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這里要介紹的是代數(shù)法求幾何最值問(wèn)題。

很多時(shí)候并一定可以直接用幾何變換等思路進(jìn)行求解。

適當(dāng)時(shí)候，我們需要考慮利用代數(shù)的思想解決問(wèn)題。

異曲同工。

【題1】

（2019·白銀）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（3）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？

【分析】

本題為線段最大值的問(wèn)題。

做過(guò)面積最大值問(wèn)題的同學(xué)，對(duì)本題應(yīng)該會(huì)有印象。求PN的最大值，也就是求△PBC的面積最大值。

所以很多時(shí)候并不需要去記憶什么鉛錘高的公式，反而需要知道如何求距離，如兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離。

本期的解法就是，先表示出鉛錘高PQ，利用三角函數(shù)得出PN的表達(dá)式即可。

【答案】

設(shè)點(diǎn)P（m，-1/3m2+1/3m+4），則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），

∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，

PN＝PQsin∠PQN

     =√2/2（-1/3m2+1/3m+4+m﹣4）

     =-√2/6（m﹣2）2+(2√2)/3，

∵-√2/6＜0，∴PN有最大值，

當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為：(2√2)/3．

【題2】

（2019·黃石）如圖，已知拋物線y=1/3x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（5，0）．

（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）定點(diǎn)D（0，m）在y軸上，若將拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到一條新的拋物線，點(diǎn)P在新的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求定點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)P之間距離的最小值d（用含m的代數(shù)式表示）

【答案】

解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：

y=1/3（x+1）（x﹣5）

  =1/3（x2﹣4x﹣5）

  =1/3x2-4/3x-5/3，

點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，﹣3）；

（3）y=1/3（x+1）（x﹣5）=1/3（x2﹣4x﹣5）=1/3（x﹣2）2﹣3，

拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到一條新的拋物線，

則新拋物線表達(dá)式為：y=1/3x2，

則定點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)P之間距離

PD=√(x2+(m-1/3 x2 )2 )

    =√(1/9 x^4+(1-2/3 m)x2+m2 )，

當(dāng)-(1-2/3 m)/(2/9)＞0，

即m＞3/2時(shí)，

PD的最小值d=√(12m-9)/2；

當(dāng)-(1-2/3 m)/(2/9)≤0，即m≤3/2時(shí)，

PD的最小值d＝|m|

∴d=|m|，當(dāng)m≤3/2時(shí)；d=√(12m-9)/2，當(dāng)m＞3/2時(shí)．

【題3】

（2019·威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且始終保持線段AB＝4√2的長(zhǎng)度不變．M為線段AB的中點(diǎn)，連接OM．則線段OM長(zhǎng)度的最小值是            （用含k的代數(shù)式表示）．

【答案】解：如圖，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，觀察圖象可知：當(dāng)線段AB與直線y＝x垂直時(shí)，垂足為M，此時(shí)AM＝BM，OM的值最小，

∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，

∴OA＝OB，

∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖象上，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，

∵AB＝4√2，

∴可以假設(shè)A（m，k/m），則B（m+4，k/m-4），

∴（m+4）（k/m-4）＝k，

整理得k＝m2+4m，

∴A（m，m+4），B（m+4，m），

∴M（m+2，m+2），

∴OM=√(2(m+2)2 )=√(2(m2^2+4m)+8)=√(2k+8)，

∴OM的最小值為√(2k+8)．

故答案為√(2k+8)．