 1個選擇題1個填空題1個解答題共22分 | 1個選擇題1個解答題共17分 | 2個選擇題1個解答題共22分 |
一、基礎(chǔ)知識整合.
平行與垂直的問題是立體幾何永恒的話題，同時也是建立立體感的重要抓手。有關(guān)平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的這程中，大量的反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角與距離等)中不可缺少的內(nèi)容，因此在立體幾何的復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手.
二、空間向量在解立體幾何中的靈活運用.
用空間向量解決空間角的問題，掌握起來并不難，但是向量的計算會很繁瑣而花費較多的時間，而考試時的時間本身就非常緊張，同時還很容易出錯，特別是在計算平面法向量的時候。所以，立體幾何解答題往往就出現(xiàn)這樣的局面:會做，但是往往十有八九會算錯。更好地解決這一問題，本文著重介紹了求平面的法向量的3種方法(內(nèi)積法、交點法、外積法)。靈活運用這3種運算技巧，常常能達(dá)到事半功倍的效果。
平面的法向量及其3種求法：
1、定義:如果⊥α,那么向量
叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有兩大類(從方向上分),無數(shù)條。
2、平面法向量的求法
方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面α的法向量=(x,y,1) [或
=(x,1,2)，或=(1,y,z)], 在平面α內(nèi)任找兩個不共線的向量,
.由⊥α,得=0且.=0，由此得到關(guān)于x,y的方程組，解此方程組即可得到.
方法二（交點法）:任何一個x,y,z的一次方程的圖形是平面:反之，任何一個平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax+By+Cz+D=0 (A,B,C不同時為0)，稱為平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面與3個坐標(biāo)軸的交點為P1(a,0,0),P2:(0,b,0),P3(0,0,c) ,則平面方程為:++= 1 ,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。
方法三(外積法):設(shè),為空間中兩個不平行的非零向量，其外積×為一長度等于||||sinθ，(θ為,兩者交角，且0<θ<π)，而與×皆垂直的向量。通常我們采取[右手定則」，也就是右手四指由的方向轉(zhuǎn)為的方向時，大拇指所指的方向規(guī)定為×的方向,×=-×。設(shè)=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),則×=
(注: 1.二階行列式:M==ad-cb: 2.適合右手定則。)
,得平面ABC的法向量為
歸納一下上面的操作流程:“兩向量，寫兩遍；掐頭去尾，捺減撇”。
這三種方法中，學(xué)生對第一種方法相對比較熟悉，而對第二種和第三種方法不太熟悉甚至不了解，本文將對后兩種方法進(jìn)行梳理和簡化操作介紹并在考題分析時加以運用。
（全國甲卷）19. 已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?
解法一（向量法）：
（1）證明：因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因為，，所以，
又，所以平面．
所以兩兩垂直．
以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
所以，
．
由題設(shè)（）．
因為，
所以，所以．
（2）解：設(shè)平面的法向量為，
因為，
所以，即．
令，則
因為平面的法向量為，
設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，
則．
當(dāng)時，取最小值為，
此時取最大值為．
所以，
此時．
這道立體幾何題難度比較大，是對空間幾何位置關(guān)系的一種探索，怎樣在考試的緊張時間里把握住題目的實質(zhì)，從而順利解題，對學(xué)生的空間想象能力要求相當(dāng)高。在準(zhǔn)確審題，抓住水平面和垂直于水平面的幾何要素基礎(chǔ)上，建立空間立體感，從而建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量證明第一問的線線垂直就顯得較為輕松。而在解決第二個問題時，對計算的能力要求就較高了，如果我們采用求平面法向量的第三種方法即外積法，就可以很好的減小計算量，從而快速求解。
用外積法求平面的法向量，因為，
所以 ，得：
即
簡單歸納一下上面的操作流程:“兩向量，寫兩遍；掐頭去尾，捺減撇”。若平面ABC，,
,得平面ABC的法向量為
在第一小題的解答中，若能抓住線線垂直與線面垂直的聯(lián)系。要保證一條直線與動直線垂直，只要這條直線垂直于動直線所在的面即可，這樣就能夠很好地打開幾何證明的思路，很快得以證明。
解法二（幾何法）：
(1).證明：因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以，因為，，所以，
又，所以平面．
所以兩兩垂直．如圖，作BC的中點H，連接EH、B1H,B1H∩BF=Q可得EH⊥BF,
(2).如圖2，作C1B1的中點N，作BC的中點H,并連接FN,FH，延長FN交BB1延長線于M，交BC的延長線于G，連接GE并延長GE交AB于點P，連接PM交AB于D.由題可得：EH⊥BC,FN⊥FH此時面與面所成的二面角的正弦值最小為,此時而所以
（全國乙卷）18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
解：（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則、、、、，
則，，
，則，解得，故；
（2）設(shè)平面的法向量為，則，，
由，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值為.
（新高考1卷）20. 如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.
（1）證明：；
（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
（1）證明：因為AB=AD,O為BD中點，所以AO⊥BD
因為平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因為平面BCD，所以AO⊥CD
（2）解：作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,連FM
因為AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因為FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF
則為二面角E-BC-D的平面角,
因為,為正三角形,所以為直角三角形
因為,
從而EF=FM=
平面BCD,
所以
（浙江卷）19. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）解：由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
又為中點，所以.
由（1）得平面，所以平面的一個法向量
從而直線與平面所成角的正弦值為．
1.立體感的建立.
2.空間向量的運用
3.運算的熟練及速度.
參考文獻(xiàn)：《中國高考評價體系》、《中國高考評價體系說明》和《2021年版高考試題說明》(高等教育出版社)，
聯(lián)系客服
