史寧中教授多次談到，數(shù)學(xué)抽象之后，建立數(shù)學(xué)模型，然后解決問題，是數(shù)學(xué)化的一般方法。例如對于函數(shù)而言，常見的函數(shù)模型有一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、三角函數(shù)模型、數(shù)列函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)模型和綜合函數(shù)模型等.
再比如廣州市共享課堂初二的《最短路徑》這一節(jié)，總結(jié)的方法歸納如下：
所以模型不能去，也去不得！
但是高中和初中新課標(biāo)的數(shù)學(xué)建模，和初中常見的解題模型如“手拉手模型”、“倍長中線模型”，“旋轉(zhuǎn)模型”，“一線三等角模型”、“胡不歸模型”、“瓜豆原理模型”、“費馬點模型”……是不是同一個概念？
當(dāng)然，高中也有許多各種解題的二級結(jié)論，例如“同構(gòu)”、“對數(shù)平均不等式”、“極值點偏移”……這些是不是新課標(biāo)中的“數(shù)學(xué)建?！?？
許多“專家”詬病初高中的數(shù)學(xué)解題模型，認(rèn)為會禁錮學(xué)生的思維，但是他們在教二次函數(shù)模型解決實際問題的時候，卻不這樣說？
筆者認(rèn)為：建模 是為了能更快速和更準(zhǔn)確的找到解題思路，這比單純刷題有效。學(xué)生使用模型就一定要弄清楚模型背后的原理和使用模型的條件。中考高考去的是“思維定勢化的套路”，而不是簡單粗暴的把各種解題模型丟掉！
甚至，章建躍博士的多次講座中，“套路”也不是貶義詞。
例如在《數(shù)學(xué)知識的理解和教學(xué)》的講座中，他講到：
即研究幾何是有“基本套路的”！
不會這個套路，怎么能教好幾何？
當(dāng)然，研究其它數(shù)學(xué)知識，肯定也有相應(yīng)的“套路”……
包括廣州教研室伍老師的書中，也有專門的一個章節(jié)，
專門探討數(shù)學(xué)模型的教與學(xué)！
數(shù)學(xué)模型，是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)符號、語言或圖形，表示出研究對象的主要特征和關(guān)系的- -種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型既包所幾何圖形，也包含代數(shù)關(guān)系，還可以是-些固化的解題思路、步驟。模型解題的優(yōu)勢是通過建立模型，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，進(jìn)而找到有效解決向問題的方法。模型解題教學(xué)是引領(lǐng)學(xué)生深人學(xué)習(xí)的方法之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有較大的比重。
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 年版)》中指出，模型思想的建立是學(xué)生理解和體會數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。模型思想是數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)在初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的具體體現(xiàn)。近年來，在各地中考和模擬考試試題中,涌現(xiàn)出了大量由各類幾何模型演變和延伸而來的題目，這些題目雖然各不相同，但在解題的策略和方法上卻是相通的，往往可以利用幾何模型來求解。例如，常見的幾何模型，如“母子模型”“一線三等角模型”“90° 含半角模型”“隱圓模型”等，在解決問題時能夠起到關(guān)鍵性的作用。
“去套路”，“去模型”的教學(xué)，筆者認(rèn)為如下：
第一，實要求我們不要有眾多所謂模型套路專題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，而是按照“如何解決這個問題”去設(shè)計，如：“倍長中線”這個知識重點——解題思路，則教、學(xué)案設(shè)計的小專題可以為'與中點相關(guān)的…'，而非'倍長中線專題訓(xùn)練'（實際上此標(biāo)題已經(jīng)告知孩子思路）。又如隱形圓專題，教學(xué)案的標(biāo)題不能出現(xiàn)這個，否則學(xué)生一看就知道了，導(dǎo)致“隱圓不隱”！
第二，在問題解決教學(xué)中，最后可以提煉出模型，但是更加更高層面上要提煉出解決問題的通性通法、思想方法，避免讓學(xué)生浪費許多精力去記憶大量模型，在解題中識別模型和套用模型，因為許多原創(chuàng)的問題，實際上按照已有模型還不一定能解決（其實筆者發(fā)現(xiàn)，盡管出題者想回避模型或套路，但是非常難，因為研究的人多了，模型或套路就出來了，就像魯迅說的一樣，世界上本沒有路……），或者原創(chuàng)問題背景新鮮，學(xué)生不一定能識別出相應(yīng)的模型，或者根本不要去套這模型，直接去解決它更好！
第三，解題教學(xué)中，最關(guān)鍵的是，永遠(yuǎn)都不要從模型出發(fā)，而是從題目條件和結(jié)論出發(fā)，按照波利亞的四步解題法或套路（還是套路?。?，第一步，理解題意，第二步，形成解題思路……
同時注重重點知識的專項強(qiáng)化和變式拓展延伸等……
波利亞是大數(shù)學(xué)家，在成名之前，他曾是中學(xué)數(shù)學(xué)老師，學(xué)生當(dāng)中有馮·諾依曼。波利亞在數(shù)論上有諸多成就，但隨著時間流逝，最為人們記住的就是他寫的一本書：《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》。
這本書看似是一本數(shù)學(xué)方面的書，其實對于我們解決任何問題都有借鑒意義。
一、波利亞的四步解題法
第一步，徹底理解問題。
問題既不能太難也不能太簡單。你不要迎難而上，主動去找太難的問題，也不要隨遇而安，專找自己會做的問題。為了確保真正理解問題，你最好把問題用自己的話換成各種各種形式反復(fù)重新表達(dá)。
無論怎么重新表達(dá)，別忘了要提出問題的主干：要求解的是什么？已知什么？要滿足哪些條件？
第二步，形成解決思路。
這一步的關(guān)鍵是獲得好思路。你過往解決問題的經(jīng)驗、已經(jīng)掌握的知識，這些是思路的來源。你要問自己：有沒有解決過與當(dāng)前相關(guān)的問題？當(dāng)時用的辦法現(xiàn)在還能否適用？要不要做以及做哪些調(diào)整？
如果思路始終不肯降臨，你就試試改變這個問題的各個組件；已知、未知、條件，逐一替換，直到找到與之相似而你又解決過的問題。
第三步，執(zhí)行
獲得思路需要掌握知識、良好習(xí)慣、專注、還有運(yùn)氣，執(zhí)行它就相對簡單，主要是耐心。要反復(fù)提醒自己：每一步都要檢查。
檢查有兩種，一種是直覺，直覺是問你自己，這一步是不是一眼看去就是對的？一種是證明，證明是問你自己，能不能嚴(yán)格證明這步是對的？兩種檢查方式都有用，不過是兩回事。
第四步，總結(jié)
決不能解決完問題就了事，那就浪費了鞏固知識和提升技巧的機(jī)會。你再檢查一遍論證過程，嘗試用另外的方法解題，尋找更明快簡捷的方法，還要問，這次的解法能否用來解決其他問題？
總結(jié)是最好的啟發(fā)時刻。
二、解決問題的問題清單
與四步解題法相對應(yīng)的，有個完整的提問清單。即使你面對的不是數(shù)學(xué)題而是人生種種難題，四步解題法及問題清單也極有價值。它適用于無數(shù)其他情境，幫助每個人尋找各自問題的解決之道，不論它是什么問題。
1、在理解問題階段的問題清單是：
求解什么未知數(shù)？已知什么？條件是什么？條件充不充分？但凡能畫圖，一定要畫，把條件分解成各個部分，把問題用自己的話重新講，反復(fù)講。
2、在構(gòu)思解題思路階段的問題清單是：
以前有沒有見過相似或相關(guān)問題？以前用過的方法這次能否適用？不相似的地方是否需要引入輔助假設(shè)？條件有沒有用足？能不能構(gòu)造比現(xiàn)在更簡單一點點的問題，先解決簡單的？如果微調(diào)已知數(shù)、條件，甚至改變求解的未知數(shù)，能否找到解題線索？
3、在執(zhí)行解題思路階段的問題清單是：
每一步都檢查過了嗎？能看出來這一步是對的嗎？能證明這一步是對的嗎？
4、在回顧總結(jié)階段的問題清單是：
結(jié)果檢查了嗎？論證過程檢查了嗎？能否用另外的方法推出結(jié)果？能否將方法用于解決其他題目？
波利亞認(rèn)為，這些問題清單：
[if !supportLists]1) [endif]必須要系統(tǒng)、自然、明顯、符合常識，防止打斷形成思路的進(jìn)程；
[if !supportLists]2) [endif]必須要反復(fù)問，把它內(nèi)化成肌肉反應(yīng)；
[if !supportLists]3) [endif]必須要有一般性，不僅適用于眼下的問題，還能適用于所有情境；
[if !supportLists]4) [endif]必須要從一般性問題逐漸引到具體問題，激活思路，再回到一般性問題上來，如此反復(fù)迭代。
這樣才能為練習(xí)者指出思考的方向，同時又留下了足夠的努力空間。
這樣才能為練習(xí)者指出思考的方向，同時又留下了足夠的努力空間。
波利亞的四步解題法及提問清單應(yīng)用了啟發(fā)式學(xué)習(xí)法。啟發(fā)式學(xué)習(xí)起源于古希臘科學(xué)家阿基米德那句著名的eureka，意思是“找到了”，傳承至今。它不保證完美結(jié)果，看重實用性，是發(fā)現(xiàn)、解決問題并從中學(xué)習(xí)的經(jīng)典方法。
啟發(fā)式學(xué)習(xí)，簡單但不容易，本身不是秘訣，一看就懂，照方抓藥絕對管用，卻必須艱苦修煉才能有所成。
最后，中國的羅增儒教授，在解題教學(xué)和解題研究上，也有自己非常深入的研究，筆者一直深受影響，是真正“有用”的學(xué)問，非常值得我們學(xué)習(xí)、實踐和推廣。
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