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引用格式：李華，胡典順．基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架的試卷測(cè)評(píng)研究——以2019年高考全國卷為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（2）：18–23．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)；高考試卷；命題建議
中圖分類號(hào)：G424.74  文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A  文章編號(hào)：1004–9894（2020）02–0018–06

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的^[1]．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2017版課標(biāo)”）中提出六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析．為了落實(shí)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的目標(biāo)，新課改優(yōu)化了課程結(jié)構(gòu)，強(qiáng)調(diào)以“主線—主題—核心內(nèi)容”為結(jié)構(gòu)的教學(xué)內(nèi)容，制定了基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)業(yè)水平，給出以核心素養(yǎng)為重要考查目標(biāo)的學(xué)業(yè)水平考試與高考命題建議．

2013年教育部成立專項(xiàng)調(diào)研組，對(duì)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的實(shí)施情況進(jìn)行了調(diào)研工作，反映了課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容與考試命題的脫節(jié)現(xiàn)象^[2]．這一現(xiàn)象在一定程度上反映出關(guān)于命題研究的教學(xué)評(píng)價(jià)工作做得不夠充分．為了使新課標(biāo)中所提倡的“六大核心素養(yǎng)”能夠切實(shí)扎根教學(xué)實(shí)踐，深度融入考試命題，基于核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架的試題測(cè)評(píng)工作成了研究的重點(diǎn)方向．

近年來，一部分研究者從定性分析的角度進(jìn)行了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)研究工作．比如，張惠英^[3]和姜鵬^[4]采用定性分析的方法，從六大核心素養(yǎng)的角度分析了中考試題的命題特點(diǎn)與學(xué)生答題情況；何萍等^[5]選取6道中考試題，定性地分析了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查情況，并給出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)與評(píng)價(jià)現(xiàn)狀的建議．一些學(xué)者建立了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，并從定量分析的角度開展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)研究工作．比如，董林偉等^[6]建立了初中核心素養(yǎng)三級(jí)指標(biāo)體系，并利用試卷測(cè)評(píng)了初二學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)顩r；朱婭梅等^[7]建立了小學(xué)、初中、高中的基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的大規(guī)模數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試框架，并利用AMOS結(jié)構(gòu)方程模型對(duì)測(cè)試框架進(jìn)行了驗(yàn)證性因素分析．李作濱^[8]通過定量分析方法研究了2018年高考試卷核心素養(yǎng)考查權(quán)重，統(tǒng)計(jì)了不同核心素養(yǎng)考查權(quán)重，分析了高考命題特點(diǎn)；朱先東等^[9]采用多元統(tǒng)計(jì)分析的方式研究了2017年浙江省中考試卷中核心素養(yǎng)的考查情況，但分析結(jié)果可以繼續(xù)完善．這里將結(jié)合文獻(xiàn)[10]提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架，將李作濱、朱先東等的工作做進(jìn)一步研究、改進(jìn)，基于多元統(tǒng)計(jì)方法對(duì)2019年高考全國卷進(jìn)行定性和定量分析，并給出試卷命題建議．

要研究高考命題試卷中對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)狀況，就需要有一套科學(xué)、合理的核心素養(yǎng)形成水平劃分標(biāo)準(zhǔn)．喻平提出了一種基于知識(shí)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分標(biāo)準(zhǔn)，將知識(shí)學(xué)習(xí)分為3個(gè)水平，依次為：知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新．

知識(shí)的理解包含兩層含義，一是指對(duì)知識(shí)的本質(zhì)、類屬以及與其它知識(shí)之間的種種聯(lián)系的理解；二是指基本技能的形成與發(fā)展^[10]．也可以解釋說，知識(shí)理解是指對(duì)知識(shí)意義、內(nèi)涵、知識(shí)間邏輯關(guān)系的理解，在知識(shí)的應(yīng)用中體會(huì)和感悟數(shù)學(xué)方法，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)知，并逐步形成數(shù)學(xué)基本技能．

知識(shí)的遷移是指學(xué)習(xí)者把理解的知識(shí)、形成的基本技能遷移到不同的情景中去，促進(jìn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)或解決不同情境中的問題^[10]．應(yīng)該注意到，知識(shí)的遷移是知識(shí)的綜合應(yīng)用，是比知識(shí)理解更高一層次的水平，它是學(xué)生將多種知識(shí)本質(zhì)、類屬、邏輯聯(lián)系、方法遷移到新的情境中，解決數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)問題．

知識(shí)的創(chuàng)新是指學(xué)習(xí)者能夠解決一些非常規(guī)的開放性問題；或者生成超越教材規(guī)定內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)；或者對(duì)問題進(jìn)行推廣與變式得到一個(gè)新的問題^[10]．知識(shí)的創(chuàng)新是新課標(biāo)中“四能”的體現(xiàn)，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，在這個(gè)過程中蘊(yùn)含著豐富的學(xué)科思想與方法．

下面構(gòu)建結(jié)構(gòu)性數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育評(píng)價(jià)表，主要包括評(píng)價(jià)指標(biāo)體系、指標(biāo)權(quán)重及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的構(gòu)建3個(gè)方面．

2017版課標(biāo)中提出六大核心素養(yǎng)，按照喻平提出的核心素養(yǎng)劃分標(biāo)準(zhǔn)將6個(gè)核心素養(yǎng)劃分為18個(gè)水平層次，創(chuàng)建如下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系表（見表1）．

表1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系

注：六大核心素養(yǎng)的英文字母與水平層次的組合構(gòu)成18個(gè)素養(yǎng)水平層次的命名．如，A1代表數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的知識(shí)理解水平．

在閱讀新課標(biāo)中六大核心素養(yǎng)的內(nèi)涵以及喻平的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的一個(gè)框架”一文的基礎(chǔ)上，提出18個(gè)素養(yǎng)水平層次的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．

A₁：了解概念、命題、定理、事實(shí)、結(jié)論產(chǎn)生的緣由；能形成概念體系、命題體系和一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)方法；能辨析概念，使用簡(jiǎn)單知識(shí)、基本規(guī)則和基本方法了解、解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題．

A₂：能在新的情境中抽象出概念、命題、定理、事實(shí)、結(jié)論等，并用其解決情境問題；能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，掌握與知識(shí)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法；能夠準(zhǔn)確運(yùn)用知識(shí)、規(guī)則、方法等綜合解決常規(guī)性復(fù)雜問題．

A₃：能運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維提出新的猜想、概念、命題、結(jié)論、定理等；能靈活運(yùn)用概念、命題、定理、方法等解決非常規(guī)問題；能夠運(yùn)用具體到抽象的思維來提出、理解、分析問題，認(rèn)識(shí)世界等．

L₁：掌握邏輯推理的基本形式（歸納、類比、演繹等），用其證明簡(jiǎn)單的定理、命題、結(jié)論等，并有條理地表述論證過程；掌握基本命題與定理的證明，理解命題體系；有邏輯地思考、表達(dá)與交流簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題．

L₂：能在新的情境中通過歸納、類比、演繹等方式進(jìn)行探索推理，準(zhǔn)確表述證明過程，并進(jìn)一步體會(huì)推理的基本形式；理解相關(guān)概念、命題、定理之間的邏輯關(guān)系，掌握常用邏輯推理方法的規(guī)則及思想；在常規(guī)性復(fù)雜問題中把握問題之間的關(guān)聯(lián)，有邏輯地思考、分析、表達(dá)與交流．

L₃：從邏輯推理的角度發(fā)現(xiàn)和提出命題，并用數(shù)學(xué)語言予以表達(dá)、分析和證明；對(duì)于數(shù)學(xué)問題提出不同的假設(shè)前提并形成數(shù)學(xué)命題；能通過邏輯推理解決非常規(guī)的問題；能夠用理性精神和有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)對(duì)事物進(jìn)行判斷和分析，認(rèn)識(shí)世界．

M₁：掌握高中階段常見模型（函數(shù)模型、方程模型、不等式模型等）的實(shí)際背景、數(shù)學(xué)描述等；了解數(shù)學(xué)建模的過程，體會(huì)模型思想；能運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和語言構(gòu)建模型來解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．

M₂：能在新的情境中運(yùn)用多種知識(shí)建立合適的數(shù)學(xué)模型來解決常規(guī)性復(fù)雜問題；能夠在建立模型過程中進(jìn)行篩選和優(yōu)化．

M₃：能運(yùn)用數(shù)學(xué)思維分析情景中的數(shù)學(xué)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)或提出問題；利用數(shù)學(xué)方法和語言建立合適的模型來解決非常規(guī)的問題；能夠?qū)⒛Ｐ瓦M(jìn)行推廣，用建模的數(shù)學(xué)方法認(rèn)識(shí)和分析現(xiàn)實(shí)問題．

I₁：抽象出實(shí)物的幾何圖形，并了解簡(jiǎn)單圖形與實(shí)物之間的聯(lián)系；借助圖形性質(zhì)和變換發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，利用幾何圖形直觀描述、分析簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題；能夠在用圖形描述和表達(dá)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題中體會(huì)數(shù)形結(jié)合方法．

I₂：在新的情境中能夠運(yùn)用圖形建立起數(shù)和形的聯(lián)系；掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法；能借助圖形與數(shù)量的關(guān)系理解數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系；能夠借助圖形探索規(guī)律、理解問題、解決常規(guī)性復(fù)雜問題．

I₃：能夠通過借助圖形提出數(shù)學(xué)問題，并靈活運(yùn)用圖形解決非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題；能夠用直觀想象探討問題的本質(zhì)及其與數(shù)學(xué)的聯(lián)系；能夠用數(shù)形結(jié)合的思想去看待和處理現(xiàn)實(shí)問題．

O₁：能理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則及其適用范圍，體會(huì)運(yùn)算法則和意義；能運(yùn)用運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單的運(yùn)算技巧進(jìn)行運(yùn)算；能用運(yùn)算結(jié)果驗(yàn)證、說明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題．

O₂：能在新的情境中理解運(yùn)算對(duì)象、探究運(yùn)算的思路、選擇合適的運(yùn)算方式；理解運(yùn)算是一種演繹推理，借助運(yùn)算討論問題；理解程序思想與計(jì)算機(jī)解決問題的聯(lián)系；能綜合運(yùn)用運(yùn)算法則和運(yùn)算技巧解決常規(guī)性復(fù)雜問題．

O₃：能夠在運(yùn)算過程中提出新的問題、結(jié)論、方法等；能靈活運(yùn)用運(yùn)算方法解決非常規(guī)運(yùn)算問題并根據(jù)運(yùn)算結(jié)果判斷、分析問題．

D₁：理解隨機(jī)現(xiàn)象及簡(jiǎn)單的概率或統(tǒng)計(jì)問題；理解統(tǒng)計(jì)中數(shù)據(jù)收集、整理、分析的方法，并利用其對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述、分析和推斷；理解概率含義并能通過統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)概率；能利用簡(jiǎn)單概率模型計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率、解決問題．

D₂：在新的情境中，能合理利用統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述、分析與判斷；了解隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)變量的關(guān)聯(lián)，用適當(dāng)?shù)母怕驶蛘呓y(tǒng)計(jì)模型描述規(guī)律、解決問題；在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法中，感悟歸納推理思想．

D₃：能夠提出隨機(jī)問題、概率或統(tǒng)計(jì)問題；在數(shù)據(jù)分析中提出關(guān)于數(shù)據(jù)收集、整理、描述、分析的創(chuàng)新型問題；能靈活地運(yùn)用概率、統(tǒng)計(jì)方法解決非常規(guī)問題；具有通過數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物、探究規(guī)律的品質(zhì)．

為了對(duì)高考試卷做科學(xué)定量的分析，需要構(gòu)建核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重值．對(duì)每一套試卷做詳細(xì)的分析，結(jié)合題目考查知識(shí)點(diǎn)、解題方法、實(shí)際背景等，綜合分析出每道題目所考查的核心素養(yǎng)水平層次，并將題目總分進(jìn)行對(duì)應(yīng)劃分．需要注意的是，一道題目若涉及到多個(gè)核心素養(yǎng)考查水平，即根據(jù)考查素養(yǎng)的主次在題目總分中劃分出多個(gè)分?jǐn)?shù)．在此方法下，詳細(xì)分析了2019年全國文理科Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷試題，最終得到了核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重表，下面以試卷中的幾個(gè)實(shí)例給出詳細(xì)的操作說明．

例1（2019年全國Ⅰ卷理科第21題）

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得–1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得–1分：若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在實(shí)驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，p_i(i=0, 1, …, 8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p₀=0，p₈=1，

p_i=ap_i-1+bp_i+cp_i+1 (i=1, 2, …, 7)，

其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5，β=0.8．

（?。┳C明：{p_i+1-p_i} (i=0, 1, 2, …, 7)為等比數(shù)列；

（ⅱ）求p₄，并根據(jù)p₄的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．

該題為2019年高考理科Ⅰ卷的壓軸大題，屬于知識(shí)創(chuàng)新運(yùn)用的題目，從科學(xué)實(shí)驗(yàn)背景出發(fā)，將概率與數(shù)列等內(nèi)容巧妙融合，在概率計(jì)算、等比數(shù)列的證實(shí)、利用統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)做出判斷的過程中考察學(xué)生新情景下知識(shí)遷移、采用合理方法解決非常規(guī)問題、依據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果做出合理判斷等能力．題目分值設(shè)置為第（1）問4分，第（2）問8分．

第（1）問主要考查解決與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的情境問題的能力，涉及到在新情景中抽象數(shù)學(xué)方法，結(jié)合情境進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，屬于知識(shí)遷移層面．因此，標(biāo)定相應(yīng)的指標(biāo)分?jǐn)?shù)值為：A₂–1.5，O₂–1，D₂–1.5．此處A₂–1.5表示該小題考查了知識(shí)遷移水平下的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，標(biāo)定分?jǐn)?shù)值為1.5，O₂–1表示考查了知識(shí)遷移水平下的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，標(biāo)定分?jǐn)?shù)值為1，D₂–1.5考查了知識(shí)遷移水平下的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，標(biāo)定分?jǐn)?shù)值為1.5，所有分?jǐn)?shù)值合計(jì)為第（1）問總分，4分．

第（2）問第（?。┬柷笞C數(shù)列為等比數(shù)列，將數(shù)列問題與概率背景相結(jié)合，考查新情境下靈活運(yùn)用知識(shí)和方法解決非常規(guī)問題，屬于知識(shí)創(chuàng)新運(yùn)用層面，標(biāo)定相應(yīng)的指標(biāo)分?jǐn)?shù)值為：A₃–1，L₃–1，O₂–1．第（2）問第（ⅱ）小問判斷試驗(yàn)方案的合理性，是利用概率計(jì)算結(jié)果對(duì)問題、方法做出合理地判斷，考查學(xué)生批判性思維能力和反思能力，屬于知識(shí)創(chuàng)新運(yùn)用層面，標(biāo)定相應(yīng)的指標(biāo)分?jǐn)?shù)值為：A₃–1.5，O₃–2，D₃–1.5．

例2（2019年全國Ⅱ卷文科12題）

設(shè)F為雙曲線

(a>0, b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以OF為直徑的圓與圓x²+y²=a²交于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|=|OF|，則C的離心率為（    ）
        A.

        B.

        C. 2
        D.

該題為2019年高考文科Ⅱ卷12題，屬于知識(shí)遷移運(yùn)用題目，將圓與雙曲線相結(jié)合，在離心率的計(jì)算中需要學(xué)生通過直觀作圖抽象分析出數(shù)學(xué)關(guān)系、選取合理的計(jì)算方法，故而考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．標(biāo)定相應(yīng)的指標(biāo)分?jǐn)?shù)值為：A₂–1.5，O₂–2，I₂–1.5．

例3（2019年全國Ⅲ卷理科22題）

如圖，在極坐標(biāo)系O_x中，A(2,0)，B(

,

)，C(

,

)，D(2,π)，弧

，

，

所在圓的圓心分別是(1,0)，(1,

)，(1,π)．曲線M₁是弧

，曲線M₂是弧

，曲線M₃是弧

．

（1）分別寫出M₁，M₂，M₃的極坐標(biāo)方程；

（2）曲線M由M₁，M₂，M₃構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|=

該題屬于知識(shí)遷移運(yùn)用題目，在計(jì)算曲線極坐標(biāo)方程、求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的過程中考查學(xué)生在新情境中運(yùn)用概念、抽象方法、進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．在第（1）問求曲線M由M₁、M₂、M₃的極坐標(biāo)方程中，需要學(xué)生在新情境中回憶、辨識(shí)、運(yùn)用極坐標(biāo)的概念，通過直觀作圖，構(gòu)造極徑ρ與極角θ并尋找連結(jié)關(guān)系，進(jìn)而得到極坐標(biāo)方程，標(biāo)定相應(yīng)的指標(biāo)分?jǐn)?shù)值為A₂–1.5，O₂–2，I₂–1.5．在第（2）問求極坐標(biāo)中，學(xué)生自然根據(jù)極坐標(biāo)系的相關(guān)定義列出計(jì)算式，并結(jié)合三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)得出運(yùn)算結(jié)果，標(biāo)定相應(yīng)的指標(biāo)分?jǐn)?shù)值為：A₂–2，O₂–3．

例4（2019年全國Ⅲ卷文科13題）

已知向量a=(2,2)，b=(-8,6)，則cos<a, b >=______？

該題屬于知識(shí)理解類題目，在計(jì)算向量a、b夾角余弦值時(shí)，需要學(xué)生回憶向量夾角余弦值的計(jì)算公式，并進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，考查學(xué)生使用簡(jiǎn)單知識(shí)、基本規(guī)則和基本方法解決數(shù)學(xué)問題．標(biāo)定相應(yīng)的指標(biāo)分?jǐn)?shù)值為：A₁–1.5，O₁–2，L₁–1.5．

根據(jù)2.2中給出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)2019年全國文理科Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷試題中各個(gè)核心素養(yǎng)不同水平的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了標(biāo)定，并轉(zhuǎn)換成占整份試卷總分的權(quán)重（保留三位小數(shù)）．見表2（以下簡(jiǎn)稱“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查權(quán)重表”）所示．

表2 2019年高考試卷數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查權(quán)重值匯總表（全國卷）

           

           

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在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查權(quán)重表中分別計(jì)算了18個(gè)核心素養(yǎng)指標(biāo)權(quán)重值在6套試卷中的均值與總和，并匯總了數(shù)學(xué)抽象（A）、邏輯推理（L）、數(shù)學(xué)建模（M）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（O）、直觀想象（I）、數(shù)據(jù)分析（D）六大核心素養(yǎng)的考查權(quán)重值．經(jīng)過討論分析，得到以下結(jié)論．

在一定程度上核心素養(yǎng)考查彰顯了數(shù)學(xué)基本思想．史寧中指出：“把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為3個(gè)核心要素：抽象、推理、模型，數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系的基底．”^[11]根據(jù)六大核心素養(yǎng)的考查權(quán)重均值可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)權(quán)重占34.3%、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)權(quán)重占39%、直觀想象素養(yǎng)權(quán)重占12.4%、邏輯推理素養(yǎng)權(quán)重占10.3%．這說明6套高考試卷從數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理出發(fā)，考查數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想．由于高考試卷脫離不了探究運(yùn)算思路、合理運(yùn)算的過程，故而數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)占比高達(dá)39%，考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力．?dāng)?shù)學(xué)建模素養(yǎng)在高考試卷中的考查權(quán)重低下，這表明高考試題在考查學(xué)生合理、創(chuàng)新利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際情境問題的能力上表現(xiàn)力不足．值得提及的是，全國I卷理科第4題要求學(xué)生估算人體身高值，考查了學(xué)生在新情境下綜合利用多種知識(shí)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)，是一道高考核心素養(yǎng)考查背景下的“亮點(diǎn)題目”．

6類試卷核心素養(yǎng)考查分布基本一致，文理科同素養(yǎng)考查層次彰顯差異．繪制出2019年高考試卷六大數(shù)學(xué)核心考查權(quán)重分布圖（見圖1），由圖可知，對(duì)于全國6套試卷而言，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)考查權(quán)重值最高，直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)考查權(quán)重值次之，數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)考查權(quán)重值最低．另外，在同一核心素養(yǎng)考查水平層次上文科試卷相較于理科試卷考查層次較低．比如，理科Ⅰ卷中數(shù)學(xué)抽象A₁水平考查權(quán)重為8%，相應(yīng)的文科為13.3%；數(shù)學(xué)運(yùn)算O₃水平考查權(quán)重為7.1%，相應(yīng)的文科為1.4%；理科Ⅲ卷中直觀想象I₂水平考查權(quán)重為13.3%，相應(yīng)的文科為9.5%．

圖1 2019年高考試卷六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查權(quán)重分布

知識(shí)遷移水平下的核心素養(yǎng)考查為主．根據(jù)表2中六套試卷核心素養(yǎng)考查權(quán)重值總計(jì)數(shù)據(jù)可知，數(shù)學(xué)抽象A₂、邏輯推理L₂、直觀想象I₂、數(shù)學(xué)運(yùn)算O₂素養(yǎng)考查權(quán)重分別占1.382、0.430、0.518、1.584，占比數(shù)量較高，這表明知識(shí)遷移水平下的核心素養(yǎng)考查是高考試卷命題的主導(dǎo)方向．同時(shí)，試卷中知識(shí)創(chuàng)新水平下的核心素養(yǎng)考查權(quán)重值雖然較少，但卻能夠深入考查學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力．

為了進(jìn)一步探究試卷類型、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查水平層次在空間位置上的區(qū)分程度，以及各類別之間的關(guān)聯(lián)程度，采用SPSS24.0對(duì)表2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)分析．由于表1中的權(quán)重值數(shù)據(jù)不是頻數(shù)，而是比率值，故而采取歐幾里得距離來代表相應(yīng)單元格內(nèi)平均值偏離無關(guān)聯(lián)假設(shè)的程度^[12]．并得到匯總表（表3）與對(duì)應(yīng)分析圖（圖2）．

表3 匯總表

           

           

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圖2 對(duì)應(yīng)分析圖

由表3可知，維度一和維度二共解釋了83.3%的原信息．通過圖2，可以得到以下結(jié)論．

總體上試卷類型、核心素養(yǎng)考查水平兩個(gè)變量在空間位置上分得比較開，這說明在維度一和維度二上有所區(qū)別．但是注意到它們?cè)诰S度二上的區(qū)分度稍微差一些，并且對(duì)于核心素養(yǎng)考查水平而言，存在素養(yǎng)分布密集的情況．

6類試卷中理科Ⅰ卷、文科Ⅰ卷、文科Ⅱ卷遠(yuǎn)離原點(diǎn)，且相互遠(yuǎn)離，這說明這3套試卷數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查水平層次和平均水平相差較大，而且各自特點(diǎn)不同．理科Ⅱ卷、理科Ⅲ卷、文科Ⅲ卷3套試卷的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查水平層次接近．

18個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查水平層次并沒有完全分開，其中數(shù)學(xué)建模M₂、數(shù)學(xué)建模M₃、數(shù)據(jù)分析D₂、數(shù)據(jù)分析D₃素養(yǎng)水平距離很接近，說明這4個(gè)考查水平是緊密相關(guān)的．就數(shù)學(xué)角度而言，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建需要從實(shí)際背景入手，建立含參數(shù)模型，這當(dāng)中自然離不開數(shù)據(jù)的收集和分析．

在對(duì)應(yīng)分析圖中，理科Ⅰ卷和數(shù)學(xué)抽象A₃、邏輯推理L₂、數(shù)學(xué)運(yùn)算O₃素養(yǎng)散點(diǎn)的放射線方向一致，則說明試卷素養(yǎng)考查水平高于平均水平．查看表1數(shù)據(jù)可知理科Ⅰ卷在A₃、L₂、O₃這3個(gè)素養(yǎng)上的考查權(quán)重是最大的．顯然，理科Ⅱ卷、理科Ⅲ卷、文科Ⅲ卷位于A₃、L₂、O₃素養(yǎng)散點(diǎn)的反射線的反方向，則說明這3套試卷素養(yǎng)考查水平低于平均水平，這與表1中的數(shù)據(jù)吻合．

根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查指標(biāo)散點(diǎn)與6套試卷在對(duì)應(yīng)分析圖中的分布位置可以對(duì)試卷進(jìn)行分類．第一類為文科Ⅰ卷、文科Ⅱ卷，第二類為理科Ⅱ卷、理科Ⅲ卷、文科Ⅲ卷，第三類為理科Ⅰ卷．

2019年高考全國卷注重知識(shí)遷移水平下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，并逐步滲透一些現(xiàn)實(shí)問題、數(shù)學(xué)文化等情境，體現(xiàn)了學(xué)生的知識(shí)創(chuàng)新能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進(jìn)一步考查學(xué)生分析和解決問題的能力．中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與測(cè)評(píng)是落實(shí)“立德樹人”教育根本任務(wù)的重要實(shí)踐方向之一，高等教育入學(xué)考試作為檢驗(yàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的一種手段，必定要保證試卷緊扣高考考綱和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系，才能達(dá)到考核人才的目的．因此，可以提出一些關(guān)于高考命題的建議．

首先，高考命題需要符合中國人才培養(yǎng)目標(biāo)，因此認(rèn)真研讀相關(guān)文件是高考命題的基礎(chǔ)．王尚志等指出，21世紀(jì)初的高中課程改革，課程方案與考試評(píng)價(jià)脫節(jié)，而2017版課標(biāo)中提出了考試評(píng)價(jià)的相關(guān)要求^[13]．事實(shí)上，2017版課標(biāo)指出：“校內(nèi)評(píng)價(jià)或考試、學(xué)業(yè)水平考試、高考均應(yīng)以課程方案、課程標(biāo)準(zhǔn)和國家相關(guān)教學(xué)文件為依據(jù)，考試命題應(yīng)緊密聯(lián)系社會(huì)實(shí)際與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，探索創(chuàng)設(shè)整合的、情境化的真實(shí)任務(wù)，要有利于促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展．”課程標(biāo)準(zhǔn)與教材、教學(xué)改革、考試命題之間環(huán)環(huán)相扣、不可分割，課程標(biāo)準(zhǔn)又作為基礎(chǔ)點(diǎn)，指導(dǎo)著教學(xué)與考試命題．因此，高考命題應(yīng)該從課程標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，立足現(xiàn)實(shí)，考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展情況．此外，教育部每年會(huì)出臺(tái)各科《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》，闡明考核目標(biāo)與考核范圍，如在考查數(shù)學(xué)能力時(shí)指出：“以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，側(cè)重體現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力，從而檢測(cè)出考生個(gè)體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能．”^[14]因此，高考命題需立足考綱，合理命題，考查學(xué)生相應(yīng)能力與意識(shí)．

其次，高考命題要處理好知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新3個(gè)水平的關(guān)系，聚焦核心素養(yǎng)考查，彰顯“立德樹人”的育人目標(biāo)．具體地講，可以提出一些詳細(xì)的命題建議．

深度融入數(shù)學(xué)文化，彰顯數(shù)學(xué)底蘊(yùn)色彩．談到數(shù)學(xué)文化，必然不能忘記中國古代數(shù)學(xué)．

中國古代有諸多數(shù)學(xué)人才與數(shù)學(xué)創(chuàng)造，數(shù)學(xué)家有祖沖之、秦九韶、楊輝、劉徽等，數(shù)學(xué)著作如《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》^[15]．中國古代的數(shù)學(xué)，可以說在世界上一直居于主導(dǎo)地位并在許多主要的領(lǐng)域內(nèi)遙遙領(lǐng)先，不僅有諸多領(lǐng)先于世界的算法案例，更蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，這樣的古代數(shù)學(xué)素材自然可以融入到高考命題中．中國古代數(shù)學(xué)以新情境問題出現(xiàn)在高考試題中，利于考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生民族數(shù)學(xué)認(rèn)同感．此外，希臘數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)、印度數(shù)學(xué)等中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容均可嘗試融入到高考試題中，這是拓展學(xué)生數(shù)學(xué)視野，考查學(xué)生遷移能力的重要素材．

立足現(xiàn)實(shí)情境問題，考查學(xué)生創(chuàng)新應(yīng)用．史寧中認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的眼光是什么？就是數(shù)學(xué)抽象．”^[16]數(shù)學(xué)抽象是基于現(xiàn)實(shí)世界或者是情境而進(jìn)行的一種對(duì)事物本質(zhì)、規(guī)律、關(guān)系進(jìn)行抽象表征的數(shù)學(xué)思維過程，是一種數(shù)學(xué)基本思想．因此，在高考命題中重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是高考改革的方向，而現(xiàn)實(shí)情境問題不僅能考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，更是學(xué)生識(shí)別新情境，進(jìn)行知識(shí)遷移、創(chuàng)新的載體．此外，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、表征問題的過程中會(huì)涉及到邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)，可以說從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)的數(shù)學(xué)問題可以多方位考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，以及知識(shí)的應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)．

縮小文理試卷差距，融入高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．《考試藍(lán)皮書：中國高考報(bào)告（2019年）》一書中指出：“新高考數(shù)學(xué)科內(nèi)容改革的目標(biāo)是建立文理不分科的數(shù)學(xué)科統(tǒng)一考試體系，滿足高校各專業(yè)對(duì)考生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的共同要求．”^[17]這是實(shí)現(xiàn)文理不分科后高考數(shù)學(xué)改革的趨勢(shì)，預(yù)示著高考數(shù)學(xué)試題將融入一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容，保證高校專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求，試卷呈現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性特點(diǎn)．因此，高考試卷命題要精選考試內(nèi)容，優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，講求試卷的基礎(chǔ)性與綜合性，兼顧文理試卷難度，逐步縮小文理科差距，為新高考改革奠定基礎(chǔ)．

高考試卷核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)是當(dāng)前考試評(píng)價(jià)制度下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)研究的重要方向，這里提供了一些基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與分析的研究方法和結(jié)論，以上所述實(shí)屬拋磚引玉，闡述如有不當(dāng)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正．

Study of Examination Assessment Based on the Framework of Evaluation on Mathematics Key Competencies——A Case Study of National Volume 2019 College Entrance Examination
LI Hua^{1, 2}, HU Dian-shun¹
(1. School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China;2. Xi’an Chang’an District No.3 Middle School, Shaanxi Xi’an 710100, China)

Abstract: The assessment of mathematical key competencies was an important method to apprise the effect on the cultivation of students’ core components of mathematical literacy. While college entrance examination was an important way of testing students’ mathematical key competencies, conducting researches on mathematical key competencies based on college entrance examination papers had great significance for the new reform plans of the national college entrance examination. Based on the core mathematics literacy evaluation framework by Yu Ping, the research approaches the national volume 2019 college entrance examination as a sample. This paper draw out an education evaluation scale for mathematical key competencies, studied the characteristics of mathematical key competencies on national volume with multivariate statistical analysis, and put forward some suggestions for the design of the examination questions. This paper could provide some value for the assessment of mathematical key competencies.
Key words: the assessment of mathematical key competencies; college entrance examination; suggestions for the question design