二次函數(shù)在全國中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時(shí)在省級(jí)，國家級(jí)數(shù)學(xué)競賽中也有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識(shí)都與函數(shù)知識(shí)或函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關(guān)出題老師和專家的必選內(nèi)容?，F(xiàn)總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。
幾個(gè)自定義概念：
?、偃切位灸Ｐ停河幸贿呍赬軸或Y上，或有一邊平行于X軸或Y軸的三角形稱為三角形基本模型。
?、蹌?dòng)三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運(yùn)動(dòng)變化的?；蛑辽儆幸粋€(gè)頂點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)，變化的三角形稱為動(dòng)三角形。
④動(dòng)線段：其長度是運(yùn)動(dòng)，變化，不確定的線段稱為動(dòng)線段。
⑤定三角形：三邊的長度固定，或三個(gè)頂點(diǎn)固定的三角形稱為定三角形。
⑥定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：ｙ＝３ｘ－６。
?、遆標(biāo)，Y標(biāo)：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標(biāo)稱為x標(biāo)，縱坐標(biāo)稱為y標(biāo)。
?、嘀苯觿?dòng)點(diǎn)：相關(guān)平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動(dòng)點(diǎn)稱為直接動(dòng)點(diǎn)，與之共線的問題中的點(diǎn)叫間接動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”是針對(duì)直接動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)而言的。
1.求證“兩線段相等”的問題：
借助于函數(shù)解析式，先把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點(diǎn)點(diǎn)”距離，還是“點(diǎn)軸距離”，還是“點(diǎn)線距離”，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式或點(diǎn)到x軸（y軸）的距離公式或點(diǎn)到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，把它們進(jìn)行化簡，即可證得兩線段相等。
2.“平行于y軸的動(dòng)線段長度的最大值”的問題：
由于平行于y軸的線段上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等（常設(shè)為t），借助于兩個(gè)端點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個(gè)端點(diǎn)的高低情況，運(yùn)用平行于y軸的線段長度計(jì)算公式y(tǒng)上-y下，把動(dòng)線段的長度就表示成為一個(gè)自變量為t，且開口向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動(dòng)線段長度的最大值及端點(diǎn)坐標(biāo)。
3.“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大”的問題：
?。ǚ椒?）先求出定直線的斜率，由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式（注意該直線與定直線的斜率相等，因?yàn)槠叫兄本€斜率（k）相等），再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個(gè)關(guān)于x的的一元二次方程，由題有△=0（因?yàn)樵撝本€與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，所以△=0）從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算該切點(diǎn)到定直線的距離，即為最大距離。
?。ǚ椒?）該問題等價(jià)于相應(yīng)動(dòng)三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)到直線的距離公式，求出其最大距離。
4.常數(shù)問題：
?。?）點(diǎn)到直線的距離中的常數(shù)問題：
“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離等于一個(gè)固定常數(shù)”的問題：先借助于拋物線的解析式，把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立一個(gè)方程，解此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線解析式，求出動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。
?。?）三角形面積中的常數(shù)問題：
“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之與定線段構(gòu)成的動(dòng)三角形的面積等于一個(gè)定常數(shù)”的問題：先求出定線段的長度，再表示出動(dòng)點(diǎn)（其坐標(biāo)需用一個(gè)字母表示）到定直線的距離，再運(yùn)用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用拋物線的解析式，可求出動(dòng)點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)就求出來了。
?。?）幾條線段的齊次冪的商為常數(shù)的問題：
用K點(diǎn)法設(shè)出直線方程，求出與拋物線（或其它直線）的交點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系，把問題中的所有線段表示出來，并化解即可。
5.“在定直線（常為拋物線的對(duì)稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線）上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問題：
先求出兩個(gè)定點(diǎn)中的任一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把該對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)定點(diǎn)連結(jié)得到一條線段，該線段的長度〈應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點(diǎn)就是符合距離之和最小的點(diǎn)，其坐標(biāo)很易求出（利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法）。
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