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通識課“音樂與數(shù)學(xué)”課堂照片

音樂與數(shù)學(xué)之間有什么關(guān)系？對于這個問題也許有人會回答：這兩件事情毫不相干，怎么會有關(guān)系；也有人會回答：音樂和數(shù)學(xué)好像的確有些相似的地方。但是更多的人也許從來就沒有想過這個問題。

司馬遷在《史記》中有如下文字：

從上面這些文字，應(yīng)該可以看出音樂與數(shù)學(xué)之間是有著某種密切聯(lián)系的。在上面引用的《史記》文字中，十二地支對應(yīng)的那12個數(shù)目字如果用現(xiàn)代符號表示，是一個由分?jǐn)?shù)構(gòu)成的序列

為什么音律會與這樣一些分?jǐn)?shù)有關(guān)呢？這些都是所謂“律學(xué)”(temperament)研究的內(nèi)容。事實上，歷代文人學(xué)者，專家教授對于這些文字和數(shù)字做了無數(shù)的考證、?？薄⒀芯磕酥翆嶒?，所涉及的領(lǐng)域包括了音律學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)等許多相關(guān)的學(xué)科領(lǐng)域。

近代以來的許多著名學(xué)者都認(rèn)為音樂與數(shù)學(xué)之間存在著密切的聯(lián)系。

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音樂追求和諧美。畢達哥拉斯大概是最早探究和諧奧秘的哲人之一。據(jù)說他路過鐵匠鋪，發(fā)現(xiàn)不同重量的鐵錘同時敲擊鐵砧時，發(fā)出的聲音有的好聽，有的不好聽。經(jīng)過反復(fù)仔細(xì)的觀察研究，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)當(dāng)鐵錘的重量之比為3:4時，敲擊鐵砧發(fā)出的聲音最和諧。這也成為畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)定音樂的協(xié)和來源于簡單的整數(shù)比的一個證據(jù)。當(dāng)然，后來的研究者多數(shù)認(rèn)為這只不過是一個傳說，畢竟鐵錘敲擊鐵砧發(fā)出聲音的頻率不是簡單地由其重量就能夠決定的。畢達哥拉斯的信念更多地來源于其哲學(xué)思考：聲音的和諧與天體運行的和諧一樣，都來源于數(shù)的和諧。下圖取自一本十六世紀(jì)的書，它直觀地描繪了古希臘哲學(xué)家對于宇宙的認(rèn)識。在測弦器（monochord，也譯作獨弦琴）上，弦的右側(cè)自下而上標(biāo)著兩個八度的音名A，B，...，G，a，b，...，g。而弦的左側(cè)自下而上地標(biāo)著“土、水、氣、火”四種元素以及月亮、水星、金星、太陽、木星、土星等天體。在弦的右側(cè)，虛線標(biāo)出了四度、 五度、八度、兩個八度等音程，而在弦的左側(cè)，虛線標(biāo)出了相應(yīng)的比例4:3、3:2、二倍、四倍等等。

統(tǒng)一天地萬物和諧的測弦器 (monochord)

畢達哥拉斯關(guān)于協(xié)和音程的簡單整數(shù)比是有科學(xué)根據(jù)的，但是在今天所謂“平均律”占主導(dǎo)地位的情形下，那些簡單的整數(shù)比通常都不復(fù)存在了。唯一繼續(xù)有效的是八度音程的頻率比。

命題1 假定一個音的頻率是f，則高八度的音的頻率等于2f。

畢達哥拉斯還認(rèn)識到了聲音與弦長之間關(guān)系的規(guī)律：取一段琴弦的一半所發(fā)出的聲音比整條琴弦所發(fā)出聲音高一倍。隨著科學(xué)的發(fā)展，到后來就有了更為精確的關(guān)于琴弦所發(fā)出聲音頻率的定理。

定理2（梅森定理）給定一根兩端被固定的均勻細(xì)弦，設(shè)其長度為L，線密度為ρ，受到的張力為T，則這根弦發(fā)出聲音的頻率等于

梅森

梅森定律可以通過解一維振動方程得到。設(shè)一根長度為L的均勻細(xì)弦被固定在水平軸上(0,0)和(L,0)之間。設(shè)弦的線密度為ρ，受到的張力為T。再設(shè)u(x,t)是弦上x處在時刻t的位移。令

因為弦的兩端（x=0,L）是固定的，所以u(x,t)還需要滿足邊值條件

最終得到方程的解是一個無窮級數(shù)

其中的a_n,b_n,θ_n都是常數(shù)。進一步，令ω=πc/L，則解的第一項等于

可見弦上的任意一點都依照正弦規(guī)律sin(ω₁t+θ₁)運動，其周期等于2π/ω₁，而其頻率f₁等于周期的倒數(shù)。回憶常數(shù)c滿足c²=T/ρ，即得

這就是著名的梅森定律。

進一步，振動方程的解u(x,t)是u_n(x,t)的無窮級數(shù)，這說明弦并非只在單一的頻率上振動，而是無數(shù)個正弦振動的疊加。對于n=1,2,...，正弦振動u_n(x,t)稱為這根弦的第n個振動模態(tài)(mode of vibration)，其振動頻率為

序列{f₁,f₂,f₃,...}稱為弦的固有頻率(natural  frequencies)。f₁稱為基頻(fundamental frequency)，相應(yīng)的聲音稱為基音(fundamental note)。而f_n(n>1)所對應(yīng)的聲音統(tǒng)稱為泛音(overtone)。顯然，泛音的頻率都是基頻的整數(shù)倍。在音樂上通常把固有頻率的序列

稱為泛音列。

振動是產(chǎn)生聲音的物理基礎(chǔ)。振動方程的解告訴我們，無論是樂器還是人的嗓子，發(fā)出的都不是單一頻率的聲音。事實上，方程解是一個傅里葉級數(shù)，其中每一項u_n(x, t)中的系數(shù)

有了泛音列的概念，就可以解釋為什么有些聲音同時出現(xiàn)聽上去和諧，有些卻覺得不和諧。假設(shè)兩個樂音的基頻分別f₁和f₂。現(xiàn)在我們知道，實際的樂音包含了各自的泛音列

當(dāng)?shù)诙€樂音比第一個高八度時，其基頻f₂=2f₁，故其泛音列實際等于

顯然這些泛音在第一個樂音的泛音列中都出現(xiàn)，即第二個泛音列是第一個的子列。在音樂效果上就是完全協(xié)和的。

如果第二個樂音比第一個高純五度，按照畢達哥拉斯的理想比例，它們的基頻應(yīng)該滿足

其中有一半的泛音在第一個泛音列中出現(xiàn)，即兩個泛音列有一半的項是重合的，聽上去的效果仍然是非常和諧的。

但是，如果第二個樂音比第一個高大二度，按照畢達哥拉斯的理論，第二個音的基頻須滿足

與第一個泛音列重合甚少，聽上去的效果就很不和諧。這就是赫爾姆霍茲提出的，關(guān)于音程是否協(xié)和的一種解釋：泛音列重合理論。

赫爾姆霍茲

需要指出的是，音程是否協(xié)和在很大程度上帶有主觀性。同一個音程，在不同的地區(qū)、不同的歷史時期，對于不同民族、不同文化背景的人群，引起的感覺可能是不同的。因此要給協(xié)和音程(consonant)和不協(xié)和音程(dissonant)下一個科學(xué)客觀的定義并不容易。正如欣德米特指出的：這兩個概念從未被完整地解釋過，而且在一千年里它們的定義總在變化。

現(xiàn)在大家通常見到的鋼琴有88個鍵。下圖引自This is your brain on music: the science of a human obsession。

鋼琴鍵盤及其對應(yīng)的頻率

從圖中可以清楚地看到，這88個鍵實際上是分成了七個組，每個組有7個白鍵和5個黑鍵，構(gòu)成一個八度；再加上最右端（最高音）的一個白鍵和最左端（最低音）二白一黑的三個鍵。鍵盤上標(biāo)出的字母C,D,E,F,G,A,B稱作音名，也就是樂音的名字，它們是固定的。而我們通常熟悉的do, re, mi, fa, so, la, xi稱為“唱名”。為了區(qū)分不同的八度，通常給音名添加下標(biāo)。鍵盤最左邊的鍵是A₀，它右邊的第一組白鍵分別為C₁,D₁,...,A₁,B₁。最右端的白鍵是C₈，它左邊的那一組白鍵從低到高分別為C₇,D₇,...,A₇,B₇?，F(xiàn)在的問題是：圖中每個鍵所對應(yīng)的頻率是如何確定的呢？這就是所謂“律學(xué)”要解決的問題。

其實無論是從實踐的角度，還是從數(shù)學(xué)家的思維來看，確定每個鍵發(fā)出的頻率（絕對音高）并不重要。重要的是確定同一個八度內(nèi)不同鍵發(fā)出聲音的振動頻率之比（相對音高）。試想三五好友一起放歌，通常都是一人起頭，眾人相隨。除非起歌的人受過良好的音樂訓(xùn)練，否則他起的那個音很可能根本不在鋼琴的88個鍵所發(fā)出的任何一個音上。然而大家卻能夠從這個音出發(fā)，順利地唱出整首歌來，因為只要后面的各個音相對音高正確，唱出來的歌聽上去就是對的。從數(shù)學(xué)上看，相差八度的兩個音，其頻率比是2:1，所以只需要確定了1到2之間的各個音的頻率比，就可以確定不同八度中各個音的相對頻率。然后再確定某一個音的絕對音高（例如著名的國際標(biāo)準(zhǔn)——“音樂會音高”A4=440Hz），其他所有的音高就都確定了。這個道理畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道了， 我們的古人也是明白的。

三分損益· 五度相生

用現(xiàn)代語言表述，就是首先將1乘以3，這樣反復(fù)做4次，得到3⁴=81，作為宮音的標(biāo)準(zhǔn)。然后先做“三分益一”，增加81的三分之一，得到108，對應(yīng)于徵音。下一步做“三分損一”，相當(dāng)于做108×2/3=72，得到商音。再做“三分益一”，得到羽音為72×4/3=96。最后再做“三分損一”，把96乘上2/3，得到角音的64。由于音高與弦長成反比，所以如果把這些數(shù)字看做是琴弦的長度，那么五音按照從低到高的次序排列應(yīng)該是

徵   羽   宮   商   角

108  96   81  72   64

考慮這五個音之間的比例。音程“徵—宮”的比例為81/108=3:4，符合純四度的簡單整數(shù)比。高八度的徵音應(yīng)該為108/2=54，宮音與它的比例為54/81=2:3，同樣符合純五度的簡單整數(shù)比。音程“宮—商”的比例為72/81=8:9，與大二度的比值相符。不僅如此，音程“徵—羽”和“商—角”的比例也都符合大二度的比值。但是，音程“宮—角”的比例是64/81≈0.79，與大三度的比例4:5=0.8有所不符。

畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)為音的協(xié)和來源于自然數(shù)的簡單比值。除了同度音程1:1和八度音程2:1之外，純五度音程對應(yīng)的比例3:2是最簡單的，因此就采用3:2作為生律的元素。假定音名C對應(yīng)的頻率為f，則其上方五度的G對應(yīng)的頻率應(yīng)為。而G上方五度音的頻率應(yīng)該是，超出了同一個八度。因此將其降低一個八度，得到音名D對應(yīng)的頻率為。然后繼續(xù)按照上面的做法，每次用3/2去乘；如果得到的數(shù)大于2，超出了同一個八度，就再多乘一個1/2，直到產(chǎn)生全部十二個音名。因為只需要考慮相對音高，所以我們可以省略掉具有絕對音高意義的頻率f，最終得到下圖

畢達哥拉斯五度相生

五度相生得到的各律，其五度音程的頻率比自然是理想的3:2，相應(yīng)的四度音程比例也肯定是理想的4:3。但是與三分損益法生成的十二律一樣。其大三度音程C—E的頻率之比為

大于理想比例5:4=1.25；相應(yīng)地，其大六度音程C—A，D—B的頻率之比都是27/16=1.6875，大于理想比例5:3。

不僅如此，在得到音級F之后，如果繼續(xù)考慮其上方純五度的頻率，

將其降低一個八度，得到這個音的頻率為

另一方面，F(xiàn)上方五度是高八度的C'，降低八度得到的應(yīng)該就是起始的音C。換言之，上式應(yīng)該等于1才對！這個略大于1的數(shù)就是著名的畢達哥拉斯音差(Pythagorean comma)。

嚴(yán)格地講，從?A出發(fā)做五度相生。得到的音級應(yīng)當(dāng)是?E，而非F。從?E出發(fā)做五度相生，得到的音級是?B，而非C。換言之，在五度相生律中，?E和F并不是等音的，?B和C也不是等音的！

純律· 中庸全音律

不論是中國古代的三分損益還是畢達哥拉斯的五度相生，得出的大三度和大六度音程的頻率比都不是簡單的整數(shù)比。另一方面，從文藝復(fù)興時期開始，西方音樂中越來越多地重視和使用三度和六度音程，于是人們逐步探索在五度相生法中添加一個生律元素：理想大三度的比例5:4，這就形成了純律 (just intonation)。根據(jù)八度比例2:1和純五度比例3:2和大三度比例5:4，直接可以得出純四度的比例4:3 和大六度的比例5:3，于是得到下圖中的結(jié)果。

純律中的三、四、五、六度音程

再根據(jù)純五度音程E—B和G—D'可以得出D和B的相對頻率，最終得到完整的純律。

純律各音級的相對頻率

純律的優(yōu)點在于，大三和弦C—E—G，F(xiàn)—A—C'，G—B—D'的頻率比都符合理想的4:5:6，比五度相生律更加悅耳。這在復(fù)調(diào)音樂 (polyphony)中尤為重要。

但是純律也有明顯的缺點。首先是五度音程D—A不協(xié)和，其比例為

不等于理想的 3:2 = 81/54。二者之間的誤差

稱為諧調(diào)音差 (syntonic comma)。更為嚴(yán)重的是，純律中有兩種不同的大二度（全音）：音程C—D，F(xiàn)—G, A—B的比例為9/8，而音程D—E, G—A的比例為10/9。這當(dāng)然是有問題的。

不論是音差的問題還是相同的音程頻率比不相等的問題，在有理數(shù)的范圍內(nèi)是無法解決的。另一方面，畢達哥拉斯學(xué)派所謂的“萬物皆數(shù)”僅僅是有理數(shù)。可見要從根本上解決調(diào)律問題需要擴充數(shù)系。中庸全音律就是取純律中兩種大二度音程比例9/8和10/9的幾何平均

作為其第一個生律元素。換言之，在律制中引入了無理數(shù)。然而要解決音差問題，光有一個

中庸全音律

與三分損益和純律相比，中庸全音律的一致性是比較好的，全音（大二度）音程的頻率比都是

這說明兩個小二度音程疊加起來并不等于一個大二度音程。在為鍵盤樂器調(diào)音時，其直接的后果就是無法很好地適應(yīng)樂曲轉(zhuǎn)調(diào)的需要。換言之，如果按照C大調(diào)調(diào)好了音，當(dāng)轉(zhuǎn)到D大調(diào)時就不準(zhǔn)了。音樂理論和實踐的不斷發(fā)展必將催生新的律制。

平均律

設(shè)一個八度之間有12個半音，相應(yīng)的音級分別對應(yīng)頻率

構(gòu)成一個等比數(shù)列，則其公比

如果令?C與C的頻率比等于

現(xiàn)在回到本節(jié)一開始時提出的問題，鋼琴上每個鍵的頻率是如何確定的。1939年5月國際標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)會(ISA)在倫敦召開會議， 正式確定

有了

本文節(jié)選自王杰教授文章《音樂與數(shù)學(xué)》

全文刊載于《數(shù)學(xué)文化》2020年第11卷第1期