帶電粒子在有界磁場(chǎng)中所做的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，由于較好的綜合了數(shù)學(xué)、物理知識(shí)，而成為歷年高考考查的重點(diǎn)。解決這類問(wèn)題的基本思路雖然較為明了，但由于具體條件、情況復(fù)雜，方法繁多，使得此類問(wèn)題成為難點(diǎn)。然而，筆者發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)數(shù)量的題型可以通過(guò)靈活運(yùn)用“φ=α=2β”來(lái)達(dá)到化歸統(tǒng)一的目的，從而找到相對(duì)確定的方法，降低試題的難度。下面就明確“φ=α=2β”和化歸統(tǒng)一“圓運(yùn)動(dòng)”作具體闡述。
一、明確“φ=α=2β”
帶電粒子沿垂直于磁場(chǎng)的方向進(jìn)入有界磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡為一圓?。▋?yōu)弧或劣?。?，連接圓弧的兩端點(diǎn)（入射點(diǎn)、出射點(diǎn)）即得弦，而粒子在入射點(diǎn)或出射點(diǎn)的速度方向即為該圓弧的切線，可見
為了更準(zhǔn)確的反映它們的關(guān)系，定義：
φ──偏向角，即粒子沿偏轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)過(guò)的角度，反映在入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的速度方向上；
α──回旋角，即粒子經(jīng)過(guò)圓弧所對(duì)的圓心角；
β──弦切角，即粒子的速度與“弦”所成的角。
如圖1所示，易證：φ=α=2β。
二、化歸統(tǒng)一“圓運(yùn)動(dòng)”
（一）空間問(wèn)題
由表一可知，解決“圓運(yùn)動(dòng)”問(wèn)題，應(yīng)充分關(guān)注“速度”的方向和入射點(diǎn)與出射點(diǎn)，以明確“切線、弦”，從而確定“軌跡圓”。
1．典型的“切線、弦”類型
例1如圖2所示，在yxy平面并指向紙面外，磁感強(qiáng)度為B，一帶正電的粒子以速度v從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正方向的夾角為θ，若粒子射出磁場(chǎng)的位置與O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。
分析與解答帶正的電粒子射入磁場(chǎng)后，由于受洛倫茲力作用而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由左手定則可知，粒子沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)從x軸負(fù)半軸射出磁場(chǎng)。令出射點(diǎn)為M，則OM = L。由“切線、弦”可得圓心O’，如圖3所示。
由幾何關(guān)系易知，
又因?yàn)槁鍌惼澚μ峁┫蛐牧Γ?/p>
，所以，
由、解得
。
利用圓的切線、弦的性質(zhì)找準(zhǔn)圓心，確定“軌跡圓”是該題得以解決的關(guān)鍵所在。
2．已知入射方向及偏向角“φ”，可用“φ=2β”來(lái)補(bǔ)弦，從而將問(wèn)題化歸為“切線、弦”類型
例2如圖4所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于x軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于x軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑（重力忽略不計(jì)）。
分析與解答由于已知初速度與末速度的方向，可得偏向角φ=π/2。設(shè)粒子由M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，則由φ=2β可沿粒子偏轉(zhuǎn)方向β=π/4來(lái)補(bǔ)弦MN，如圖5所示。
由“切線、弦”可得圓心O1，從而畫軌跡弧MN。
顯然M、N為磁場(chǎng)邊界上兩點(diǎn)，而磁場(chǎng)又僅分布在一圓形區(qū)域內(nèi)。欲使磁場(chǎng)面積最小，則弦MN應(yīng)為磁場(chǎng)邊界所在圓的直徑（圖5中虛線圓），即得
，
由幾何知識(shí)，在中可知，
又因?yàn)椋?/p>
所以，這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑
。
運(yùn)用“φ=2β”來(lái)補(bǔ)弦，將此題化歸于“切線、弦”類型，順利得到粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，為觀察發(fā)現(xiàn)磁場(chǎng)區(qū)域之半徑與粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑的關(guān)系，使問(wèn)題得以解決創(chuàng)造了條件。
例3如圖6所示，在邊界為CD、EF的狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙而向里，磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾葹閐，電子以不同的速率v從邊界CD的S處沿垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，入射方向與CD的夾角為θ．已知電子的質(zhì)量為m，帶電量為e。為使電子能從另一邊界EF射出，電子的速率應(yīng)滿足什么條件？（不計(jì)重力）
分析與解答由，可知當(dāng)m、e、B一定時(shí)，速率v大則軌跡半徑R亦大。
設(shè)當(dāng)電子以速率v射入磁場(chǎng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與邊界EF相切，則有
且∠vSD即為偏向角φ，依據(jù)“φ=2β”做∠vSD的角平分線SM即得弦。
運(yùn)用“切線、弦”可得圓心O，從而畫出電子的軌跡（如圖7所示）。
由圖7，運(yùn)用幾何知識(shí)不難發(fā)現(xiàn)
由、解得
所以，為使電子能從EF邊界射出，電子的速率應(yīng)
。
有“切線、弦”的意識(shí)，發(fā)現(xiàn)隱含條件，抓住臨界專態(tài)，迅速而準(zhǔn)確的做出軌跡、圖形，是求解該題的關(guān)鍵。
㈡時(shí)間問(wèn)題
因?yàn)閹щ娏Ｗ釉诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由
，，可得?？梢娨鈳щ娏Ｗ釉诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問(wèn)題關(guān)鍵是抓住回旋角α。
1．抓住回旋角“α”，求解時(shí)間
例4在真空中半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相切，磁場(chǎng)B＝．3T垂直于紙面向里，在O處有一放射源S可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為的帶正電的粒子，已知粒子荷質(zhì)比為
，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t有多大？
分析與解答由可知，在v、一定時(shí)，若α最大則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就最長(zhǎng)，且其所對(duì)的弦也最長(zhǎng)。然而入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離即弦長(zhǎng)，所以粒子要在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，必定從O點(diǎn)進(jìn)，而從M點(diǎn)出（如圖8所示）。
又因?yàn)?/p>
由弦SM和半徑R可作出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。
由圖易知，
所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為
2．由“α=φ”，應(yīng)用偏向角φ求解時(shí)間
例5如圖9所示，一束電子（質(zhì)量為m，電量為e）以速度v沿水平方向由S點(diǎn)射入垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，而寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與豎直邊界成30°，則穿過(guò)磁場(chǎng)所用的時(shí)間是________________。
分析與解答直接應(yīng)用求解，則需要畫軌跡，工作量較大，且對(duì)于填空題而言，這屬于無(wú)用功。
因已知初速度和末速度的方向，易得偏向角φ，若應(yīng)用“α=φ”作為橋梁再應(yīng)用求解，則解題過(guò)程十分簡(jiǎn)單。
所以，。
3．由“α=2β”，應(yīng)用弦切角β求解時(shí)間
例6如圖10所示，在第Ⅰ象限內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一對(duì)正、負(fù)電子分別以相同速率，沿與x軸成30°角的方向從原點(diǎn)射入磁場(chǎng)，則正、負(fù)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為（）
A．B．C．D．
分析與解答由左手定則可知，正電子由原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)后沿逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)，而負(fù)電子則沿順時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)。所以，正、負(fù)電子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦切角分別為電子在O點(diǎn)的速度v與y軸正方向和與x軸正方向所成的角，即
，
由及α=2β可得，故選“B”。
如若由題條件知道弦切角β，利用“α=2β”求解帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題非常方便，連軌跡都不用畫，效率很高，特別適用于求解選擇題和填空題。
綜上所述，靈活應(yīng)用“φ=α=2β”可將帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的作圖問(wèn)題統(tǒng)一于“切線、弦”類型，而將運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問(wèn)題化歸于。這雖然不能解決所有的問(wèn)題，但對(duì)于基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生而言無(wú)疑是很有意義的，它可以一定程度上降低試題的難度，幫助學(xué)生更快的掌握此類習(xí)題的解法。
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