物理學激發(fā)了公眾的好奇心，但許多人覺得數學令人望而生畏。然而，物理學中的許多核心思想源于簡單的原理，這些原理經過調整和修改，逐漸演變?yōu)槟軌蚋玫赜成湮锢憩F象的復雜形式化方法。
雖然許多物理學畢業(yè)生最終從事數據科學工作，但物理學中的數學見解能否為數據科學家提供啟發(fā)并豐富他們的知識呢？我認為答案是肯定的。盡管數據科學作為一個獨立的學科相對較新，但數據的收集和分析貫穿了物理學的歷史，例如約翰內斯·開普勒通過收集天文觀測數據推導出了行星運動定律。物理學和數據科學都從數據中提取模式，盡管數據科學通常處理的是統(tǒng)計模式，而物理學處理的是符合規(guī)律的或規(guī)范性的模式。理解基本定律可以幫助數據科學家在建模復雜系統(tǒng)和開發(fā)真實世界現象的模擬時取得更好的效果。
在本文中，我將探討支撐大部分物理學的三個數學思想：最小作用量原理、描述愛因斯坦狹義相對論中時間和空間變換的洛倫茲變換，以及支持廣義相對論（即將引力解釋為時空曲率的理論）數學基礎的度規(guī)張量。
最小作用量原理可能是整個物理學中最重要的原理，因為它貫穿了經典力學和量子力學。它提供了一個與牛頓發(fā)明的描述物理系統(tǒng)演化的經典運動方程等效但不同的表述。具體來說，它通過確定最小化一種稱為作用量的東西的路徑來描述物理系統(tǒng)在時間上的運動。作用量是一個泛函，即一個以函數為輸入的函數，它描述了系統(tǒng)在兩個點之間路徑變化的駐定性。
駐定性（也稱為極值性或停滯性）在物理學和數學中是指某個函數在某點附近不再繼續(xù)增大或減小，而是處于一個極值點（極大值或極小值）或駐點的性質。在這個點上，函數的一階導數（即斜率）為零，函數的值“停留”在某個穩(wěn)定的狀態(tài)。
函數：輸入數值，輸出數值
泛函：輸入函數，輸出數值
算子：輸入函數，輸出函數
理解作用量作為一個泛函，特別是作為對路徑變化進行評分的工具，是理解其背后概念的關鍵。下文的解釋將使這一點更加清晰。這一顯著結果將運動表達為在給定約束條件下的一種優(yōu)化函數。
洛倫茲變換描述了時間和空間坐標如何交織成一個統(tǒng)一的度量，從而使它們的測量能夠相對于慣性參照系中的觀察者成比例地變化，同時保持光速不變。這個形式化方法確保了光速在不同參照系中保持恒定，這與牛頓的假設相反，后者認為光速會相對于不變的空間和時間單位發(fā)生變化。在狹義相對論提出之前，光速的恒定性是一個與經典物理框架不相符的實驗觀察現象。
最后，我們解釋度規(guī)張量背后的數學思想，它描述了曲面上的長度或距離。度規(guī)張量是一個雙線性、對稱的恒等矩陣，它將平坦的歐幾里得空間中基于畢達哥拉斯定理的長度概念推廣到包括曲面在內的任何可能的空間。曲面被愛因斯坦用來描述在引力存在下時空的扭曲。你們可能非常熟悉歐幾里得距離和線性代數，因此理解度規(guī)張量背后的概念應該是一個自然而然的事情。由伯恩哈德·黎曼發(fā)展起來的度規(guī)張量構成了非歐幾里得幾何的基礎，奇妙地將長度的概念推廣到任何基礎幾何上。
最小作用量原理構成了物理學的核心。它包括了運動方程，并以數學形式表達了物理系統(tǒng)在時間上過渡的規(guī)則。
要開始理解這個原理，回想一下牛頓第二定律是如何通過三個輸入來計算粒子系統(tǒng)的軌跡的：粒子的質量、作用在系統(tǒng)上的力，以及初始位置和速度，并通過F=ma確定演化規(guī)則，其中m表示質量，a表示加速度。與牛頓的方法不同，最小作用量原理通過輸入初始和最終位置、質量和速度（以及根據系統(tǒng)的不同而不同的其他約束）來計算系統(tǒng)的軌跡，但省略了力的作用。它隨后選擇了最小化一種稱為作用量的數量的路徑。在我們解釋作用量的具體內容之前，我們需要理解牛頓方程的另一種表述，即拉格朗日量（Lagrangian）。
拉格朗日量L被計算為動能T與勢能V之間的差值，其中T由質量與速度平方的乘積除以2（2表示初始速度與最終速度之間的平均值）得出，而V則由物體的質量m、重力常數g和物體離地高度h的乘積得出（勢能的計算隨系統(tǒng)的不同而變化）。
其中：
m = 質量
v = 速度
g = 重力強度 9.8 m/s2
h = 高度
N = 粒子數量
k = 粒子標簽
為什么拉格朗日量是通過動能和勢能的差值計算出來的？因為當系統(tǒng)運動時，它將勢能轉化為動能，而兩者之間的差值捕捉到了這兩種能量之間的動態(tài)相互作用。相反地，重要的是要注意，總能量是通過這兩個值的和計算出來的。
拉格朗日量的輸入是位置 x 和速度 v。這是因為速度是位置的第一導數。
要計算拉格朗日量，我們至少需要知道速度、廣義坐標、位置和粒子的質量。勢能取決于粒子（或一組粒子）的位置，因為它描述了該粒子可能做的功，而動能取決于粒子的速度，因為它描述了粒子的運動。
在討論物理系統(tǒng)的軌跡或路徑時，作用量是如何成為一個關鍵概念的？想象在一條曲面上有兩個點，你需要找到最短的距離。這兩個點之間有許多路徑，但只有一條路徑表示最短距離。作用量類似于這個問題。為了找到系統(tǒng)的軌跡，我們需要選擇一條使作用量最小化的路徑。由此推論，作用量在系統(tǒng)演化過程中保持駐定。
由于作用量必須是駐定的，因此作用量的一階偏導數必須為零：
在高層次上，作用量通過拉格朗日量在給定時間區(qū)間[t_0, t_1]的路徑積分來描述。盡管從 t_0 到t_1的函數積分通常被理解為曲線下的面積，但拉格朗日量的路徑積分不應直觀地被視為面積，而應被視為泛函的積分。泛函是以另一個函數作為輸入并輸出標量的函數。輸入是拉格朗日量，輸出定義了作用量。在系統(tǒng)可以在t_0和t_1之間采取的許多路徑中，我們會發(fā)現它恰好選擇了最小化作用量的路徑。
以下是作用量作為拉格朗日量路徑積分的簡單公式：
現在，由于定積分可以通過函數f(x)輸出的y值與x的變化（表示為 Δx）的乘積的黎曼和來計算，當 k的區(qū)域分區(qū)趨于無窮大時，我們可以將作用量計算為拉格朗日量與時間導數 dt的乘積的黎曼和。換句話說，拉格朗日量的定積分可以通過在時間區(qū)間內最小化作用量來計算。
作用量由系統(tǒng)初始位置和最終位置之間的拉格朗日量路徑積分構成。這意味著路徑積分通過計算勢能和動能之間的差值來最小化作用量。微積分的基本定理允許我們將作用量計算為t_0和t_1 之間的連續(xù)區(qū)間，盡管它也可以在離散時間步長N中計算。如果我們將作用量想象為離散時間步長 N的總和，我們可以將其計算為拉格朗日量在每個時間步長的值與時間t值的乘積的總和。
拉格朗日量通常依賴于位置和速度，但也可以是時間相關的。如果拉格朗日量隨時間變化，即使其位置和速度保持不變，我們就說它是時間相關的。否則，拉格朗日量隱式地通過位置和速度的變化依賴于時間。對于時間無關的公式，我們將 L(x,x˙)代入方程，以表示其對位置和速度的依賴性：
現在，根據動量守恒定律，系統(tǒng)所有動量之和的導數等于零。換句話說，在一個孤立系統(tǒng)中，總動量始終是守恒的或保持不變的。常數的導數為零，因為變化率保持不變或相等。在牛頓力學中，第三運動定律表明，每一個作用都有一個相反且相等的反作用力，這表達了總動量的守恒。
同樣，能量守恒定律認為孤立系統(tǒng)的總能量在任何轉化過程中都是守恒的：總能量的時間導數為零。然而，與動量不同的是，能量有不同的形式。所有這些形式的總和是守恒的。用運動的術語來說，能量只有我們一直在討論的兩種形式：動能和勢能。
由于拉格朗日量定義為這兩種能量形式之間的差值，當拉格朗日量在時間平移下不變時，這意味著能量的守恒。
類似于能量守恒的情況也出現在作用量方面。在確定的軌跡中，自然選擇使作用量值最小的路徑。這種最小化類似于優(yōu)化問題中函數的最小化，只不過作用量代表了包括每個時刻所有坐標在內的多個變量。這種極值特性通過歐拉-拉格朗日方程表達出來，形成了運動方程。
什么是歐拉-拉格朗日方程？它們是描述系統(tǒng)如何從一個時刻移動到下一個時刻的微分方程。現在，我不會在這里推導這些方程，但直觀上，我們將作用量A相對于位置 dx的導數設為零。換句話說，我們考慮路徑中的微小變化，并要求作用量的偏導數為零。
這會產生歐拉-拉格朗日方程的兩個項：拉格朗日量對速度的偏導數的時間導數，以及拉格朗日量對位置的偏導數。分別代表動能（動量變化）和勢能的變化。將這兩個量之間的差值設為零，就得到了最小化作用量的歐拉-拉格朗日方程。
單個坐標或自由度下的歐拉-拉格朗日方程如下所示，其中 L表示拉格朗日量，x點表示速度，x 表示位置。
用自然語言描述，這個方程表示為：拉格朗日量對速度的偏導數的時間導數減去拉格朗日量對位置的偏導數等于零。直觀上，這可以重新表述為：拉格朗日量相對于速度的瞬時變化率的時間導數減去拉格朗日量相對于位置的瞬時變化率是駐定的。
進一步簡化，歐拉-拉格朗日方程意味著物理系統(tǒng)的運動對應于拉格朗日量積分（即作用量）的極值。
該方程可以推廣到任意坐標（x,y,z,…n）：
在具體情境中，作用量是一個泛函，也就是說，它是一個函數的函數，涉及從一個函數輸入（拉格朗日量）到標量輸出（作用量值）的映射。
盡管最小作用量原理能夠有效計算物理系統(tǒng)的軌跡，但它需要知道初始和終止位置。取而代之的是我們使用牛頓形式化方法，它要求知道粒子的位置和初始速度。
最小作用量原理可以在重要的限定條件下適應量子物理，其中考慮了初態(tài)和末態(tài)之間的所有可能路徑，并通過計算每條路徑的概率幅的總和來確定系統(tǒng)的概率演化。
根據這種表述，經典的最小作用量原理可以被認為是量子表述的一個特例，在所有路徑中，最小作用量路徑占主導地位。
理解洛倫茲變換是進入愛因斯坦狹義相對論的入口。它們構成了計算慣性或勻速參照系中的相對論時空變換的數學框架，即排除引力的參照系。
狹義相對論的核心概念是，運動只能相對于某個參照系來描述，而不能用絕對的方式來描述。例如，如果我在開車，相對于汽車來說我是靜止的，但相對于我的房子來說我是在移動的。
相對運動的概念存在于經典力學中，最早由伽利略描述。
狹義相對論中突破性的見解并不是相對運動本身，而是在空間平移過程中保持不變或恒定的內容。在經典力學中，所有運動都是無差別地相對的，而空間和時間的坐標僅以加法方式變化，同時對于所有觀察者來說都是靜止且相互獨立的。
經典力學中的相對運動假設意味著光的運動也應遵循相對論定律。換句話說，如果我站著不動并拿著手電筒，而你在開車并拿著手電筒，那么你手電筒發(fā)出的光的運動應被測量為光速與你的速度之和。
然而，實驗證據與這一假設相矛盾。實際上，無論參照系如何，光的速度都是恒定的。換句話說，實驗證據表明光速是絕對的。
愛因斯坦并沒有在觀察結果中尋找錯誤，而是將光速恒定性作為自然法則。如果光速始終測量相同，那么必須改變的是空間和時間坐標的表示方式。
要理解愛因斯坦的狹義相對論如何實現這一點，重要的是對經典力學描述的簡化運動方程有一個初步的理解。這些方程將被修改，以便觀察者之間的相對運動不會改變光速，而是改變空間和時間的交織度量。這帶來了一個奇特的結果：當速度接近光速極限時，時間和距離的測量會因觀察者不同而有所不同。
運動方程通常被簡化為SUVAT縮寫（s = 距離，u = 初始速度，v = 速度，a = 加速度，t = 時間）：
閔可夫斯基度規(guī)
為了使洛倫茲變換易于理解，我們將使用時空圖。這些圖反轉了距離和時間的坐標軸，時間表示為x軸，距離表示為y軸。此外，我們使用y軸表示大的距離區(qū)間，因為我們想解釋相對于光速的運動。光速為299,792,458 米/秒。在時空圖中，一秒鐘將對應于這個距離。這意味著圖中位于坐標軸之間45°角的直線表示光速在時間上的恒定性。實際上，笛卡爾坐標系中的對角線將代表光速的漸近極限，這將限制在y軸上時間的平移和在x軸上空間的平移。
在時空圖中，45°角的直線表示光速傳播。如果一條直線的角度小于45°，這表示該物體以低于光速的速度（亞光速）勻速運動。在牛頓經典力學的框架中，光速被視為和其他任何速度一樣，可以相對疊加或減去。因此，在牛頓的觀點中，直線角度大于45°的情況意味著該物體以超過光速的速度（超光速）運動。此外，牛頓的模型假設時間和空間的單位是不變的，即無論參照系如何變化，這些單位始終保持恒定。因此，如果以半光速朝著光的方向運動，從你的參照系來看，光速會減少一半，因為你認為自己在追趕光。然而，狹義相對論證明這種理解是錯誤的，光速在所有參照系中都是恒定的，不會因觀察者的速度而改變。
從將空間和時間視為獨立測量到將它們整合為稱為時空的連續(xù)體，這一飛躍涉及將時間變量轉化為距離的測量。我們通過將時間變量與光速常數c 進行加權來實現這一點。當我們將c 乘以t 時，得到 ct，它測量的是1光秒。
在牛頓-伽利略的框架中，兩個參照系S和S'分別由坐標(x, t)和(x',t')給出，其中撇號符號用于區(qū)分兩個相對的參照系（并不表示微分或導數）。這些參照系是可逆的，且在伽利略相對論中它們的逆是等價的。從S的參照系來看，S'的坐標（位置和時間）分別由x' = (x-vt)和t' = (t- vx/c2)給出。同樣地，從S'的參照系來看，S的坐標由x = (x' + vt')和t = (t+vx/c2)給出。然而，這些轉換最終使光相對化，而不是時空。那么，問題來了，我們如何從S →S' 進行轉換，以便在保留 c（光速）的同時，按比例縮放時間和距離變量（更準確地說，時空連續(xù)體）？
一種推導這些轉換的方法是使用我們上面介紹的時空圖，其中我們通過常數 c對時間進行了縮放。我們正在尋找的轉換可以表示如下：
事實上，我們將利用參照系之間的對稱性或等價性來推導出伽瑪因子作為相對參照系之間時空轉換的共同縮放因子，以反映光速恒定性。下圖展示了這種相對運動的伽利略對稱性，表達了我們引入的兩個參照系作為彼此的逆：
參照系之間的可逆對稱性。
由于光速在所有參照系中都是恒定的，如果從兩個參照系的原點開始（x = 0 和 t = 0），光的路徑將滿足以下方程（回想一下，45°的對角線表示光速，其中一個時間單位對應于光在一個距離單位內的傳播距離）：
從x到x'的轉換由以下方程給出，其中x'只是x與速度和時間的乘積之差?，F在，為了推導洛倫茲變換，我們需要某個因子來縮放時空變換。因子等于v/c——即速度與光速的比值——并用于縮放ct。如果展開表達式，會發(fā)現它在代數上簡化為括號內的牛頓變換。正如我們將看到的，當洛倫茲因子接近1時，洛倫茲變換就會等同于它們的牛頓對應物，這與我們日常所理解的事件的同時性相對應。以下公式展示了我們如何從初始公式推導出伽瑪縮放的相對位置轉換公式：
同樣，我們可以通過以下方程推導出從t到t'的時間變換。由于使用的是時空圖，我們從ct'開始。我們看到ct'可以通過ct和縮放x的差來計算，整個表達式再由洛倫茲因子縮放。通過展開表達式代數求解t'，這將t'的解簡化為t-vx/c2，并乘以：
當速度非常小時，vx/c2簡化為0，簡化為1，結果為t'=t。這一結果與我們日常的牛頓經驗相對應，即我在靜止狀態(tài)下的1秒鐘大致等于你相對于我以恒定速度運動時的1秒鐘。
正如你可能注意到的，x'的轉換涉及ct作為一個項，而t'的轉換涉及x作為一個項。通過將它們作為彼此參照系變換中的項，時間和空間變得交織在一起，形成一個互相依賴的連續(xù)體，其中一個變量的單位變化對應于另一個變量的單位變化。這種相互關系將解釋由洛倫茲變換描述的時間膨脹和空間收縮的比例關系。
我們如何確定洛倫茲因子的值？一種方法是將轉換方程相乘并求解共同因子。記住，由于我們之前引入的等式，我們可以分別用ct和ct'替換x和x'。這將使我們能夠消去相同的項并求解：
現在我們可以通過以下替換表達x'參照系：
并且可以通過以下替換表達t'參照系：
在每個方程中，當速度v接近光速時，v2/c2接近1，分母的值接近√0。我們從E=mc2知道，具有靜止質量的物體原則上不可能被加速到等于光速。因此，分母的值不可能物理上等于0。
另一方面，當速度很小，v2/c2是一個非常小的數值時，分母的值接近1。當分母（稱為洛倫茲因子）等于1或接近1時，洛倫茲因子變得無足輕重，方程近似為牛頓運動方程。也就是說，運動方程由分子給出，簡化為牛頓的運動方程。
洛倫茲因子是理解洛倫茲變換的關鍵。如果你回想伽利略相對論，慣性參照系的互換性是通過旋轉實現的。旋轉由三角函數描述，三角函數保持歐幾里得距離不變。具體來說，旋轉保持半徑不變。這意味著長度單位在轉換過程中保持恒定。
類似地，洛倫茲變換保持了時空度規(guī)不變。與歐幾里得度規(guī)不同，時空度規(guī)使所有的時空變換相對于光速這一絕對值變得相對。因此，光速形成了洛倫茲變換所趨近但無法等同的漸近線。漸近線由穿過兩個坐標軸的對角線構成。由于時空變換的范圍既是無限的，同時又漸近于對角線，因此它們由雙曲函數或旋轉來描述。雙曲旋轉是類似于三角函數的函數，但使用的是雙曲線而不是圓。與有限的圓不同，雙曲旋轉可以擴展到無限的范圍。它們與三角函數對應的函數可以被描述為對特殊數e（2.718）的指數運算，其中sin(x)的類似物表示為sinh(x)，cos(x)的類似物表示為cosh(x)，它們分別由以下函數描述：
就像在單位圓中(sin x, cos x)描述其點一樣，(cosh x, sinh x)形成單位雙曲線的右半部分。在狹義相對論的背景下，雙曲旋轉的角度被稱為“迅速性”（rapidity），用符號eta 表示。以下是與我們之前推導出的洛倫茲變換等效的雙曲旋轉：
洛倫茲因子與雙曲旋轉迅速性之間的關系如下：
如果伽利略旋轉保持半徑或歐幾里得距離不變，那么洛倫茲變換保持什么不變？它們保持閔可夫斯基度量不變，由以下等式給出，這與歐幾里得距離類似：
由于實際的洛倫茲變換發(fā)生在四維空間中，1個時間維度和3個空間維度，或者說4個時空維度，四維閔可夫斯基區(qū)間由以下方程給出：
下面的GIF圖展示了這些雙曲變換作為二維時空扭曲，隨著速度接近光速而逐漸趨近對角線漸近線。網格上的扭曲表示由于觀察者的相對速度導致的時空度量的扭曲。隨著速度接近光速極限，空間（水平軸的雙曲線）收縮，時間（垂直軸的雙曲線）膨脹。這些交織在一起的變換保持了閔可夫斯基度規(guī)s2的恒定，比例縮放這些變換以抵消光速的不變性。
空間收縮與時間膨脹可以在靜止觀察者和以勻速或慣性速度移動的觀察者之間反轉。如果你相對于一個靜止的人以接近光速的勻速運動，同樣可以描述你為靜止，而對方則是以接近光速運動。
狹義相對論中的洛倫茲變換發(fā)生在平坦的偽歐幾里得空間中。什么是平坦空間？它是一種幾何結構，其中點之間的度量或距離測量是恒定的。最著名的平坦空間度規(guī)是由畢達哥拉斯定理定義的。另一個平坦度規(guī)包括我們上面討論的閔可夫斯基時空度規(guī)。
歐幾里得度規(guī)將兩點之間的距離定義為直角三角形最短邊的平方和的平方根。這源于畢達哥拉斯定理：a2 + b2 = c2。
從幾何學上講，歐幾里得兩點間的距離是每個坐標（x,y）之間平方差的和的平方根。
畢達哥拉斯定理可以推廣到n維空間：
因此，我們可以用下面的公式表達三維空間中的歐幾里得距離：
然而，這種推廣保留了歐幾里得平坦空間作為距離屬性。換句話說，度量保持恒定。
為了理解度量張量，我們需要學會將畢達哥拉斯定理視為平坦或歐幾里得空間的特例。
換句話說，我們需要定義一個中立空間，使得由畢達哥拉斯定理定義的歐幾里得距離可以作為特例推導出來。
在做到這一點之前，必須問為什么在畢達哥拉斯定理中坐標差是平方的？這可以通過多種方式解釋，但一種直觀的解釋是幾何學上的。它們是平方的，因為這產生了等長的幾何面積，考慮到面積是長度和寬度的乘積，這使我們能夠將斜邊計算為直角邊平方和的平方根。這個答案由克羅內克δ定義的度量張量給出，如果i=j則輸出1，如果i≠j則輸出0。
然而，我們也可以通過空間的廣義度規(guī)來演示這個結果，其中度規(guī)張量由切空間上的平滑變化的內積組成。
什么是切空間？切空間是切于流形上一點的所有向量的集合。
該方程的一般形式如下，其中g代表度規(guī)張量，μv是每個坐標項的度量張量值的索引，dX表示每個坐標的微小位移：
根據上述方程，我們可以用以下求和公式表示二維空間中兩點之間的平方距離：
在上面的公式中，g系數旁邊的零和一以及x變量表示索引。具體來說，它們表示的是0和1的排列矩陣，即：01, 00, 11, 10。
dx?和dx1系數表示兩個不同坐標的微小位移，其中0和1表示索引。每個坐標的位移乘積與相應的度量張量g的值相乘。
因此，在上述公式中，g代表每個索引的度規(guī)張量的系數。為什么上面的公式有四項？因為兩點由四個坐標或標量值描述。在歐幾里得幾何中，隱含的基向量是切向量(0,1)和(1,0)。這些切向量跨越了整個歐幾里得空間?，F在g定義了向量空間中任一點處的切向量之間的內積。g的值通過所有可能的基向量組合的內積獲得。
當系數值表示兩點之間的正交關系時，g的值簡化為單位矩陣：
在二維空間或兩坐標系統(tǒng)中，我們可以將歐幾里得距離表示為度規(guī)張量和各坐標之間距離平方的向量的乘積。因為在平坦歐幾里得空間中直角的度規(guī)張量是單位矩陣，兩點之間的平方距離簡化為如下所示的畢達哥拉斯定理：
上面的公式也可以表示為我們第一個公式中表達的線性加權組合：
歐幾里得距離作為帶有g值的線性加權和。
如上所示，當g=0時，我們可以消除后兩項，將方程簡化為歐幾里得距離。因此，我們已經解釋了度規(guī)張量的廣義形式如何暗示歐幾里得距離作為一個特殊或極限情況。
當最短距離不能通過歐幾里得距離表示時會怎樣？在日常直覺中，我們假設相對和相鄰線段的長度存在直角，以便滿足作為斜邊距離測量的畢達哥拉斯定理。在線性代數中，這相當于假設正交基作為空間的度量。基定義為跨越該向量空間的線性獨立向量集。正交基是垂直的單位向量或內積為零的單位向量。
但這種先驗假設在經驗上可能是站不住腳的。事實上，底層幾何可能以不同方式彎曲或傾斜。如果是這樣，我們如何表示兩點之間的最短距離？為了定義非歐幾里得空間，我們?yōu)槎攘窟x擇了不同的基向量。這些基向量的排列空間的內積將輸出度規(guī)張量，該張量通過兩點任何微小位移的線性組合定義該度量中的距離和角度，公式如下：
廣義黎曼距離
現在，讓我們看一個使用極坐標（r, θ）的例子，其中r表示半徑，θ表示角度。g度規(guī)張量通過排列空間（r, θ）的內積得到，如下所示：
如果我們考慮歐幾里得極坐標，度規(guī)張量將表現為下面的矩陣：
極坐標的度量張量的具體實例
這是因為距離是通過以下方式計算的：
現在，兩點 (r11) 和 r22) 之間的距離可以通過計算r2-r1和2-1的距離，并將它們代入下面的公式得到：
到目前為止，所有例子都在二維空間中。當然，我們可以將相同的思想擴展到三維或N維空間。三維空間的度規(guī)張量將是一個3x3的矩陣，以此類推。
理解度規(guī)張量是理解廣義相對論和愛因斯坦場方程的重要一步。
在廣義相對論中，愛因斯坦的場方程使用度規(guī)張量來描述時空的曲率幾何。
具體來說，愛因斯坦的場方程使用了三個張量：1）愛因斯坦張量G，它通過度規(guī)張量的導數描述時空的曲率，2）能量-應力張量T，它描述了宇宙中物質和能量的分布，3）度規(guī)張量g，它定義了曲率幾何中長度和角度的測量。愛因斯坦的場方程通常由以下方程總結：
在廣義相對論中，度量張量由一個4x4的矩陣組成，包含16個分量。正如我們二維示例中的情況一樣，度量張量由所有維度的排列空間組成，在這個例子中，包含了3個空間維度和1個時間維度，共同形成了4維時空。然而，由于矩陣本質上是對稱的，因此只有10個分量是彼此獨立的。
度規(guī)張量的通用形式如下所示：
度規(guī)張量的值隨時空的曲率而變化，因為它們編碼了質量-能量的分布。因此，與在所有變換中保持長度恒定的歐幾里得距離不同，曲率幾何并不是這樣。這就是為什么度量張量是理解廣義相對論的關鍵方面。
現在你已經了解了這些概念，或許你會對物理學中的復雜思想和數學形式主義感到不那么畏懼了！
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