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2014年中考數(shù)學(xué)一模試卷

紫曦唯冪1 >《中考數(shù)學(xué)》

2014.05.23

關(guān)注

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿(mǎn)分36分）在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．

1．-2014的倒數(shù)是（　　）

A．2014B．-2014C．1

2004

D．-1

2004

顯示解析2．2008年的國(guó)際金融危機(jī)使經(jīng)濟(jì)社會(huì)形勢(shì)突變，中國(guó)面臨嚴(yán)峻的新挑戰(zhàn)．在未來(lái)的兩年，國(guó)家將投入4萬(wàn)億元人民幣，保持中國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)平穩(wěn)、快速發(fā)展的勢(shì)頭．將4萬(wàn)億用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（　?。?div style="height:15px;">

A．0.4×1013B．40000×108C．4×1012D．4×1013

顯示解析3．下列計(jì)算正確的是（　?。?div style="height:15px;">

A．（ab）3=ab3B．4-2=-8C．

(?4)2

=4D．（a3）4=a7

☆☆☆☆☆顯示解析

4．下圖中幾何體的左視圖是（　?。?div style="height:15px;">

A．

B．

C．

D．

☆☆☆☆☆顯示解析

5．一副三角板如圖疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)為（　?。?div style="height:15px;">

A．75°B．60°C．65°D．55°

★☆☆☆☆顯示解析6．不等式組

2x+6＞0

5x≤x+8

的解集在下列數(shù)軸上表示正確的是（　?。?div style="height:15px;">A．

B．

C．

D．

顯示解析7．為了籌備班級(jí)初中畢業(yè)聯(lián)歡會(huì)，班長(zhǎng)對(duì)全班同學(xué)愛(ài)吃哪幾種水果作了民意調(diào)查，那么最終買(mǎi)什么水果，下面的調(diào)查數(shù)據(jù)中最值得關(guān)注的是（　?。?div style="height:15px;">A．平均數(shù)B．加權(quán)平均數(shù)C．中位數(shù)D．眾數(shù)

顯示解析

8．與平面圖形圖有相同對(duì)稱(chēng)性的平面圖形是（　?。?div style="height:15px;">A．

B．

C．

D．

☆☆☆☆☆顯示解析9．為了讓返鄉(xiāng)農(nóng)民工盡快實(shí)現(xiàn)再就業(yè)，某區(qū)加強(qiáng)了對(duì)返鄉(xiāng)農(nóng)民工培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)的投入．2008年投入3000萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2010年投入5000萬(wàn)元．設(shè)培訓(xùn)經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下面所列的方程正確的是（　?。?div style="height:15px;">A．3000（1+x）2=5000

B．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000

C．3000x2=5000

D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2=5000

☆☆☆☆☆顯示解析

10．如圖，AB、AC是圓的兩條弦，AD是圓的一條直徑，且AD平分∠BAC，下列結(jié)論中不一定正確的是（　?。?div style="height:15px;">A．

＝

B．

＝

C．BC⊥ADD．∠B=∠C

☆☆☆☆☆顯示解析

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙M于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右方，若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1，2），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（　　）

A．（-4，2）B．（-4.5，2）C．（-5，2）D．（-5.5，2）

★☆☆☆☆顯示解析

12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是雙曲線y=3

（x＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△OAB的面積將會(huì)（　?。?div style="height:15px;">A．逐漸增大B．不變

C．逐漸減小D．先增大后減小

★★★★★顯示解析

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13．因式分解：2a3-8a=2a（a+2）（a-2）

．

☆☆☆☆☆顯示解析14．四張完全相同的卡片上，分別畫(huà)有圓、矩形、等邊三角形、等腰梯形，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上畫(huà)的恰好是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率為1

．

顯示解析15．如圖，若開(kāi)始輸入的x的值為正整數(shù)，最后輸出的結(jié)果為144，則滿(mǎn)足條件的x的值為29或6

．

顯示解析16．直線y=kx經(jīng)過(guò)向上平移2個(gè)單位后，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），則不等式x-4＜kx+2的解集為x＞-6

．

顯示解析

17．小華為參加畢業(yè)晚會(huì)演出，準(zhǔn)備制作一頂圓錐形紙帽，如圖所示，紙帽的底面半徑為9cm，母線長(zhǎng)為30cm，制作這個(gè)紙帽至少需要紙板的面積至少為270π

cm2．（結(jié)果保留π）

★☆☆☆☆顯示解析18．如圖1是二環(huán)三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，下圖2是二環(huán)四邊形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A7=720°，圖3是二環(huán)五邊形，可得S=1080°，…聰明的同學(xué)，請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律直接寫(xiě)出二環(huán)n邊形（n≥3的整數(shù)）中，S=360（n-2）

度．（用含n的代數(shù)式表示最后結(jié)果）

考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)．

專(zhuān)題：壓軸題；規(guī)律型．

分析：本題只看圖覺(jué)得很復(fù)雜，但從數(shù)據(jù)入手，就簡(jiǎn)單了，從圖2開(kāi)始，每個(gè)圖都比前一個(gè)圖多360度．抓住這點(diǎn)就很容易解決問(wèn)題了．

解答：解：依題意可知，二環(huán)三角形，S=360度；

二環(huán)四邊形，S=720=360×2=360×（4-2）度；

二環(huán)五邊形，S=1080=360×3=360×（5-2）度；

…

二環(huán)n邊形（n≥3的整數(shù)）中，S=360（n-2）度．故應(yīng)填S=360（n-2）度．

點(diǎn)評(píng)：本題可直接根據(jù)S的度數(shù)來(lái)找出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律表示出二環(huán)n邊形的度數(shù)．

三、解答題：（本大題共7小題，共66分）

19．先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式（x

x+1

+x+1

x21

）÷x2+1

x2+x

的值，其中x=2014．

顯示解析

20．為支持我國(guó)西南地區(qū)抗旱救災(zāi)，團(tuán)中央和全國(guó)少工委號(hào)召全國(guó)各級(jí)共青團(tuán)和少先隊(duì)組織，積極組織動(dòng)員廣大共青團(tuán)員和少先隊(duì)員，每人捐助一瓶水，用實(shí)際行動(dòng)向?yàn)?zāi)區(qū)人民群眾送去“愛(ài)心水”．某校對(duì)本校倡導(dǎo)的自愿捐款活動(dòng)進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到了一組學(xué)生捐款情況的數(shù)據(jù)．如圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖，圖中從左到右各長(zhǎng)方形的高度之比為3：4：5：8：6，又知此次調(diào)查中捐款25元和30元的學(xué)生一共42人．請(qǐng)你根據(jù)上述信息解答下列問(wèn)題：

（1）他們一共調(diào)查了多少人？

（2）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)各是多少？

（3）若該校共有1560名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生捐款多少元？

顯示解析

21．如圖，在梯形紙片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，將紙片沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)C處，折痕DE交BC于點(diǎn)E，連接C′E．

求證：四邊形CDC′E是菱形．

★☆☆☆☆顯示解析

22．如圖，一艘漁船位于海洋觀測(cè)站P的北偏東60°方向，漁船在A處與海洋觀測(cè)站P的距離為60海里，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于海洋觀測(cè)站P的南偏東45°方向上的B處．求此時(shí)漁船所在的B處與海洋觀測(cè)站P的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．

顯示解析23．某旅游商品經(jīng)銷(xiāo)店欲購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品，若用380元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品7件，B種紀(jì)念品8件；也可以用380元購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品6件．

（1）求A、B兩種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)分別為多少？

（2）若該商店每銷(xiāo)售1件A種紀(jì)念品可獲利5元，每銷(xiāo)售1件B種紀(jì)念品可獲利7元，該商店準(zhǔn)備用不超過(guò)900元購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品40件，且這兩種紀(jì)念品全部售出時(shí)總獲利不低于216元，問(wèn)應(yīng)該怎樣進(jìn)貨，才能使總獲利最大，最大為多少？

★★★☆☆顯示解析

24．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：AB=AC；

（2）求證：DE為⊙O的切線；

（3）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：切線的判定；圓周角定理．

專(zhuān)題：計(jì)算題；證明題．

分析：（1）根據(jù)垂直平分線的判斷方法與性質(zhì)易得AD是BC的垂直平分線，故可得AB=AC；

（2）連接OD，由平行線的性質(zhì)，易得OD⊥DE，且DE過(guò)圓周上一點(diǎn)D故DE為⊙O的切線；

（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=BC=10，CD=1

BC=5；又∠C=60°，借助三角函數(shù)的定義，可得答案．

解答：

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°；

∵BD=CD，

∴AD是BC的垂直平分線．

∴AB=AC．（3分）

（2）證明：連接OD，

∵點(diǎn)O、D分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

∴DE為⊙O的切線．（6分）

（3）解：由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等邊三角形，

∵⊙O的半徑為5，

∴AB=BC=10，CD=1

BC=5．

∵∠C=60°，

∴DE=CD·sin60°=5

．（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查切線的判定，線段相等的證明及線段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．

25．如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、E（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；

（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請(qǐng)給以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

★★☆☆☆顯示解析

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．

專(zhuān)題：壓軸題．

分析：（1）易得c=3，故設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3，根據(jù)拋物線所過(guò)的三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程組，解可得a、b的值，即可得解析式；

（2）易由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形間的關(guān)系可得四邊形ABDE的面積=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，代入數(shù)值可得答案；

（3）根據(jù)題意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且AO

＝BO

＝

，即可判斷出兩三角形相似．

解答：

解：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，3），

∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a≠0）（1分）

根據(jù)題意，得

ab+3＝0

9a+3b+3＝0

，

解得

a＝?1

b＝2

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3（5分）；

（2）如圖，設(shè)該拋物線對(duì)稱(chēng)軸是DF，連接DE、BD．過(guò)點(diǎn)B作BG⊥DF于點(diǎn)G．

由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4）（2分）

設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為F

∴四邊形ABDE的面積=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE

AO·BO+1

（BO+DF）·OF+1

EF·DF

×1×3+1

×（3+4）×1+1

×2×4

=9；

（3）相似，如圖，

BD=

BG2+DG2

＝

12+12

＝

；

∴BE=

BO2+OE2

＝

32+32

＝3

DE=

DF2+EF2

＝

22+42

＝2

∴BD2+BE2=20，DE2=20

即：BD2+BE2=DE2，

所以△BDE是直角三角形

∴∠AOB=∠DBE=90°，且AO

＝BO

＝

，

∴△AOB∽△DBE（2分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

2013學(xué)年四川省成都市名師堂學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1．在實(shí)數(shù)0、

、|-3|、2

中，最小的是（　?。?div style="height:15px;">A．0B．

C．|-3|D．2

顯示解析2．我市最大規(guī)模的民生工程--北改工程于2012年2月正式拉開(kāi)大幕．據(jù)初步統(tǒng)計(jì)，整個(gè)工程項(xiàng)目約360個(gè)，總投資約為3300億元．將總投資用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)約為（　?。?div style="height:15px;">A．3.3×109元B．3.3×1010元C．3.3×1011元D．3.3×1012元

顯示解析3．下列運(yùn)算正確的是（　?。?div style="height:15px;">A．3a+2a=5a2B．a(chǎn)2·a3=a6

C．（a+b）2=a2+b2D．（b+a）（a-b）=a2-b2

顯示解析

4．如圖，A、B、C是半徑為1的⊙O上的三點(diǎn)，∠C=30°，已知?jiǎng)t弦AB的長(zhǎng)為（　?。?div style="height:15px;">A．1B．0.5C．1.5D．2

顯示解析5．用配方法解方程x2-2x-2=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（　?。?div style="height:15px;">A．（x+1）2=3B．（x+2）2=6C．（x-1）2=3D．（x-2）2=6

顯示解析

6．如圖，已知AB∥CD，AE=CF，則下列條件中不一定能使△ABE≌△CDF的是（　?。?div style="height:15px;">A．AB=CDB．BE∥DFC．∠B=∠DD．BE=DF

顯示解析

7．小華同學(xué)根據(jù)某地今年春節(jié)初一至初七的每天最低氣溫繪成了所示的折線統(tǒng)計(jì)圖．關(guān)于這7天的每天最低氣溫的說(shuō)法不正確的是（　　）

A．極差是5℃B．眾數(shù)是2℃C．中位數(shù)是1℃D．平均數(shù)是1℃

顯示解析8．為了建設(shè)社會(huì)主義新農(nóng)村，我市積極推進(jìn)“行政村通暢工程”．張村和王村之間的道路需要進(jìn)行改造，施工隊(duì)在工作了一段時(shí)間后，因暴雨被迫停工幾天，不過(guò)施工隊(duì)隨后加快了施工進(jìn)度，按時(shí)完成了兩村之間的道路改造．下面能反映該工程尚未改造的道路里程y（公里）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（　?。?div style="height:15px;">A．

B．

C．

D．

顯示解析

9．如圖，矩形OABC邊OA長(zhǎng)為1，邊AB長(zhǎng)為2，OC在數(shù)軸上，且點(diǎn)O與原點(diǎn)重合．以O(shè)為圓心，對(duì)角線OB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交負(fù)半軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的實(shí)數(shù)是（　?。?div style="height:15px;">A．

B．

C．

D．

顯示解析

10．如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積是（　?。?div style="height:15px;">A．π

B．

πC．

πD．π

★★★★☆顯示解析

二、填空題（每小題4分，共16分）

11．若

+(y+2)2＝0，則x-y=3

．

顯示解析12．計(jì)算：a2

+b2

=a+b

．

顯示解析13．如圖，從邊長(zhǎng)為（a+3）cm的大正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+1）cm的小正方形（a＞0），剩余部分沿虛線剪開(kāi)，重新拼成一個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），則此矩形的周長(zhǎng)為4a+12

．

考點(diǎn)：圖形的剪拼．

分析：根據(jù)已知正方形邊長(zhǎng)，得出新矩形的各邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出此矩形的周長(zhǎng)．

解答：

解：由題意可得出：AB=ED=a+1，CD=AF=a+3，BC=EF=a+3-（a+1）=2，

∴此矩形的周長(zhǎng)為：2（a+1+a+3）+2×2=4a+12．

故答案為：4a+12．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的剪拼，根據(jù)已知得出各部分的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．

14．某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖所示，為了美化環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃在五邊形各頂點(diǎn)為圓心，2m長(zhǎng)為半徑的扇形區(qū)域（陰影部分）種上花草，那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是6πm2

．

顯示解析

三、解答題（本大題共6小題，共54分）

15．（1）計(jì)算：(?1

)11

+(π?3)0|cos30°?1|

（2）解方程：x+3

＝5

1．

顯示解析

16．如圖，某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量校內(nèi)旗桿AB高度，在C點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，向前走了26米到達(dá)D點(diǎn)，在D點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端A的仰角為60°（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，點(diǎn)B、D、C在同一直線上），求旗桿AB的高度（結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字，

≈1.732）．

顯示解析

17．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(k2)x+1

k2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求關(guān)于y的不等式6?y

k≥y+1

的解集，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

顯示解析

18．如圖，正比例函數(shù)y＝1

x的圖象與反比例函數(shù)y＝k

（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A（m，1）．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若以O(shè)A為邊的菱形OABC的對(duì)角線OB在x軸上，求菱形OABC的面積．

顯示解析19．隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高，汽車(chē)已越來(lái)越多地進(jìn)入普通家庭．汽車(chē)迷小明通過(guò)上網(wǎng)下載了四幅汽車(chē)標(biāo)志圖案，并制作了如下圖所示的A、B、C、D四張精美卡片（形狀、大小和質(zhì)地都相同）．

（1）將這四張卡片背面向上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，求抽到的卡片上的圖案是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率；

（2）小明為甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲：將以上四張卡片背面向上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張（不放回），接著再隨機(jī)抽取一張，若抽到的兩張卡片上只要有一張圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，甲獲勝，否則乙獲勝．請(qǐng)通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表格分析說(shuō)明小明設(shè)計(jì)的這個(gè)游戲?qū)?、乙雙方是否公平？

顯示解析

20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，交AB于點(diǎn)G，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠ACD的角平分線于點(diǎn)F．

（1）求證：OE=OF；

（2）若△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，猜想并證明當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)四邊形AECF為正方形？此時(shí)，如果AE=

，AB=4，求sin∠BAE的值．

考點(diǎn)：正方形的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．

分析：（1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，易證得△EOC與△FOC是等腰三角形，即可得OE=OF；

（2）由（1）知，OE=OC=OF，當(dāng)OC=OA，即點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，可得OE=OC=OF=OA，證得四邊形AECF是矩形；再由∠ACB=90°，MN∥BC，得出AC⊥EF，從而證明矩形AECF是正方形；根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理求出AC=2，OA=OE=1，在Rt△ABC中，由正弦函數(shù)的定義得到∠B=30°，則∠AGO=30°，OG=

．過(guò)E作EH⊥AB于H，設(shè)EH=x，由GE+OE=OG，列出方程2x+1=

，解方程求出x=

，然后在Rt△AHE中，利用正弦函數(shù)的定義求出sin∠HAE的值，即可得到sin∠BAE的值．

解答：（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD．

又∵CE平分∠ACB，F(xiàn)C平分∠ACD．

∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD，

∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，

∴EO=OC，F(xiàn)O=OC，

∴EO=FO；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為正方形．理由如下：

由（1）知，OE=OC=OF，

當(dāng)OC=OA，即點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，

∴OE=OC=OF=OA，

∴四邊形AECF是平行四邊形，AC=EF，

∴這時(shí)四邊形AECF是矩形；

又∵∠ACB=90°，MN∥BC，

∴∠AOE=∠ACB=90°，

∴AC⊥EF，

∴矩形AECF是正方形．

∴AE=CE=

，∠AEC=90°，

∴AC=2，OA=OE=1．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，

∴sin∠B=AC

，

∴∠B=30°，

∴∠AGO=∠B=30°，OG=

OA=

．

過(guò)E作EH⊥AB于H，設(shè)EH=x，則GE=2x，

∵GE+OE=OG，

∴2x+1=

，

∴x=

．

在Rt△AHE中，sin∠HAE=HE

，

∴sin∠BAE=

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正方形、矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

一、B卷填空題（每小題4分，共20分）

21．某計(jì)算程序編輯如圖所示，當(dāng)輸入x=4或-4

，輸出y=1．

顯示解析22．拋物線y=ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：

x…-2-1023…

y…0-5-8-8-5…

從上表可知，下列說(shuō)法中正確的是①③

．（填寫(xiě)序號(hào)）

①拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1； ②在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x增大而減?。?div style="height:15px;">③拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（4，0）； ④函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值為-8．

顯示解析

23．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊得到對(duì)應(yīng)的△BFE，且點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在AD上．若tan∠DFE=5

，BC=3，則CE=2

．

顯示解析

24．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC以1.5cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后立刻以原來(lái)的速度沿CA返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線PC-CB-BQ于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0），則當(dāng)t=25

或40

秒時(shí)，四邊形BQDE為直角梯形．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．

專(zhuān)題：綜合題．

分析：由四邊形QBED為直角梯形，分為∠PQB=90°和∠CPQ=90°兩種情況，得出三角形相似，利用相似比求出相應(yīng)t的值即可．

解答：

解：在Rt△ABC中，BC=3cm，AB=5cm，

根據(jù)勾股定理得：AC=

AB2BC2

=4cm，

設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，四邊形QBED為直角梯形，

①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，得DE∥QB，

則四邊形QBED是直角梯形（如圖1），

此時(shí)△APQ∽△ABC，

則AQ

=AP

，即5?t

=1.5t

，

解得：t=25

；

②當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，得PQ∥BC，

則四邊形QBED是直角梯形（如圖2），

此時(shí)△APQ∽△ACB，

則AQ

=AP

，即5?t

=1.5t

，

解得：t=40

，

綜上，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)25

或40

秒時(shí)，四邊形QBED是直角梯形．

故答案為：25

或40

點(diǎn)評(píng)：此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，利用了分類(lèi)討論及數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是由直角梯形的直角的可能情況，利用平行線得相似三角形，分類(lèi)求解．

25．閱讀材料：設(shè)方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2＝?b

，x1·x2＝c

．根據(jù)該材料填空：若關(guān)于x的一元二次方程x2-（n+2）x-2n2=0的兩根記作an、bn（n為不小于2的整數(shù)），則1

(a22)(b22)

(a32)(b32)

+…+1

(an2)(bn2)

=-n1

4(n+1)

．

（2012·成華區(qū)一模）閱讀材料：設(shè)方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2＝?b

，x1·x2＝c

．根據(jù)該材料填空：若關(guān)于x的一元二次方程x2-（n+2）x-2n2=0的兩根記作an、bn（n為不小于2的整數(shù)），則1

(a22)(b22)

(a32)(b32)

+…+1

(an2)(bn2)

=-n1

4(n+1)

．

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．

分析：首先根據(jù)兩根與方程系數(shù)之間的關(guān)系求得an+bn=n+2，an·bn=-2n2，然后由1

(an2)(bn2)

=-1

（1

-1

n+1

）找到規(guī)律原式=-1

（1

-1

+…+1

-1

n+1

）=-1

（1

-1

n+1

）=-n1

4(n+1)

．

解答：解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2-（n+2）x-2n2=0的兩根記作an、bn（n為不小于2的整數(shù)），

∴an+bn=n+2，an·bn=-2n2，

∴1

(an2)(bn2)

anbn2(an+bn)+4

2n22n

=-1

·1

n(n+1)

=-1

（1

-1

n+1

），

∴1

(a22)(b22)

(a32)(b32)

…+1

(an2)(bn2)

=-1

（1

-1

+…+1

-1

n+1

）=-1

（1

-1

n+1

）=-n1

4(n+1)

；

故答案是：-n1

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．

二、解答題(本大題共3小題，共30分)

26．據(jù)調(diào)查，某地區(qū)有100萬(wàn)人從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的非城鎮(zhèn)居民，人均年收入5000元．為了增加這些非城鎮(zhèn)居民的收入，當(dāng)?shù)卣e極引資建立各種加工企業(yè)，對(duì)當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行深加工，同時(shí)吸收部分這些非城鎮(zhèn)居民進(jìn)入加工企業(yè)工作．據(jù)統(tǒng)計(jì)，如果有x萬(wàn)這些非城鎮(zhèn)居民進(jìn)入加工企業(yè)工作（x＞0），那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的非城鎮(zhèn)居民的人均年收入將提高2x%，而進(jìn)入加工企業(yè)工作的這些非城鎮(zhèn)居民人均年收入為5000a元（a＞0）．

（1）若該地區(qū)在建立加工企業(yè)后從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的非城鎮(zhèn)居民的年總收入剛好等于加工企業(yè)建立前全部非城鎮(zhèn)居民的年總收入，求x的值；

（2）若0＜x≤50，a=3．則當(dāng)?shù)卣畱?yīng)安排多少萬(wàn)非城鎮(zhèn)居民進(jìn)入加工企業(yè)工作，才能使這100萬(wàn)非城鎮(zhèn)居民的人均年收入達(dá)到最大？其最大人均年收入為多少元？

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用．

分析：（1）先根據(jù)題意得出一個(gè)關(guān)于x的不等關(guān)系：（100-x）·5000·（1+2x%）=100×5000，解此方程即得x的值；

（2）設(shè)安排x萬(wàn)非城鎮(zhèn)居民進(jìn)入加工企業(yè)工作，這100萬(wàn)非城鎮(zhèn)居民的人均年收入為y元，利用已知分別表示出從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的非城鎮(zhèn)居民和進(jìn)入加工企業(yè)工作的這些非城鎮(zhèn)居民人均年收入進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，

（100-x）·5000·（1+2x%）=100×5000，

即x2-50x=0，

解得：x1=0（舍去），x2=50；

（2）設(shè)安排x萬(wàn)非城鎮(zhèn)居民進(jìn)入加工企業(yè)工作，這100萬(wàn)非城鎮(zhèn)居民的人均年收入為y元，依據(jù)題意可得出：

y=(100?x)×5000(1+2x%)+5000×3x

100

化簡(jiǎn)得：y=-x2+200x+5000=-（x-100）2+15000，

根據(jù)二次函數(shù)的圖象知：當(dāng)0＜x≤50時(shí)，y隨x增大而增大，

∴當(dāng)x=50時(shí)，y有最大值為12500，故當(dāng)?shù)卣畱?yīng)安排50萬(wàn)非城鎮(zhèn)居民進(jìn)入加工企業(yè)工作，

才能使這100萬(wàn)非城鎮(zhèn)居民的人均年收入達(dá)到最大，其最大人均年收入為12500元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．

27．已知半圓O的直徑AB為10，點(diǎn)M是該半圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM、BM，并延長(zhǎng)BM至點(diǎn)C，使BM=CM．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB或其反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AM或其反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)D為垂足，連接OE．

（1）當(dāng)CD與AB交于點(diǎn)D，與AM交于點(diǎn)E時(shí)（如圖），求證：∠BAM=∠C；

（2）在（1）的情況下，若CD=8，求DE的值；

（3）設(shè)AD=t，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在t使得以點(diǎn)E、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

考點(diǎn)：圓的綜合題．

專(zhuān)題：分類(lèi)討論．

分析：（1）由AB為半圓的直徑，利用直角所對(duì)的圓周角為直角，得到AM垂直于BC，再由CD垂直于AB，得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形CEM與三角形ADE相似，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得證；

（2）連接AC，則可判斷AM是線段BC的垂直平分線，在Rt△ACD中，求出AD，從而得出BD，再由Rt△AED與Rt△CDB相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出DE的長(zhǎng)；

（3）若以點(diǎn)E、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△BAP相似，則有∠EOD=∠PAM或∠EOD=∠ABM，然后分別求出AD的長(zhǎng)度，即為t的值．

解答：

解：（1）證明：∵AB為半圓的直徑，

∴∠AMB=∠CMA=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∴∠CMA=∠CDA，又∠CEM=∠AED，

∴△CME∽△ADE，

∴∠BAM=∠C；

（2）連接AC，如圖1所示，

∵AB是半圓O的直徑，

∴∠AMB=90°，

又∵CM=BM，

∴AM是線段BC的垂直平分線，

∴AC=AB=10，

在Rt△ACD中，AD=

AC2CD2

=6，

∴BD=4，

又∵Rt△AED∽R(shí)t△CBD，

∴ED

=AD

，即DE

，

∴DE=3；

（3）存在，理由如下：

若以點(diǎn)E、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似，則有∠EOD=∠MAB或∠EOD=∠ABM，

①當(dāng)∠EOD=∠MAB時(shí)，如圖2所示，此時(shí)△AOE為等腰三角形，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)，即t=AD=5

；

②當(dāng)∠EOD=∠ABM時(shí)，OE∥BM，如圖3所示，此時(shí)OD=5-AD，BD=10-AD，

∵Rt△DOE∽R(shí)t△DBC，

∴OD

=OE

，即5?AD

10?AD

，

∴t=AD=10

．

綜上，在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在t使得以點(diǎn)E、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似，此時(shí)t的值為5

或10

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，本題的難點(diǎn)在第三問(wèn)，注意分類(lèi)討論，不要漏解，難度較大．

28．已知兩直線l1、l2分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（-1，0），并且當(dāng)兩條直線同時(shí)相交于y軸負(fù)半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)1⊥l2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線l2交于點(diǎn)K，如圖所示．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于△ABC的面積的3

倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）將直線l1按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90），與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M．求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△MCK為等腰三角形時(shí)的α的值．

顯示解析

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．

專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題；分類(lèi)討論．

分析：（1）在Rt△ABC中，由射影定理可求出OC的長(zhǎng)，由此確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；知道A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法可確定該拋物線的解析式．

（2）此題中，以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形可分作兩部分，若該四邊形的面積是△ABC面積的1.5倍，那么四邊形中除△ABC以外部分的面積應(yīng)是△ABC面積的一半，分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，△ABP的面積應(yīng)該是△ABC面積的一半，因此點(diǎn)P的縱坐標(biāo)應(yīng)該是點(diǎn)C縱坐標(biāo)絕對(duì)值的一半，代入拋物線解析式中即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)P在B、C段時(shí)，顯然△BPC的面積要遠(yuǎn)小于△ABC面積的一半，此種情況不予考慮；

③當(dāng)點(diǎn)P在A、C段時(shí)，由A、C的長(zhǎng)以及△ACP的面積可求出點(diǎn)P到直線AC的距離，首先在射線CK上取線段CD，使得CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到直線AC的距離，先求出過(guò)點(diǎn)D且平行于l1的直線解析式，這條直線與拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)P．

（3）從題干的旋轉(zhuǎn)條件來(lái)看，直線l1旋轉(zhuǎn)的范圍應(yīng)該是l1、l2中間的部分，而△MCK的腰和底并不明確，所以分情況討論：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；

求出點(diǎn)K的坐標(biāo)、∠BCO的度數(shù)結(jié)合上述三種情況求解．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，OB=1，OA=3，且CO⊥AB；

∴OC=

OA·OB

，則 C（0，-

）；

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），代入點(diǎn)C的坐標(biāo)后，得：

a（0+1）（0-3）=-

，a=

∴拋物線的解析式：y=

（x+1）（x-3）=

x2-2

．

（2）易知OA=3、OB=1、OC=

，則：S△ABC=1

AB·OC=1

×4×

．

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，由題意知：S△ABP=1

S△ABC，則：

點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸距離的一半，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

；

令y=

x2-2

，化簡(jiǎn)得：2x2-4x-9=0

解得 x=2±

；

∴P1（2?

，

）、P2（2+

，

）；

②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的B、C段時(shí)，顯然△BCP的面積要小于1

S△ABC，此種情況不合題意；

③當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的A、C段時(shí)，S△ACP=1

AC·h=1

S△ABC=

，則h=1；

在射線CK上取點(diǎn)D，使得CD=h=1，過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥l1，交y軸于點(diǎn)E，如右圖；

在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，則CE=2

、OE=OC+CE=5

，點(diǎn)E（0，-5

）

∴直線DE：y=

x--5

，聯(lián)立拋物線的解析式，有：

y＝

x22

，解得：

x1＝1

y1＝?4

、

x2＝2

y2＝?

∴P3（1，-4

）、P4（2，-

）；

綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（2?

，

）、（2+

，

）、（1，-4

）、（2，-

）．

（3）由（1）知：y=

x2-2

（x-1）2-4

，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸 x=1；

在Rt△OBC中，OB=1，OC=

，則∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；

過(guò)點(diǎn)C作直線CN∥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，如右圖；

由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得：N（2，-

），所以 CN=2；

易知直線BC：y=-

，則 K（1，-2

），CK=

(?1?0)2+(?2

=2；

在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等邊三角形----①．

Ⅰ、KC=KM時(shí)，點(diǎn)C、M關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，符合①的情況，即點(diǎn)M、N重合；

Ⅱ、KC=CN時(shí)，由于KC=BC，所以此時(shí)點(diǎn)M與B、N重合；

Ⅲ、MK=MC時(shí)，點(diǎn)M在線段CK的中垂線上，CK的中垂線與拋物線相交于點(diǎn)N或者相交于拋物線的頂點(diǎn)．

綜上，符合條件的直線l1的旋轉(zhuǎn)角度α=60°或α=∠ACN=90°-∠2=30°．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，圖形面積的解法以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí)；后兩題涉及的情況較多，應(yīng)分類(lèi)進(jìn)行討論，容易漏解．

16．如圖，已知∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面積記作S1；再作第二個(gè)正方形A2B2C2A3，面積記作S2；繼續(xù)作第三個(gè)正方形A3B3C3A4，面積記作S3；點(diǎn)A1、A2、A3、A4…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3、B4…在射線OM上，…依此類(lèi)推，則第4個(gè)正方形的面積S4=

，第n個(gè)正方形的面積Sn=

．

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)．

專(zhuān)題：規(guī)律型．

分析：判斷出△OA1B1是等腰直角三角形，求出第一個(gè)正方形A1B1C1A2的邊長(zhǎng)為1，再求出△B1C1B2是等腰直角三角形，再求出第2個(gè)正方形A2B2C2A3的邊長(zhǎng)為2，然后依次求出第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：

解：∵∠MON=45°，

∴△OA1B1是等腰直角三角形，

∵OA1=1，

∴正方形A1B1C1A2的邊長(zhǎng)為1，第1個(gè)正方形的面積S1=1

∵B1C1∥OA2，

∴∠B2B1C1=∠MON=45°，

∴△B1C1B2是等腰直角三角形，

∴正方形A2B2C2A3的邊長(zhǎng)為：1+1=2，第2個(gè)正方形的面積S2=4

同理，第3個(gè)正方形A3B3C3A4的邊長(zhǎng)為：2+2=4，第3個(gè)正方形的面積S3=16

第4個(gè)正方形A4B4C4A5的邊長(zhǎng)為：4+4=8，第4個(gè)正方形的面積S4=64

第5個(gè)正方形A5B5C5A6的邊長(zhǎng)為：8+8=16，第5個(gè)正方形的面積S5=256

第6個(gè)正方形A6B6C6A7的邊長(zhǎng)為：16+16=32，第6個(gè)正方形的面積S6=1024．

所以第n個(gè)正方形的面積Sn=22n-2．

故答案為：64，22n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，得出后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形邊長(zhǎng)的2倍是解題的關(guān)鍵．

三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題6分，共18分）

17．計(jì)算：（2014-π）0+（-1

）-2-2cos30°+|1-

|．

顯示解析18．先化簡(jiǎn)，后求值：(1+1

)÷x22x+1

x24

，其中x=-5．

顯示解析

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．

（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過(guò)A，D兩點(diǎn)作⊙O；（用圓規(guī)、直尺作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡）

（2）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

顯示解析

四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

20．為了貫徹“減負(fù)增效”精神，掌握九年級(jí)600名學(xué)生每天的自主學(xué)習(xí)情況，某校學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽查了九年級(jí)的部分學(xué)生，并調(diào)查他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（圖1，圖2），請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題：

（1）本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是

人；

（2）圖2中α是

度，并將圖1條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）請(qǐng)估算該校九年級(jí)學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于1.5小時(shí)有

人；

（4）老師想從學(xué)習(xí)效果較好的4位同學(xué)（分別記為A、B、C、D，其中A為小亮）隨機(jī)選擇兩位進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流，用列表法或樹(shù)狀圖的方法求出選中小亮A的概率．

顯示解析21．“六·一”兒童節(jié)前，某玩具商店根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，用2500元購(gòu)進(jìn)一批兒童玩具，上市后很快脫銷(xiāo)，接著又用4500元購(gòu)進(jìn)第二批這種玩具，所購(gòu)數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進(jìn)價(jià)多了10元．

（1）求第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)是多少元？

（2）如果這兩批玩具每套售價(jià)相同，且全部售完后總利潤(rùn)不低于25%，那么每套售價(jià)至少是多少元？

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22．如圖，某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組測(cè)量電視塔AB的高度．他們借助一個(gè)高度為30m的建筑物CD進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂B的仰角為45°，在點(diǎn)E處測(cè)得B的仰角為37°（B、D、E三點(diǎn)在一條直線上）．求電視塔的高度h．

（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

23．閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0）的距離記作AB=|x1-x2|，如果A（x1，y1），B（x2，y2）是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求AB間的距離．如圖，過(guò)A，B分別向x軸、y軸作垂線AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分別是M1、N1、M2、N2，直線AN1交BM2于點(diǎn)Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1-x2|，BQ=|y1-y2|，

∴AB2=AQ2+BQ2=|x1-x2|+|y1-y2|2=（x1-x2|2+（y1-y2）2，

由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）間的距離公式為：AB=

(x1x2)2+(y1y2)2

．

（1）直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算點(diǎn)A（1，-3），B（-2，1）之間的距離為

；

（2）平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A（2，3），B（4，1），P為x軸上任一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為

；

（3）應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式

x2+(y2)2

(x3)2+(y1)2

的最小值．

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題；兩點(diǎn)間的距離公式．

專(zhuān)題：閱讀型．

分析：（1）直接利用兩點(diǎn)之間距離公式直接求出即可；

（2）利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路線方法得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而求出PA+PB的最小值；

（3）根據(jù)原式表示的幾何意義是點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（-2，-4）和（3，1）的距離之和，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在以（-2，-4）和（3，1）為端點(diǎn)的線段上時(shí)其距離之和最小，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）間的距離公式為：

AB=

(x1x2)2+(y1y2)2

，

∴點(diǎn)A（1，-3），B（-2，1）之間的距離為：

(1+2)2+(?3?1)2

=5；

故答案為：5；

（2）如圖所示：作A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′點(diǎn)，連接A′B，

則此時(shí)PA+PB最小，最小值為：

42+22

；

故答案為：2

；

（3）原式表示的幾何意義是點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（-2，-4）和（3，1）的距離之和，

當(dāng)點(diǎn)（x，y）在以（-2，-4）和（3，1）為端點(diǎn)的線段上時(shí)其距離之和最小，

∴原式最小值為：

(?2?3)2+(?4?1)2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最值問(wèn)題以及兩點(diǎn)之間距離公式，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為兩點(diǎn)之間距離問(wèn)題是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得兩底角相等，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得OA=OB，根據(jù)AAS，可得兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)果；

（2）根據(jù)四個(gè)角是直角的四邊形是矩形，可得四邊形DMCN是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得對(duì)邊相等，根據(jù)等腰三角形的判定，可得DM與AM的關(guān)系，根據(jù)根據(jù)SAS，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)同角的余角相等，可得答案．

解答：證明：（1）∵CA=CB，

∴∠A=∠B，

∵O是AB的中點(diǎn)，

∴OA=OB．

∵DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠AMO=∠BNO=90°，

在△OMA和△ONB中，

∠A＝∠B

∠ANO＝∠BNO

AO＝BO

，

∴△OMA≌△ONB（AAS），

∴OM=ON．

（2）解：OM=ON，OM⊥ON．

理由如下：連結(jié)OC，

∵BN⊥DE，F(xiàn)M⊥CM，CM⊥BN，

∴四邊形DMCN是矩形，

∴CN=DM，

∵∠DAM=∠CAB=45°，∠DMA=90°，

∴DM=MA，

∴CN=MA

∵∠ACB=90°，O為AB中點(diǎn)，

∴CO=1

AB=AO，∠BCO=45°，CO⊥AB，

∴∠NCO=∠MAO=135°，

在△NOC和△MOA，

中

NC＝MA

∠NCO＝∠MAO

OC＝OA

，

∴△NOC≌△MOA（SAS），

∴OM=ON，∠AOM=∠NOC，

∵∠NOC+∠AON=90°，

∴∠AOM+∠AON=90°，

∴∠MON=90°，

即OM⊥ON．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）由SAS證明三角形全等，再由全等三角形的性質(zhì)，得出答案；（2）先證明矩形，再由SAS證明三角形全等，證明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，同角的余角相等．

顯示解析

25．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

顯示解析

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．

專(zhuān)題：綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類(lèi)討論．

分析：（1）已知點(diǎn)A坐標(biāo)可確定直線AB的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法可解．

（2）首先由拋物線的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，在△POB和△POC中，已知的條件是公共邊OP，若OB與OC不相等，那么這兩個(gè)三角形不能構(gòu)成全等三角形；若OB等于OC，那么還要滿(mǎn)足的條件為：∠POC=∠POB，各自去掉一個(gè)直角后容易發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P正好在第二象限的角平分線上，聯(lián)立直線y=-x與拋物線的解析式，直接求交點(diǎn)坐標(biāo)即可，同時(shí)還要注意點(diǎn)P在第二象限的限定條件．

（3）分別以A、B、Q為直角頂點(diǎn)，分類(lèi)進(jìn)行討論．找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，

∴y=2x-6，

令y=0，解得：x=3，

∴B的坐標(biāo)是（3，0）．

∵A為頂點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的解析為y=a（x-1）2-4，

把B（3，0）代入得：4a-4=0，

解得a=1，

∴y=（x-1）2-4=x2-2x-3．

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴當(dāng)∠POB=∠POC時(shí)，△POB≌△POC，

此時(shí)PO平分第二象限，即PO的解析式為y=-x．

設(shè)P（m，-m），則-m=m2-2m-3，解得m=1?

（m=1+

＞0，舍），

∴P（1?

，

）．

（3）①如圖，當(dāng)∠Q1AB=90°時(shí)，△DAQ1∽△DOB，

∴AD

=DQ1

，即

=DQ1

，∴DQ1=5

，

∴OQ1=7

，即Q1（0，7

）；

②如圖，當(dāng)∠Q2BA=90°時(shí)，△BOQ2∽△DOB，

∴OB

=OQ2

，即3

=OQ2

，

∴OQ2=3

，即Q2（0，3

）；

③如圖，當(dāng)∠AQ3B=90°時(shí)，作AE⊥y軸于E，

則△BOQ3∽△Q3EA，

∴OB

Q3E

=OQ3

，即3

4?OQ3

=OQ3

，

∴OQ32-4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，

即Q3（0，-1），Q4（0，-3）．

綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，7

）或（0，3

）或（0，-1）或（0，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形與相似三角形應(yīng)用等重點(diǎn)知識(shí)．（3）題較為復(fù)雜，需要考慮的情況也較多，因此要分類(lèi)進(jìn)行討論．

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