他發(fā)現(xiàn)可將7、8、9、10、11、12、13、14這8個(gè)數(shù)字分成兩組，每一組內(nèi)數(shù)字的平方之和相等，即
72＋102＋122＋132＝462＝82＋92＋112＋142
克里斯朵夫?yàn)榱舜艘话l(fā)現(xiàn)而沾沾自喜。伊麗莎白在仔細(xì)分析這些數(shù)字后，認(rèn)為14是7的兩倍，這可能是一個(gè)重要的線(xiàn)索，但隨即發(fā)現(xiàn)這并不是重點(diǎn)。然后她觀(guān)察5、6、7、8、9、10、11、12的平方數(shù)，她發(fā)現(xiàn)將這8個(gè)數(shù)字分成兩組，兩組內(nèi)數(shù)字的平方之和也會(huì)相等，她還推論只要是8個(gè)連續(xù)數(shù)字皆可分成兩組平方之和相等的數(shù)字。請(qǐng)問(wèn)伊麗莎白的推論是否正確？
游戲首先由圓內(nèi)六邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)開(kāi)始，玩的人輪流使用不同顏色的筆以直線(xiàn)連接任意兩個(gè)頂點(diǎn)。
總共只有15條可能的直線(xiàn)，所以這個(gè)游戲必定可在有限的時(shí)間內(nèi)結(jié)束。游戲的規(guī)則是要避免所連的直線(xiàn)(相同顏色者)形成三角形，否則就輸了。在兩種不同顏色的筆把15條線(xiàn)都畫(huà)完之前，必定會(huì)形成一個(gè)同顏色的三角形，所以一定能分出勝負(fù)。
圖示為一場(chǎng)比賽的結(jié)果，圖中的數(shù)字表示畫(huà)線(xiàn)的順序，實(shí)線(xiàn)為某甲所畫(huà)的直線(xiàn)，虛線(xiàn)則為某乙畫(huà)的直線(xiàn)。如圖，現(xiàn)在輪到乙畫(huà)線(xiàn)，而且只剩下兩條直線(xiàn)可畫(huà)，若連接DF會(huì)形成三角形DAF，而連接FE則形成另一三角形EAF，所以這一局乙是輸定了。
將一枚10元硬幣及一枚20元硬幣投入郵票銷(xiāo)售機(jī)，它就會(huì)吐出一聯(lián)面值共30元的郵票。為了更加便民，郵局決定舉辦一項(xiàng)競(jìng)賽，參賽者必須設(shè)計(jì)出一聯(lián)不同面值的郵票，使之能組合出1到30元內(nèi)任意數(shù)額的郵資。
一年后比賽截止，有兩位參賽者獲獎(jiǎng)：一位是艾娜小姐，另一位是梅爾先生。艾娜小姐所設(shè)計(jì)的一聯(lián)郵票只需5張，就可達(dá)到上述要求，她的設(shè)計(jì)已為郵局所采用。
這5張郵票的面值各為多少？
然而梅爾先生的方法只需用單一面值的一張郵票或面值連續(xù)的幾張郵票，就可以組合出1到30元的各種郵資。當(dāng)然其中一種方法就是用30張一元郵票，但是還有更好的方法。欲達(dá)到此項(xiàng)目所需要的郵票數(shù)目最少為幾張？面值各為多少？
給定5、8及12這3個(gè)數(shù)字，每一行、列或?qū)蔷€(xiàn)的總和等于中間數(shù)字的3倍。由圖中看出此魔方陣只有唯一的解。現(xiàn)在請(qǐng)你找出包含數(shù)字5、8及12的所有3×3的魔方陣。
共有57個(gè)不同的解，其中不包括對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)的解。要將這些解找出來(lái)必須作有系統(tǒng)的搜尋。例如，考慮5在中間時(shí)各行、列、對(duì)角線(xiàn)的總和，也就是“魔術(shù)數(shù)字”等于15的所有解。
共有6組解符合此條件，該類(lèi)解很容易求得，只需應(yīng)用各行、各列及對(duì)角線(xiàn)的總和等于15的事實(shí)，將各個(gè)空格填起來(lái)即可。將8或12放在中央可得到其他類(lèi)似解。
有趣的是，當(dāng)5、8及12這3個(gè)數(shù)字在同一對(duì)角線(xiàn)上時(shí)竟然無(wú)解。因?yàn)?+8+12=25，不等于5、8或12任一數(shù)的3倍。
茲將所有可能的解簡(jiǎn)述如下表：
一名紙盒制造商要求設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)一種適當(dāng)?shù)募埌?，使得該紙板折疊以后可隔成兩個(gè)立方體，且這兩個(gè)正方體上方各有一個(gè)蓋子。
有很多種設(shè)計(jì)可符合此要求，但是最后制造商決定采用如上圖所示的“十”字形紙板。
根據(jù)設(shè)計(jì)師的說(shuō)法，只要將紙板裁兩刀，就可折疊出所需要的盒子，到底該從何著手？
解答與分析
順著圖中的粗線(xiàn)將紙盒剪開(kāi)，再沿著虛線(xiàn)處將A與B兩塊粘合，形成盒子的中央分隔部位，并使兩片蓋子可以以此為底軸任意開(kāi)關(guān)。接下來(lái)便可很輕易地折出題目所要求的盒子。
解題的關(guān)鍵在于兩片蓋子的底軸位于同一處。當(dāng)這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題解決之后，要找出符合要求的設(shè)計(jì)并不難。在大部分的設(shè)計(jì)中，此答案是最理想的。
有一名學(xué)生在研究三角形的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)一件令她非常驚訝的事情。她找到了3個(gè)面積及邊長(zhǎng)數(shù)為整數(shù)的三角形，而且這3個(gè)三角形的面積都是84平方單位。你有辦法找出這3個(gè)三角形嗎？
解答與分析
第1個(gè)三角形為直角三角形，其他的三角形可由兩個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形接合而得到。事實(shí)上，任何三邊為下列形式：
m2- n2，2mn和 m2＋ n2
其中m，n為整數(shù)，且m＞n的三角形皆為一直角三角形。
為3個(gè)面積均為84平方單位的三角形。
在一次分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的課堂上，珍妮發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)26/65的分子和分母的6正好可以用一斜線(xiàn)消去，如：
你還知道有哪些形式為ab/bc的數(shù)字可以直接消掉b而化簡(jiǎn)為a/c嗎？此題不考慮a＝b＝c的情況。
解答
數(shù)字17可以用幾個(gè)正數(shù)的和表示出來(lái)，且表示法有很多種，比如說(shuō)：
17=6＋11＝2＋3＋5+7
分別計(jì)算這兩種方法中各數(shù)字的乘積得：
6×11＝66 2×3×5×7＝210
請(qǐng)問(wèn)要將17分解成哪些正數(shù)的和，才能使得這些數(shù)的乘積為最大。
解答與分析
如果將正數(shù)解釋為正整數(shù)，所得到的最適解為：
17= 3+ 3＋3+ 3＋3+ 2
所得各數(shù)的乘積為：
3５ ×2＝486。
但是在題目中并沒(méi)有限制一定要用正整數(shù)，所以最佳的解為：
你不妨試試其他的數(shù)字，看看會(huì)是什么情況。
一般我們所看到的月歷的設(shè)計(jì)是按一周有7天而分成7列來(lái)排列日期。依據(jù)月歷的格式我們可以發(fā)展出多種非常有趣的游戲。
請(qǐng)你的朋友將某一列中任意3個(gè)相連的數(shù)字相加，你只要知道總數(shù)就能得知該3個(gè)數(shù)目所指示的日期。例如相加后的總數(shù)為45，則位于這3數(shù)中間的數(shù)字必為45的1/3(也就是15)，且其余的兩個(gè)日期為該數(shù)各加減7，也就是8及22。
請(qǐng)問(wèn)當(dāng)總和為57時(shí)，該3個(gè)數(shù)所指示的日期分別為幾號(hào)？
如果給你一列中5個(gè)日期的總和，那么你該如何找出是哪5個(gè)日期呢？
在月歷中的某一列，其5個(gè)日期的總和為85，是哪一列呢？你并不需要將每列的總和都算出來(lái)。
當(dāng)你仔細(xì)觀(guān)察月歷時(shí)，將會(huì)發(fā)現(xiàn)不論是哪一年的哪一個(gè)月份，會(huì)出現(xiàn)在同一列中的日期總是固定的那幾個(gè)。比如說(shuō)18位于11的下面，而25總是在18之下。
為什么以6為開(kāi)頭的那一列不可能擁有5個(gè)數(shù)字呢？
如果已知一列中相連的4個(gè)數(shù)字的總和，你可以設(shè)計(jì)出一種方法將該4個(gè)日期找出來(lái)嗎？
在月歷中框出一個(gè)2×2或者是3×3的方陣，各個(gè)數(shù)字及其總和之間的關(guān)系很容易就可以建立起來(lái)。例如對(duì)于一個(gè)2×2的方陣，其總和總是等于
4×(最小的日期+4)
此現(xiàn)象可用在下列兩種情況：
(1)別人告訴你總和，請(qǐng)你將該4個(gè)日期都說(shuō)出來(lái)。
(2)別人告訴你最小的日期，然后問(wèn)你總和是多少。
其實(shí)道理非常簡(jiǎn)單，只要假設(shè)最小的日期為D，則4個(gè)日期分別為
所以總和T＝D＋(D＋1)＋(D＋7)＋(D＋8)＝4D＋16＝4(D＋4)
如果總和T已知，只要將T除以4，便得到D＋4，然后再將(D＋4)減去4即得到D。
x＝y且x≠0，將等號(hào)的兩邊各乘上x得
x2＝xy
然后再各減y2得
x2-y2＝xy-y2
將上式因式分解得到：
(x-y)(x＋y)＝(x-y)y
隨后再在等號(hào)兩邊同時(shí)除以公因式得 x+y=y
已知y＝x，所以
2x=x
因?yàn)?/font>x為一非零的數(shù)字，因此可推導(dǎo)出
2＝1
一個(gè)很不可思議的結(jié)果！
到底問(wèn)題出在哪里呢？
解答與分析
這種證明2＝1的方法可能已使很多人感到困惑。整個(gè)過(guò)程的一項(xiàng)錯(cuò)誤在于兩邊同時(shí)除以(x-y)時(shí)，因?yàn)?x－y)等于零。
95.月歷的排列
當(dāng)總和為57時(shí)，所表示的日期為
如果在擁有5個(gè)日期的一列中，其正中央的日期為D，則該5個(gè)日期分別為
D-14，D- 7，D，D+ 7，D+14
總和為5D，所以只要把總和除以5，然后再加減7、加減14即可。當(dāng)總數(shù)為85時(shí)，D＝17，則對(duì)應(yīng)于圖中月歷上最后一行。
如果該列的第1個(gè)數(shù)字是6，則第5個(gè)數(shù)字6＋7＋7＋7＋7＝34，可是1個(gè)月不可能有34天。
假設(shè)在一個(gè)含4個(gè)日期的列中，第1個(gè)日期是F，則該4個(gè)日期分別為
F，F(xiàn) + 7， F＋14，F(xiàn) +21
所以總和等于
T＝ 4F+42
所以只要先將總和減去42，然后再除以4，如此可得到F。再將F分別加上7、14、21，即可得其余的日期。
T→→-→F
除了方陣外，其他有趣的形狀還有下列的“十”字形和“H”形。根據(jù)其對(duì)稱(chēng)性也可求出其中所有的日期。
“十”字形內(nèi)的日期總和為5C，“H”形內(nèi)的總和為7C。所以若已給定總和很容易就能算出C，因此其他的日期也可輕易地推導(dǎo)出來(lái)。
工程師考慮多種設(shè)計(jì)方法，其中3種方法圖示于上，他們一致認(rèn)為最短的路線(xiàn)為建造AC及BD兩條道路，其總長(zhǎng)度是56.5km。但是實(shí)際上這并非最短的路線(xiàn)，有一種更好的設(shè)計(jì)方法，你能幫他們想出來(lái)嗎？
解答與分析
這是一個(gè)非常有趣的題目，最短的設(shè)計(jì)路線(xiàn)如圖1所示。此設(shè)計(jì)中的公路有兩個(gè)皆為120°的三叉路口。通過(guò)三角函數(shù)的計(jì)算可以知道這兩條線(xiàn)路的總長(zhǎng)度為 54.6 km。為證明這個(gè)問(wèn)題，可將4枚釘子置于兩塊透明的塑膠板之間，形成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，然后讓肥皂薄膜在中間膨脹，即可看出來(lái)(圖2)。此類(lèi)問(wèn)題一般稱(chēng)之為史坦那(Steiner)問(wèn)題。史坦那為德國(guó)數(shù)學(xué)家，他首先注意到這一問(wèn)題。
現(xiàn)在將硬幣放入方格內(nèi)，其中任意4枚硬幣不得同時(shí)落在一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，在此條件下最多可放入幾枚硬幣？
本題可以當(dāng)做一種適合2個(gè)人或3個(gè)人玩的游戲。參賽者輪流將硬幣放到方格內(nèi)，如果放入的硬幣與方格上的其他3枚硬幣形成一個(gè)正方形時(shí)，這人即被淘汰出局。放進(jìn)最后一枚硬幣而沒(méi)
有形成正方形的人便是贏家。
解答與分析
共有50種方法(見(jiàn)下圖)，你漏掉了幾種？
最多可同時(shí)放入15枚硬幣，其中沒(méi)有任何4枚硬幣落在同一正方形的4個(gè)頂點(diǎn)。上圖右下角這幅圖為符合此一條件的一組解，但這不是唯一的解。
首先請(qǐng)你的朋友說(shuō)出兩個(gè)6位數(shù)(以a及b代表)，把這兩個(gè)數(shù)字記下來(lái)，然后再填上一你自己選擇的數(shù)字a*。隨后再請(qǐng)你的朋友說(shuō)出另一個(gè)6位數(shù)c，接著再填上你自己選擇的數(shù)字c*。此時(shí)你便可輕易地把總和寫(xiě)出來(lái)。
試問(wèn)a、c與a*、c*之間的關(guān)系如何？總和與b之間有何種關(guān)系存在？
解答與分析
a+a*＝728 461+ 271 538＝999 999
c＋c*＝ 854 750＋ 145 249＝ 999999
也就是說(shuō)a* 及c* 分別為a及c的9的補(bǔ)數(shù)
因 999 999＝ 1 000 000-1
所以 總數(shù)= a＋b＋a*＋c＋c*
?。?/font>(a＋a* )＋ (c＋c* )＋b
＝2 000 000-2+b
也就是說(shuō)b的值減去2，然后再于b的前面再加個(gè)2即等于前述5個(gè)數(shù)的總和。
先說(shuō)明一下，雖然陳述本題時(shí)使用棋盤(pán)及棋子加以說(shuō)明，實(shí)際你只須用1張方格紙、1支筆，還有有關(guān)國(guó)際象棋走法的基本知識(shí)就可以開(kāi)始著手走棋了。
車(chē)的走法
車(chē)只可向前、后、左、右移動(dòng)，可經(jīng)過(guò)棋盤(pán)上的每一格一次再回到出發(fā)點(diǎn)，而形成一循環(huán)回路。圖1、圖2為符合此條件的兩條路徑。
請(qǐng)問(wèn)當(dāng)形成循環(huán)回路時(shí)最少的方向改變數(shù)為多少次？
如果車(chē)經(jīng)過(guò)棋盤(pán)上的每一格一次而不需再回到原出發(fā)點(diǎn)以形成一非循環(huán)回路，此時(shí)最少的方向改變數(shù)為14。你能發(fā)現(xiàn)此一路徑嗎？
有沒(méi)有可能車(chē)從棋盤(pán)上的一個(gè)角落出發(fā)，經(jīng)過(guò)棋盤(pán)上的每一格一次而在對(duì)角的角落上停下來(lái)呢？
王后的走法
王后的走法是既可對(duì)角移動(dòng)，也可像車(chē)一樣前、后、左、右移動(dòng)，所以她的變化較多。圖3顯示王后走法的一個(gè)例子。該路徑為一對(duì)稱(chēng)形態(tài)，且在一角落上開(kāi)始而終止于另一角落。圖4所顯示的路徑為一循環(huán)回路，但不對(duì)稱(chēng)。
想想看，王后有沒(méi)有可能形成對(duì)稱(chēng)的循環(huán)回路呢？
如果王后可經(jīng)過(guò)棋盤(pán)上的每一格多次，則可能在棋盤(pán)上形成一條通過(guò)每一格的循環(huán)回路，且只需13次改變方向。你能發(fā)現(xiàn)此一路徑嗎？
圖5顯示的王后路徑有一個(gè)很誘人的性質(zhì)，也就是如果將王后走過(guò)的每一方格加以連續(xù)編號(hào)，圖中標(biāo)示S的方格為1，則這些數(shù)字將組成一魔術(shù)方塊。有興趣的話(huà)可以試試看。
象的走法
象的走法是對(duì)角移動(dòng)，如果他從圖中黑色方格出發(fā)的話(huà)，也只能移動(dòng)到另一黑色方格，他沒(méi)有辦法在不重復(fù)進(jìn)入一方格的條件下經(jīng)過(guò)圖中所有黑色方格。為什么呢？
圖6的路徑中遺漏了6個(gè)黑方格。你能找出更好的路徑嗎？
如果象可重復(fù)進(jìn)入一方格的話(huà)，那就有可能從棋盤(pán)上的一個(gè)角落出發(fā)，終止于對(duì)角的方格上。該如何走呢？
解答與分析
走一條一循環(huán)回路至少需改變15次方向，請(qǐng)參見(jiàn)圖1。走一非循環(huán)回路至少需改變14次方向才可完成，參見(jiàn)圖2。
不可能使得車(chē)從棋盤(pán)上的一個(gè)角落出發(fā)，經(jīng)過(guò)棋盤(pán)上的每一格一次而在對(duì)角的角落上停下。將一車(chē)從左上角移到右上角，必須向右及向上各移7格。所以總共移動(dòng)了 14格。任一路徑其向左移動(dòng)的格數(shù)必定與向右移動(dòng)的格數(shù)相平衡，而向上移動(dòng)的格數(shù)也必定與向下移動(dòng)的格數(shù)相平衡，因此要移到右上角的方格時(shí)，所走過(guò)的方格數(shù)必須為偶數(shù)，但是完成該項(xiàng)路徑時(shí)，只需移動(dòng)63步。由此可知兩項(xiàng)推論相矛盾，所以不可能產(chǎn)生此條路徑。
如果車(chē)從棋盤(pán)上的左下角出發(fā)，然后經(jīng)過(guò)棋盤(pán)上的每一格一次，那它可能在哪一個(gè)方塊上停下來(lái)呢？
車(chē)所能執(zhí)行的任何路徑，王后也必定能達(dá)到，所以在此我們感興趣的是含有對(duì)角移動(dòng)的路徑。對(duì)稱(chēng)循環(huán)回路較好的例子為王后的魔術(shù)路徑，圖3為四重轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)的循環(huán)回路。
圖4為王后可經(jīng)過(guò)棋盤(pán)上的每一格多次，且在棋盤(pán)上形成一條通過(guò)每一格的循環(huán)回路，其中只有13次的方向改變。
象的走法
如果象從圖中黑色方塊出發(fā)的話(huà)，能走過(guò)所有黑色方塊的路徑，必定以黑色方塊為起點(diǎn)及終點(diǎn)。
假設(shè)此種路徑由圖5中標(biāo)示1的方塊開(kāi)始，隨后象走到方塊2，此后他只能在方塊3及4之中做一選擇。假設(shè)象走到方塊3，那么整個(gè)路徑必定終止于方塊4，因?yàn)榉綁K4對(duì)外連接的路徑只有一條——經(jīng)過(guò)方塊5，所以進(jìn)入之后就無(wú)法再出來(lái)了。但是本題的要求是終止于對(duì)角的方塊上，因此由上面的推論可知不可能產(chǎn)生這樣一條的路徑。
如果象不可重復(fù)進(jìn)入一方塊的話(huà)，那最多可走過(guò)29個(gè)黑色方塊。你再怎么試總是有3個(gè)黑色方塊無(wú)法進(jìn)入。圖6顯示其中的一組解。
在可重復(fù)進(jìn)入一方塊的條件下，走過(guò)所有方塊的最有效路徑示于圖7中。
湯姆、狄克及亨利一起參加田徑比賽，在每一項(xiàng)比賽中只有前3名才獲得點(diǎn)數(shù)。所有比賽結(jié)束時(shí)湯姆共得到22點(diǎn)，狄克及亨利皆得到9點(diǎn)，其他的參賽者沒(méi)有得到任何點(diǎn)數(shù)。已知狄克在標(biāo)槍項(xiàng)目中得到第1名。請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)在百米競(jìng)賽中得到第2名？
解答與分析
起初你會(huì)以為題目中所給的資料不夠，但是因?yàn)榭傸c(diǎn)數(shù)為40點(diǎn)，我們可做出下列合理的假設(shè)：
(1)每一項(xiàng)比賽所分配的點(diǎn)數(shù)皆相同。
(2)第1、第2、第3名所得的點(diǎn)數(shù)皆不同。然后考慮下列情形：若共有5項(xiàng)比賽，則前3名得分為(4，3，1)或(5，2，1)；若共有4項(xiàng)比賽，則前3名得分為(5，3，2)或(6，3，1)或(7，2，1)。如此，方可使得總點(diǎn)數(shù)為40點(diǎn)。只有下列一種情形符合題目的要求：
所以亨利除了標(biāo)槍得了第3名之外，在其他各項(xiàng)比賽中皆得到第2。
一個(gè)非常忙碌的機(jī)場(chǎng)有3條跑道：AB、BC及CA。若欲在P的位置建一座新的航站大樓，使得由P點(diǎn)到3條跑道的距離之和PN＋PL＋PM為最小。
三角形ABC是一個(gè)等邊三角形，PN、PL及PM均垂直于跑道。請(qǐng)問(wèn)P點(diǎn)應(yīng)在何處
解答與分析
答案是一個(gè)讓你意想不到的結(jié)果。P點(diǎn)可在等邊三角形內(nèi)部的任何位置，因?yàn)榈冗吶切蝺?nèi)的任意點(diǎn)到三邊的距離的和為一常數(shù)。首先考慮一個(gè)比較特別的情況——P點(diǎn)在AC線(xiàn)段上。則
PN＋ PL＝ x cos30°＋ y cos30°
?。?x＋y)cos30°
?。?d cos 30°
此處d為三角形ABC的邊長(zhǎng)。
但是dcos30°又等于B到AC的垂直距離，如圖1中的虛線(xiàn)所表示者。
現(xiàn)在考慮一般情況，在圖2中過(guò)P點(diǎn)畫(huà)一條平行于AC的線(xiàn)，則可得到 PN＋ PL＝ BT，所以 PN＋ PL＋ PM＝ BD(因?yàn)镻M＝TD)，也等于三角形ABC的高。
山谷網(wǎng)球俱樂(lè)部只擁有兩個(gè)球場(chǎng)。一個(gè)星期六的下午有8個(gè)球員輪流在場(chǎng)上打球。他們是：
男生：安迪、伯納、柯林、大衛(wèi)
女生：阿曼達(dá)、布蘭達(dá)、卡羅、桃樂(lè)思。
隊(duì)長(zhǎng)卡羅一直苦思著如何定出一種比賽順序，然后她想出了一種混合雙打的方法。在她的計(jì)劃中，每一名球員可上場(chǎng)打3場(chǎng)球。任何人在此3場(chǎng)比賽中不會(huì)與同一個(gè)人有兩次在同一隊(duì)，或與同一個(gè)人有兩次成為對(duì)手的機(jī)會(huì)。這項(xiàng)聰明的提議受到每一名球員的贊賞，并為眾人所接受。
卡羅是如何安排的呢？
答案并不唯一，下表列出的為其中的一組解：
從4個(gè)男生(設(shè)為A、B、C、D)中選出兩個(gè)人的方法共有6種： AB、 AC、 AD、 BC、 CD。同樣，從4個(gè)女生(a、 b、c、d)中選出兩人的方法為ab、ac、ad、bc、bd、cd這6種。再下來(lái)的動(dòng)作就是將他們互配以符合題目的要求。你是否已算出共有多少種不同的解了呢？
圖中正立方體面上兩虛線(xiàn)間的夾角為多少度？
解答與分析
答案為60度而非90度！
將此角的對(duì)邊連起來(lái)形成一個(gè)三角形，由于此三角形的每一邊均為正立方體面上的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，故此三角形為一個(gè)等邊三角形。等邊三角形的每一內(nèi)角均為60度，所以此題答案為60度。
有11種方法可使1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個(gè)數(shù)字組合成一個(gè)整數(shù)及一個(gè)分?jǐn)?shù)，且其和為100。上式為其中的一種方法，你能發(fā)現(xiàn)其他的方法嗎？
解答與分析
圖中所看到圖形是將1、25、37及28放在正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上，將正方形每一邊的中點(diǎn)連接起來(lái)可得到一個(gè)較小的正方形，這個(gè)新的正方形的頂點(diǎn)又被賦予另一個(gè)數(shù)，該數(shù)為兩側(cè)數(shù)字的差(比如說(shuō)37—25＝12，37－28＝9)。然后依此模式，重復(fù)上述步驟畫(huà)出新的正方形，直到出現(xiàn)4個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字都相同為止，在本例中為6。試問(wèn)在此限制之下最多能畫(huà)出的正方形？
解答與分析
當(dāng)?shù)谝粋€(gè)正方形中的最小數(shù)與最大數(shù)位于對(duì)角時(shí)，只要重復(fù)5次以?xún)?nèi)就可以達(dá)到目的，但只要能避免這種情況就可畫(huà)出更多的正方形。下面的解是一個(gè)中學(xué)女生所發(fā)現(xiàn)的答案。
開(kāi)始 0 2 6 13
第一次差值 2 4 7 13
第二次差值 2 3 6 11
第三次差值 1 3 5 9
第四次差值 2 2 4 8
第五次差值 0 2 4 6
第六次差值 2 2 2 6
第七次差值 0 0 4 4
第八次差值 0 4 0 4
第九次差值 4 4 4 4
這就是能畫(huà)出最多正方形的情況。
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