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核心提示：勾股定理是中考的重要考點(diǎn)之一，其中蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的“靈魂”，總結(jié)概括數(shù)學(xué)思想有利于透徹地理解所學(xué)知識，而熟練的運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想則可提高獨(dú)立分析問題和解決問題的能力. 現(xiàn)把勾股定理中運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想總結(jié)如下：

一.勾股定理中方程思想的運(yùn)用

方程思想是指：在含有直角三角形的圖形中，求線段的長往往要使用勾股定理，如果無法直接用勾股定理來計算，則需要列方程解決。

例題1．如左圖所示，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm，BC=10cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD的長為（ ）

分析：折疊問題是近幾年來中考中的常見題型，解折疊問題關(guān)鍵抓住對稱性，圖中CD在Ｒt△ACD中，由于AC已知，要求CD，只需求AD，由折疊的對稱性，得AD=BD，注意到CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之。

解：如右圖所示，要使A，B兩點(diǎn)重合，則折痕DE必為AB的垂直平分線。連結(jié)AD，則AD＝BD。設(shè)CD＝x，則AD=BD=10－x．在Rt△ACD中，由勾股定理，得

故選D。

點(diǎn)撥：勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個含有平方關(guān)系的等式，求線段的長時，可由此列出方程，運(yùn)用方程思想分析問題和解決問題，以便簡化求解。

二.勾股定理中分類討論思想的運(yùn)用

分類討論思想是指：在解題過程中，當(dāng)條件或結(jié)論不確定或不惟一時，往往會產(chǎn)生幾種可能的情況，這就需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對問題進(jìn)行分類，再針對各種不同的情況分別予以解決。最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的結(jié)論。分類討論實(shí)質(zhì)上是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)方法。

例題2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，求△ABC的面積。

分析：應(yīng)分△ABC是銳角三角形或鈍角三角形兩種情況分別求之。

解：AD是△ABC的高，由勾股定理，得

BD² = AB² – AD² = 20² – 12² = 256, ∴BD = 16

CD² = AC² – AD² = 15² - 12² = 81, ∴CD = 9

（1）若∠C為銳角，如圖（1）所示，

則BC = BD + CD = 16 + 9 = 25

（2）若∠C為鈍角，如圖（2）所示，

則BC = BD – CD = 16 – 9 = 7

即△ABC的面積為150或42

點(diǎn)撥：在一些求值計算題中，有些題目沒有給出圖形，當(dāng)畫出符合題意的圖形不惟一時，要注意分情況進(jìn)行討論，避免漏解。

三.勾股定理中類比思想的運(yùn)用

類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要發(fā)現(xiàn)式思維，它是一種學(xué)習(xí)方法，同時也是一種非常重要的創(chuàng)造性思維。它通過兩個已知事物在某些方面所具有的共同屬性，去推測這兩個事物在其他方面也有相同或類似的屬性。從而大膽猜想得到結(jié)論(必要時要加以證明)。

例題3．如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，則不難證明S₁=S₂+S₃

（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之間有什么關(guān)系？(不必證明)

（2）如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個等邊三角形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，請你確定S₁、S₂、S₃之間的關(guān)系并加以證明

分析：從同學(xué)們熟悉的勾股定理入手，①②容易得證，③中要求出等邊三角形的面積。

解：設(shè)直角三角形ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為α、b、c，則c² = α² + b²

（1）S₁ = S₂ + S₃

（2）S₁ = S₂ + S₃．證明如下：顯然，

點(diǎn)撥：本題從特殊到一般，從已知到未知，類比勾股定理的探究過程，其關(guān)鍵就在于理解勾股定理．當(dāng)然，學(xué)習(xí)了相似三角形的知識后，還可以繼續(xù)探究：分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，上述結(jié)論是否還成立呢？

四.勾股定理中整體思想的運(yùn)用

整體思想是指：對于某些數(shù)學(xué)問題，如果拘泥常規(guī)，從局部著手，則難以求解；如果把問題的某個部分或幾個部分看成一個整體進(jìn)行思考，就能開闊思路，較快解答題目。

例題4．在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S₁、S₂、S₃、S₄，則S₁＋S₂＋S₃＋S₄=_____．

分析：本題不可能求出S₁、S₂、S₃、S₄，但我們可以利用三角形全等和勾股定理分別求出S₁＋S₂、S₂＋S₃、S₃＋S₄

解：易證Rt△ABC ≌ Rt△CDE ∴ AB = CD

又∵CD² + DE² = CE²,而AB² = S₃,CE² = 3,DE² = S₄

∴S₃ ＋ S₄ = 3，同理S₁ ＋ S₂ = 1，S₂ ＋ S₃ = 2

∴S₁ ＋ S₂ ＋ S₂ ＋ S₃ ＋ S₃ ＋ S₄ = 1 ＋ 2 ＋ 3 = 6，即S₁ ＋ S₂ ＋ S₃ ＋ S₄ ＝ 4

點(diǎn)撥：化零為整，化分散為集中的整體策略是數(shù)學(xué)解題的重要方法，利用整體思想，不僅會使問題化繁為簡，化難為易，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

五.勾股定理中數(shù)型結(jié)合思想的運(yùn)用

所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達(dá)到迅速解題的目的。

例題5．在一棵樹的10m高處有兩只猴子，其中一只爬下樹直奔離樹20m的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？

分析：根據(jù)題意畫出圖形，再在直角三角形中運(yùn)用勾股定理構(gòu)建方程求解。

解：如右圖所示，D為樹頂，AB = 10m，C為池塘，AC = 20m

設(shè)BD的長是xm，則樹高（x + 10）m

∵AC + AB = BD + DC，∴DC = 20 + 10 – x

∵在△ACD中∠A = 90°，∴AC² + AD² = DC²

∴20² +（x + 10）² = （30 –x）²，解得x = 5

∴x + 10 = 15，即樹高15米

點(diǎn)撥：勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的一個典范，它把直角三角形有一個直角的“形”的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系。利用勾股定理解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成直角三角形模型，再利用方程來解決。

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂。在運(yùn)用勾股定理解題時，更應(yīng)注重思想方法的運(yùn)用，以提高獨(dú)立分析問題和解決問題的能力。

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