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已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx有極小值1+ln2

（Ⅰ）求實數(shù)a的值；

（Ⅱ）設g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x），討論g（x）單調(diào)性；

（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求證：(x1-x2)/(lnx1-lnx2)＜2x2．

解：（Ⅰ）f′（x）=a﹣1/x，

∴當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e），無極值；

當a＞0時，f′（x）=a﹣1/x=0，x=1/a，

f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1/a），

單調(diào)遞增區(qū)間為（1/a，+∞），

∴x=1/a時，函數(shù)取得極小值1+ln2=1﹣ln(1/a)，

∴a=2；

（Ⅱ）解：g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x）=x﹣2lnx﹣1，

定義域為（0，+∞），g′（x）=(x-2)/x，

∴g（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；

（Ⅲ）證明：由（II）可知g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，

∴g（x）＞g（1）=0恒成立，

即x﹣2lnx﹣1＞0，x﹣1＞2lnx①

∵0＜x1＜x2，

∴0＜x1/x2＜1，

∴①化為x1/x2﹣1＞2ln(x1/x2)=2（lnx1﹣lnx2），

∵lnx1＜lnx2，

∴(x1-x2)/(lnx1-lnx2)＜2x2．

考點分析：

利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．

題干分析：

（Ⅰ）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)f（x）=ax﹣lnx有極小值1+ln2

求實數(shù)a的值；

（Ⅱ）設g（x）=3x﹣3lnx﹣1﹣f（x），利用導數(shù)的正負可得函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）由（II）可知g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，g（x）＞g（1）=0恒成立，由此證明：(x1-x2)/(lnx1-lnx2)＜2x2．