以山東某縣級(jí)私立高中為例，復(fù)讀班開設(shè)11個(gè)班，本科升學(xué)率達(dá)到95%，其中過一本線考生的比例高達(dá)68.5%，各層次提分比例如下：
| 22年各段高考成績 | 23年高考提升分?jǐn)?shù) | ||
| 最低 | 最高 | 最高 | 平均 |
| 650 | 750 | 45 | 21 |
| 600 | 650 | 82 | 43 |
| 550 | 600 | 121 | 67 |
| 500 | 550 | 97 | 58 |
| 450 | 500 | 178 | 73 |
| 400 | 450 | 211 | 62 |
| 350 | 400 | 197 | 82 |
為什么經(jīng)過1年的復(fù)習(xí)，會(huì)有這么大的變化？知道學(xué)習(xí)的重要性了？更努力了？...... 究其最主要的原因是復(fù)讀生知道了高考要考什么！能站在更高的層次上，俯視相關(guān)問題，特別是考點(diǎn)，會(huì)有重點(diǎn)的突破。其中，該中學(xué)的一名考生數(shù)學(xué)成績直接提了65分！根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，高三一般單科成績提升不超過30分，這個(gè)同學(xué)可以說是打破了我以往的經(jīng)驗(yàn)！接下來我們聊一聊高中數(shù)學(xué)。
數(shù)學(xué)講求邏輯思維，高考考察的也是邏輯思維。高中數(shù)學(xué)很多難點(diǎn)就是一個(gè)字“繞”， 將自己繞出來，也就開悟了。繞不出來就一直繞，直到繞出來為止。這時(shí)你的數(shù)學(xué)素養(yǎng)又上升了一個(gè)層次！
高考數(shù)學(xué)的本質(zhì)考的就是函數(shù)，圓錐曲線也好，數(shù)列也罷，不等式也算，立體幾何弦長、距離和平面向量，三角函數(shù)等等，實(shí)際上都是函數(shù)的一個(gè)特例。其根在函數(shù)。其解題關(guān)鍵就是：根據(jù)求解的既定目標(biāo)進(jìn)行化難為易、化生為熟、化繁為簡的等價(jià)轉(zhuǎn)化。而轉(zhuǎn)化是高中階段的難點(diǎn)和痛點(diǎn)。為此，總結(jié)規(guī)律，歸納方法是快速解題的必要條件！下面我們就談一談高中階段的高考數(shù)學(xué)函數(shù)的考點(diǎn)問題：
考點(diǎn)1：函數(shù)的映射關(guān)系，判斷不同的函數(shù)解析式表示的是否為同一函數(shù)（定義域、值域、映射關(guān)系）。
考點(diǎn)2：利用函數(shù)的性質(zhì)，求奇偶性、周期性、對(duì)稱性。其中周期性單獨(dú)查考次數(shù)較多，而奇偶性和對(duì)稱性，一般都是結(jié)合函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如函數(shù)模型、函數(shù)關(guān)系的分析等，作為已知或隱含條件來使用的。此外，求解函數(shù)圖像、對(duì)稱性、零點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等需要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)。
考點(diǎn)3：求函數(shù)解析式（已知函數(shù)類型，考慮待定系數(shù)法；已知嵌套/復(fù)合函數(shù)f(g(x))解析式，考慮換元法或配湊法；已知抽象函數(shù)表達(dá)式，考慮消參法）
例1：已知f(x)+f(1/x)/3=6x，求f(x)。首先明確目標(biāo)求的是f(x),即利用x表示的f(x)表達(dá)式。不要被f(x)嚇到，考慮a+b=6x作為1式，令x=1/x，則f(1/x)+f(x)/3=6/x，即b+3/a=6/x ，求a即可。
例2：已知f(f(x))=x^2-x+1,求f(x)，設(shè)f(x) = y，則f(f(x))
= f(y) = y^2 - y + 1將原方程f(f(x)) = x^2 - x + 1帶入，得到f(y) = x^2 - x + 1對(duì)比兩個(gè)方程，可得y^2 - y + 1 = x^2
- x + 1即y^2 - x^2 - y + x = 0根據(jù)求根公式，可得y = x 或者 y = -x + 1所以f(x) = x 或者 f(x) = -x + 1。（待定系數(shù)法，方程思想）
難點(diǎn)：不理解函數(shù)自變量（邏輯上很繞，別過勁就會(huì)豁然開朗，想不明白就一直想明白為止），為什么要換元，換元后等價(jià)關(guān)系還存在嗎？其本質(zhì)是映射關(guān)系沒有理解透徹！換元的本質(zhì)也就是將復(fù)雜代數(shù)式看做一個(gè)整體，當(dāng)然也有時(shí)候需要將簡單的代數(shù)式配湊成復(fù)雜的代數(shù)式，及其逆運(yùn)算。解決任何題目的方法一定是目標(biāo)明確，做題的每一步都必須有明確的目的性！
小結(jié)：函數(shù)解析式的求解九種常見的方法：
1.代入法：已知f(x)的解析式,求f[g(x)] 的解析式.
2. 換元法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式.令g(x)=tx=(t),則f(t)=h[(t)],再將t換成x即可.但要注意換元前后變量的等價(jià)性。
3.配湊法已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式。若能將h(x)用g(x)表示, 然后用x去代換g(x),則就可以得到f(x)的解析式。
4.待定系數(shù)法根據(jù)已知函數(shù)的類型或者特征,求函數(shù)解析式。先設(shè)出函數(shù)的一般形式,再利兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的充要條件聯(lián)立解方程組,求出相關(guān)字母的值,即可得出所求函數(shù)的解析式。
5. 解方程組法若f(x)滿足某個(gè)等式,求函數(shù)f(x)的解析式。先將f(x)看作一個(gè)未知數(shù),再構(gòu)造方程,列出有關(guān)方程組,消去另外的未知數(shù)便得f(x)的解析式。
6.賦值法對(duì)于某些抽象函數(shù),通過在函數(shù)定義域內(nèi),賦予變量一些特殊值,利用函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡,從而求出函數(shù)解析式。
7.函數(shù)性質(zhì)法已知f(x)在某一區(qū)間上的表達(dá)式,求在其他區(qū)間上的表達(dá)式,常利用函數(shù)的某些性質(zhì)（奇偶性,周期性,對(duì)稱性等）實(shí)施區(qū)間轉(zhuǎn)換,再利用已知區(qū)間上的表達(dá)式求解。但要注意利用代換思想是解決圖象上的點(diǎn)滿足有關(guān)條件或?qū)ΨQ問題,從而求函數(shù)解析式的常用方法。
8.遞推歸納法若f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),則可根據(jù)已知遞推關(guān)系式,通過遞推的方法求解析式.
9.導(dǎo)數(shù)法根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=
f(x)在x 處的導(dǎo)數(shù)f1(x)就是曲線y= f(x)在點(diǎn)(x ,f(x ))處切線的斜率.再結(jié)合題目的已知條件進(jìn)行求解.
考點(diǎn)4：求函數(shù)定義域或值域
求定義域：
注意：①分母不為0②對(duì)數(shù)的真數(shù)為正③偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)④零指數(shù)幕中，底數(shù)不等于0⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)中，底數(shù)應(yīng)大于0⑥若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集⑦如果涉及實(shí)際問題，還應(yīng)使得實(shí)際問題有意義，研究函數(shù)的有關(guān)問題一定要注意定義域優(yōu)先，并且每一步都有驗(yàn)證的必要性！
求值域：
1.配方法（常用于可轉(zhuǎn)化為2次函數(shù)型函數(shù)）
2.基本函數(shù)法（常用于原型為基本函數(shù)的復(fù)合函數(shù)型函數(shù)，利用基本函數(shù)的性質(zhì)）
3.判別式法（可以轉(zhuǎn)化成2次函數(shù),將含有y的項(xiàng)作為x的系數(shù)）
已知f（x）=（2x+1）/(x^2-2x+2)，求f（x）的值域。令y=f(x)[當(dāng)然也可以直接使用f(x)],則得到一個(gè)關(guān)于含有y的二元二次方程。整理得 yx2 -(y+2)2x +2y-1 =0; 利用△≥0，即可求的y，即為函數(shù)值域。本題解題要點(diǎn)就是將y看做已知量，作為方程的系數(shù)！利用判別式進(jìn)行處理。此外，二次函數(shù)還有重要的求根公式，在圓錐曲線部分應(yīng)用非常多！
4.分離常數(shù)（分式型函數(shù)求值域，分子分母次數(shù)相同，或可以進(jìn)行因式分解化簡）
5.基本不等式求函數(shù)值域（對(duì)于分式型分子分母次數(shù)不相等，公共項(xiàng)相除，需要特別注意1正2定3相等）
難點(diǎn)：如何轉(zhuǎn)化成適用基本不等式的形式！目標(biāo)一定要明確！通過配湊項(xiàng)，公共項(xiàng)相除（分式形式）轉(zhuǎn)化為可以使用均值不等式，柯西不等式，權(quán)方和不等式等基本形態(tài)！（如果不知道的，自行上網(wǎng)搜索相關(guān)概念）。這個(gè)可以作為一個(gè)專題進(jìn)項(xiàng)專項(xiàng)訓(xùn)練，是高考中頻繁考察的考點(diǎn)，也是基本不等式與函數(shù)結(jié)合做好的命題內(nèi)容！其中對(duì)勾函數(shù)是與均值不等式聯(lián)系密切的函數(shù)。
6.函數(shù)單調(diào)性求值域或根據(jù)單調(diào)性給出值域求定義域范圍[互為逆運(yùn)算]（函數(shù)與導(dǎo)數(shù)與值域相結(jié)合，一般較為復(fù)雜的單調(diào)函數(shù)或特定區(qū)間單調(diào)的復(fù)合函數(shù)，一般高考的大題部分會(huì)出，經(jīng)典的題目就是22年全國I卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題（這道題一定要弄明白（比較繞），函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分會(huì)提高一個(gè)層次）。注意：導(dǎo)數(shù)只是函數(shù)的一個(gè)工具）
難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法一般適用于函數(shù)解析式為含有基本對(duì)數(shù)、指數(shù)、冪函數(shù)組成的復(fù)雜函數(shù)或函數(shù)高次多項(xiàng)式，屬于較為復(fù)雜級(jí)的運(yùn)算，一般做這類題目，還要結(jié)合分類討論法、參數(shù)分離法、不能參數(shù)分離的（判別式法），并且一般需要用到2次求導(dǎo)來判斷單調(diào)性。是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是高考考察的重點(diǎn)。關(guān)鍵是充分理解透徹，導(dǎo)數(shù)到底是什么，能干什么？并且高考還經(jīng)常出現(xiàn)函數(shù)恒成立，零點(diǎn)個(gè)數(shù)等典型的問題，需要利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。遇到這樣的題，建議將問題進(jìn)行化整為零，將復(fù)雜的問題分解成幾個(gè)小問題，畫流程圖，理性思路再下筆不遲。非常有效！
7.數(shù)形結(jié)合法（適用于異常復(fù)雜的函數(shù)【可表示成距離】，多數(shù)是含根式或超越函數(shù)或?qū)?yīng)基本圓錐曲線）
已知f(x)=√(x^4-3x^2-6x+13)-√(x^4-X^2+1)，求f(x)最大值。見到多個(gè)根號(hào)相加減且根號(hào)內(nèi)含高次冪首先考慮轉(zhuǎn)化為距離問題。結(jié)合考慮圓錐曲線的基本圖形。本題可化為：
√[(x-3)^2+(x^2-2)^2]-√(x-0)^2+(x^2-1)^2 ;看出來了嗎？點(diǎn)（x，x^2）到兩個(gè)點(diǎn)的距離！那么，點(diǎn)集（x，x^2）表示的圖形復(fù)合那個(gè)圓錐曲線（實(shí)際上這是轉(zhuǎn)化前根據(jù)題目特點(diǎn)要首先想到的）
8.反函數(shù)法（求反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域）
總結(jié)：
函數(shù)問題的難點(diǎn)就是轉(zhuǎn)化與化歸，常見方法有：數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化（這是解題的第一步）、整體與局部的轉(zhuǎn)化（換元）或局部與整體轉(zhuǎn)化（配湊）、相等與不等的轉(zhuǎn)化（不等式）、正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化（圖形的代數(shù)形式，軌跡問題）、空間與平面相互轉(zhuǎn)化、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)相互轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化（求根公式，判別式，待定系數(shù)法）。
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