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2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）

理科數(shù)學(xué)

YCY

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分． 第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共150分．

第I卷

注意事項：

1．答題前，考生務(wù)必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上，考生要認真核對答題卡粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致．

2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．

3．考試結(jié)束，臨考員將試題卷、答題卡一并收回．

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么              球的表面積公式     

P(A+B)=P(A)+P(B)                   

如果事件A、B相互獨立，那么          其中R表示球的半徑

P(A·B)=P(A)·P(B)                 

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是    球的體積公式

P，那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k         

次的概率          其中R表示球的半徑

1．設(shè)集合 （  I  B）=     （    ）

       A．{1}                    B．{1，2}               C．{2}                     D．{0，1，2}

2．設(shè)復(fù)數(shù)： 為實數(shù)，則x=                            （    ）

       A．－2                    B．－1                     C．1                        D．2

3． “a=b”是“直線 ”的                       （    ）

       A．充分不必要條件                                 B．必要不充分條件

       C．充分必要條件                                    D．既不充分又不必要條件

4． 的展開式中，含x的正整數(shù)次冪的項共有                                      （    ）

       A．4項                    B．3項                    C．2項                    D．1項

5．設(shè)函數(shù) 為                                                         （    ）

       A．周期函數(shù)，最小正周期為               B．周期函數(shù)，最小正周期為

       C．周期函數(shù)，數(shù)小正周期為              D．非周期函數(shù)

6．已知向量         （    ）

       A．30°                   B．60°

       C．120°                 D．150°

7．已知函數(shù)

，下面四個圖象中

的圖象大致是                              （    ）

8．                                                             （    ）

       A．－1                    B．1                        C．－                   D．

9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為                                                                （    ）

       A．                B．                 C．                 D．

10．已知實數(shù)a, b滿足等式 下列五個關(guān)系式                                      

       ①0<b<a                   ②a<b<0                   ③0<a<b                   ④b<a<0            ⑤a=b

       其中不可能成立的關(guān)系式有                                                                             （    ）

       A．1個                    B．2個                    C．3個                    D．4個

11．在△OAB中，O為坐標原點， ，則△OAB的面積達到最大值時，                                                   （    ）

       A．                      B．                       C．                       D．

12．將1，2，…，9這9個數(shù)平均分成三組，則每組的三個數(shù)都成等差數(shù)列的概率為（    ）

       A．                     B．                     C．                   D．

第Ⅱ卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共15分，請將答案填在答題卡上.

13．若函數(shù) 是奇函數(shù)，則a=                .

14．設(shè)實數(shù)x, y滿足                .

15．如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

AB=BC= ，BB₁=2， ，

E、F分別為AA₁、C₁B₁的中點，沿棱柱的表面從E

到F兩點的最短路徑的長度為              .

16．以下同個關(guān)于圓錐曲線的命題中

       ①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)， ，則動點P的軌跡為雙曲線；

       ②設(shè)定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若 則動點P的軌跡為橢圓；

       ③方程 的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

       ④雙曲線 有相同的焦點.

       其中真命題的序號為                 （寫出所有真命題的序號）

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

已知函數(shù) （a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x₁=3, x₂=4.

   （1）求函數(shù)f(x)的解析式；

   （2）設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式；

18．（本小題滿分12分）

已知向量 .

是否存在實數(shù) 若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.

19．（本小題滿分12分）

A、B兩位同學(xué)各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設(shè) 表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù).

（1）求 的取值范圍；

（2）求 的數(shù)學(xué)期望E .

20．（本小題滿分12分）

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AD上移動.

   （1）證明：D₁E⊥A₁D；

   （2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；

   （3）AE等于何值時，二面角D₁—EC—D的大小為 .

21．（本小題滿分12分）

已知數(shù)列

（1）證明

（2）求數(shù)列 的通項公式a_n.

22．（本小題滿分14分）

如圖，設(shè)拋物線 的焦點為F，動點P在直線 上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.

（1）求△APB的重心G的軌跡方程.

（2）證明∠PFA=∠PFB.

2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江西卷）

理科數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題

1．D  2．A  3．A  4．B  5．B  6．C  7．C  8．C  9．C  10．B  11．D  12．A

二、填空題

13．          14．      15．        16．③④

三、解答題

17．解：（1）將 得

（2）不等式即為

即

①當

②當

③ .

18．解：

19．解：（1）設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則 ，可得：

（2）

20．解法（一）

（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）設(shè)點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁= ，AD₁= ，

故

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

  ∴∠DHD₁為二面角D₁—EC—D的平面角.

設(shè)AE=x，則BE=2－x

解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而 ，

，設(shè)平面ACD₁的法向量為 ，則

也即 ，得 ，從而 ，所以點E到平面AD₁C的距離為

（3）設(shè)平面D₁EC的法向量 ，∴

由   令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依題意

∴ （不合，舍去），  .

∴AE= 時，二面角D₁—EC—D的大小為 .

21．解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當n=1時，

   ∴ ，命題正確.

2°假設(shè)n=k時有

   則

而

又

∴ 時命題正確.

由1°、2°知，對一切n∈N時有

方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

       1°當n=1時， ∴ ；

    2°假設(shè)n=k時有 成立，

       令 ， 在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)

有： 即

也即當n=k+1時  成立，所以對一切

   （2）下面來求數(shù)列的通項： 所以

,

又b_n=－1，所以

22．解：（1）設(shè)切點A、B坐標分別為 ，

∴切線AP的方程為：

  切線BP的方程為：

解得P點的坐標為：

所以△APB的重心G的坐標為 ，

所以 ，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：

   （2）方法1：因為

由于P點在拋物線外，則

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①當 所以P點坐標為 ，則P點到直線AF的距離為：

即

所以P點到直線BF的距離為：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②當 時，直線AF的方程：

直線BF的方程：

所以P點到直線AF的距離為：

，同理可得到P點到直線BF的距離 ，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.