嚴(yán)格性是怎樣被介紹到數(shù)學(xué)分析里面的？這是一個復(fù)雜的問題，因為數(shù)學(xué)的實踐已經(jīng)有了相當(dāng)大的變化，特別是在從微積分的創(chuàng)立到20世紀(jì)初期這一段時間里，雖然在一定意義下，對于什么是正確的合邏輯的論據(jù)，基本的判據(jù)并沒有變，但是，需要我們做這種論證的環(huán)境，甚至在一定程度上，做這種論證的目的，卻在隨時間而改變。1700年代，與約翰·伯努利和丹尼爾·伯努利、歐拉和拉格朗日這些人相關(guān)的數(shù)學(xué)分析，其方法的缺少基礎(chǔ)的清晰性，在以后的時期中，招來了批評也得到了彌補。到1910年左右，對于如何使得數(shù)學(xué)分析中的論證嚴(yán)格已經(jīng)出現(xiàn)了一般的共識。
數(shù)學(xué)所包含的不僅有計算技巧，還有描述幾何對象的重要特性的方法和世界現(xiàn)象的模型等等。所有做數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)家，都受到過如何得出嚴(yán)格的論證來論證自己的結(jié)論的訓(xùn)練。這些結(jié)論通常表述為定理，也就是關(guān)于一些事實的命題，同時也關(guān)心對這些命題作論證，即證明定理為真。
下面是一個簡單的例子：每一個正整數(shù)，若能被6整除，也必能被2整除。沿著6的倍數(shù)的表往下看：{6，12，18，24……}，就可以看到，其中每一個數(shù)都是偶數(shù)，這使得很容易就會相信這個命題。關(guān)于這個命題的一個可能的論證如下：因為6可以被2整除，所以，每一個可以被6整除的數(shù)，必定可以被2整除。
這樣一個論證算不算一個徹底的證明，讀者可以各有看法。因為看到這個論證以后，可以提出這樣的問題即，這是否總是真的：如果 a，b，c是三個正整數(shù)，而且 c 可以被b整除，b可以被a整除，則c也一定可以被a整除嗎？到底什么是整除性。什么是整數(shù)？數(shù)學(xué)家處理這些問題的辦法是：對概念作精確的定義，把這些定義的基礎(chǔ)放在數(shù)量有點少的未定義的名詞上。例如可以定義，所謂數(shù)n可以被數(shù)m整除，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個整數(shù)q，使得qm=n。利用這個定義可以給出一個更精確的證明：若n可被6整除，則對某個q有n=6q，從而n=2（3q），這就證明了n可以被2整除。這樣，可利用整除性的定義來證明，只要被6整除的定義成立，則可以被2整除的定義也成立。
從歷史來看，數(shù)學(xué)家們會滿足于不同水平的嚴(yán)格性。數(shù)學(xué)的結(jié)果和方法時常已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用，而沒有如剛才概述地那樣完全的論證，特別是那些新的快速發(fā)展著的數(shù)學(xué)思想的總體是這樣。在有些古代文化中，例如在埃及文化中，已經(jīng)有了乘法和除法的方法，但是這些方法的論證則從未流傳下來，而且特別可能的是這種形式論證并沒有存在過。很可能是，這些方法被接受，只是因為它們管用，而不是因為它們有徹底的論證。
到了17世紀(jì)中期，歐洲從事研究的數(shù)學(xué)作者，都很熟悉由歐幾里得的《幾何原本》所提供的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證的范本了。那是一種演繹的，或者說是綜合的論證方法，是一種更加幾何化的論證方法。雖然按照今天的標(biāo)準(zhǔn)來看，歐幾里得的論據(jù)、假設(shè)和定義并不完全嚴(yán)格，但基本的思想是清楚的：從清楚的定義和所公認(rèn)的基本思想出發(fā)來一步一步地導(dǎo)出定理（或稱命題），而不引入任何外加的東西。這種幾何論證的經(jīng)典模型，廣泛地用于對于數(shù)論、解析幾何和力學(xué)的推理。
本文討論的是分析中的嚴(yán)格性。分析一詞的意義是一直在變化著的。它本來有古老的來源，而到1600年左右，這個詞指的就是利用未知量（現(xiàn)在會寫成x的東西）來進(jìn)行計算或者求長度這一類的數(shù)學(xué)。換言之，它與代數(shù)有密切的關(guān)系，雖然這個概念被笛卡兒等人輸入到幾何學(xué)里去了。然而在18世紀(jì)的進(jìn)程中，這個詞變得與微積分有關(guān)了，而微積分成了分析技巧的應(yīng)用的主要用武之地。當(dāng)談分析中的嚴(yán)格性時，主要就是討論與微分學(xué)和積分學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性。在17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲為微分學(xué)和積分學(xué)制定了對立的方法，他們就這樣把相當(dāng)數(shù)量的早前這兩個方面的工作綜合了、推廣了，這兩個方面就是關(guān)于曲線的切線和法線，還有曲線所包圍的區(qū)域的面積。這些技巧非常成功，于是很快地就被推廣到各個方向，最值得注意的是力學(xué)和微分方程。
這項研究的共同的關(guān)鍵特點是無窮量的使用，在某種意義下，這里涉及制定一個方法來把無窮多個無窮小的量合并，以得到有限的答案。例如，設(shè)把一個圓周作（數(shù)量很大的）等分，就是標(biāo)記出許多等距離的點，然后把這些點連接起來，并與圓心連接，成為許多三角形。這些三角形的面積之和就逼近了圓的面積，而分點用得越多，逼近就越好。讓我們想象有無窮多個這樣內(nèi)接的三角形，每一個的面積都"無限的小"。但是因為總體涉及把無窮多個無窮小加起來，還是有可能得到有限的正的總量。這里涉及的無窮的量是“真正的”無窮小，還是只不過是“潛在的”無窮小0？如果有什么東西是真正的無窮小，那它是不是就是零呢？亞里士多德學(xué)派的作者一直害怕真正的無窮小，這方面的抱怨在那時是很普遍的。
牛頓、萊布尼茲和他們的追隨者們提出了一些數(shù)學(xué)論據(jù)來證明這些做法的合理性，然而引入技巧的推理是關(guān)于無窮小的對象、極限過程、無窮和等等，這就意味著微積分的創(chuàng)造者們在他們的推理中是在開辟新的基礎(chǔ)，而由于所用的名詞意義含混，由于在作出一個結(jié)論的同時，似乎也完全能夠得到其他的結(jié)論，這些推論的可理解性時?！搬пЭ晌！薄Ｋ麄冇懻摰膶ο蟀o窮?。幢戎苯咏?jīng)驗過的量無窮地小的量）、消失著的量的比（即形如0/0的分?jǐn)?shù)，或者趨近于這種分?jǐn)?shù)）、無限多個正量的有限和。特別是泰勒級數(shù)表示，引起了許多這類問題。所謂泰勒級數(shù)就是：一個函數(shù)可以這樣寫成一個級數(shù)，使得如果把這個級數(shù)就看成是函數(shù)時，在給定的點x=a處它會給出相同的值、相同的變率（即一階導(dǎo)數(shù)）、相同的任意階高階導(dǎo)數(shù)：
例如，
早期的論證中還有一個問題，就是對于所討論的名詞，不同的作者有不同的用法。從這種缺乏清晰性還產(chǎn)生了其他問題，因為它掩蓋了許多問題?？赡芷渲凶钪匾氖且粋€論據(jù)在某個情況下失效，而很類似的論據(jù)在另一個情況下又完全能行。到了一定的時候，在把分析加以推廣時就會出大問題。分析在最終還是變得完全嚴(yán)格了，這些困難都解決了，但是這個過程很漫長，一直到20世紀(jì)初才完成。
下面是這種在最開始的時候就出現(xiàn)的困難的例子，這是萊布尼茲的一個結(jié)果。設(shè)有兩個變量u和v，而當(dāng)另一個變量x在變化時，它們每一個都在變。記x的無窮小變化為dx，即x的微分。微分是一個無窮小量，看成一個幾何量，例如看成長度。想象把它與其他的量按通常的方式或組合或比較（因為兩個長度可以相加，可以有比等等）。當(dāng)x變成x+dx時，令u和v分別變成u＋du和v＋dv。萊布尼茲做出了這樣的結(jié)論：uv將要變成
所以
他的論據(jù)粗略地說是這樣的：
把右方按照正規(guī)的代數(shù)展開、化簡，會給出
但是dudv這一項是二階無窮小，比起一階無窮小來說是消失的小（vanishingly small），用現(xiàn)代語言來說就是高階無窮小，所以可以作為0來處理。這里的問題有一個側(cè)面，就是在處理無窮小時出現(xiàn)了不相容的情況。再例如，如果想求出y=x^2的導(dǎo)數(shù)，這里的計算正相應(yīng)于上面的計算（把（x＋dx）^2展開等），得到dy/dx=2x＋dx。然后，把右邊的dx當(dāng)作0來處理，而左邊的dx又似乎是看作無窮小的非零量，因為不然就不能用它來作除數(shù)。所以，它是零還是非零？如果不是，又怎么繞過這里的明顯的不相容性？
在稍微更加技術(shù)性的層次上，微積分要求數(shù)學(xué)家一再地處理：當(dāng)分子和分母都趨近0甚或真正為0時，形如dy/dx的比的"最終值"問題。在我們的陳述里，又一次使用了萊布尼茲的微分記號，雖然對于牛頓也發(fā)生了同樣的問題，不過記號與概念上稍有區(qū)別。當(dāng)牛頓講到變量時，他總認(rèn)為變量是依賴于時間的，例如他力求考慮在消逝（evanescent）的量——就是消失地小的增量下所趨近的值。一組無法消除的混淆正是來自這樣一個思想，即變量是處在變化過程中，不論是隨時間變化或者隨其他變量而變化。這就是說，我們考慮的是趨近一個給定的值的變量所取的值，但對于究竟什么叫"趨近"又沒有一個清晰的概念。
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