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大家好，今天繼續(xù)分享綜合類的數(shù)學(xué)證明題！

第一題

已知：如圖正方形ABCD，P、Q分別是BC、DC上的點(diǎn)，若∠1=∠2 求證：PB+QD=PA

這道題在前面分享規(guī)律時(shí)候，講過這類題的思路初中數(shù)學(xué)出現(xiàn)正方形梯形的題目中一些規(guī)律的應(yīng)用和題目講解而這道題和之前分享的例題和練習(xí)題也非常相似,再拿過來就是因?yàn)樗?jīng)典.下面我們來看具體過程:

證明:延長PB到E，使BE=DQ，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABE=90°，
在△ABE和△ADQ中，

AB＝AD,ABE＝∠D＝90°,E＝DQ

∴△ABE≌△ADQ，
∴∠4=∠2，
∵AB⊥PE，
∵∠E=∠5=∠1+∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴∠PAE=∠3+∠4，
∴∠PAE=∠E，
∴PA=PE=PB+BE=PB+DQ．

這道題關(guān)鍵就是做輔助線,要求證兩條線段相等,我們相等等腰三角形,就延長PB到E，使BE=DQ，連接AE，證明△ABE≌△ADQ，可得到∠E=∠5=∠1+∠4，再利用已知條件PA=PE=PQ即可.本題主要是考查正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．

第二題

已知：如圖正方形ABCD，AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別是BC、OD的中點(diǎn) 求證：AF⊥EF

這道題也是和正方形有關(guān)的綜合題,好了直接看解題過程吧:

過E做EG∥AC（過E做EG⊥AC也可以）
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD即∠AOF=BOC=OCD=90°,OC=OD=OA=OB
∵E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是OD的中點(diǎn)
∴G是OB的中點(diǎn)，即OG=BG=1/2OB=1/2OD,OF=1/2OD
∴FG=OG+OF=1/2OD+1/2OD=OD=OA,GE是三角形BCO的中位線，∠BGE=∠BOC=90°
∴GE=1/2OC=1/2OD=OF,∠FGE=90°
在Rt△AOF和Rt△EFG中,OA=FG GE=OF
∴Rt△AOF≌Rt△EFG
∴∠OAF=∠GFE
∵∠OAF+∠OFA=90°
∴∠GFE+∠OFA=90°即∠AFE=90°
∴AF⊥EF

這道題考查對(duì)正方形性質(zhì)和中位線的性質(zhì),難點(diǎn)還是做輔助線構(gòu)造全等三角形,如果這些東西掌握了,輔助線的規(guī)律熟練,就好做多了.

大家看到了,正方形的經(jīng)典題目很多,但是萬變不離其宗,都和正方形的性質(zhì)與構(gòu)造輔助線分不開,下面再給大家一道題練習(xí),可以評(píng)論留言答案,或者說出思路就行:

練習(xí)：如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°．
求證：（1）EF=BE+DF；
（2）SABCD/S△EAF=2AB/EF.