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  殘差散點圖  

偶遇一份關(guān)于樹木基本屬性的數(shù)據(jù)，某研究者想探討體積(y)和樹高(x1)、周長(x2)的相關(guān)關(guān)系，因變量體積y是定量變量，所以我們首選線性回歸進行分析。為了驗證模型是否滿足線性回歸的前提條件，我們可以通過殘差散點圖進行判斷。具體的判斷方法可查看本公眾號往期文章《多重線性回歸前提條件的應(yīng)對》，下圖是擬合線性回歸方程y~x1+x2，所得到殘差散點圖，縱坐標是殘差，橫坐標是預(yù)測值。

  非線性分布  

從上圖可知，我們所擬合的回歸方程存在明顯的非線性關(guān)系。當然，我們可以通過直接擬合廣義線性模型或非線性模型等，來處理非線性的問題，但這通常是最后的殺手锏，明智的做法應(yīng)該是先采用相對簡單的數(shù)據(jù)變換方法來嘗試處理該類問題。數(shù)據(jù)變換可以對自變量進行，也可以對因變量進行，但往往考慮到擬合方程后對結(jié)果的可解釋性，我們通常選擇對自變量進行變換，適用于自變量做正態(tài)變換的方法可以查看本公眾號往期文章《數(shù)據(jù)不正態(tài)，怎么辦？》。

我們先通過直方圖(見下圖)考察一下各個變量的分布情況，發(fā)現(xiàn)自變量都基本符合正態(tài)分布的情況，存在問題的正是因變量，它呈明顯的正偏峰分布。所以接下來我們考慮如何對因變量進行變換。

  Box-Cox變換公式  

除了上面遇到的例子，特別是在醫(yī)學(xué)統(tǒng)計分析中，常會遇到因變量不滿足正態(tài)分布的情況，我們就可以對因變量進行變換，Box-Cox變換是最常用的一種方法。Box-Cox變換的原理很簡單，用兩個公式就可以很好地解釋。第一個公式為：

y'=(y+c)^λ-1/[λ*g^(λ-1)]

y'是變換后的因變量；g為因變量y的幾何均數(shù)；當因變量y存在小于等于0的數(shù)據(jù)時，我們需要借助參數(shù)c對整個因變量數(shù)據(jù)進行平移，使得y+c>0；λ為最重要的變換參數(shù)，可以通過極大似然法進行估計，當所估計的λ為0時，上面的公式恒等于0，所以需要校正為以下公式：

y'=g*log(y+c)

  R語言實例  

下面我們采用R語言對開篇的例子進行Box-Cox變換以及變換后的回歸分析。

#載入car包

library(car)

#估計變換參數(shù)λ

lambada=powerTransform(y~x1+x2)

#進行Box-Cox變換

y_bc=bcPower(y,lambda$lambda)

#變換后的線性回歸

fit=lm(y_bc~x1+x2)

#查看殘差散點圖

plot(fit)

由散點圖可知，通過Box-Cox變換后，殘差散點的分布情況得到明顯的改善，基本符合前提假設(shè)。

  參考文獻  

1. Box, G. E. P. and Cox, D. R. (1964). An analysis of transformations, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 26, 211-252.

2. Kutner, M., Nachtsheim, C., Neter, J., and Li, W. (2004). Applied Linear Statistical Models, McGraw-Hill/Irwin, Homewood, IL.