物體的運動，除了可以用物理量描述，還可以用圖象來描述。描述直線運動時，在以速度v為縱軸，時間t為橫軸的直角坐標系中，描述速度v與時間t關(guān)系的圖象，叫做速度―時間圖象或v―t圖象。v―t圖象能夠直觀的反應(yīng)物體的速度隨時間變化的規(guī)律。v―t圖象在解決物體運動的問題中有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用v―t圖象解決問題時，要明確圖象的截距、圖象上點的斜率、圖象覆蓋的面積的意義。
一、勻速直線運動的速度圖象
勻速直線運動的速度圖象是一條平行于時間軸的直線。
如圖1所示是一物體做勻速直線運動的速度圖象。圖象上各點對應(yīng)的橫、縱坐標分別表示某個時刻及該時刻對應(yīng)的速度。圖象在縱軸上的截距即為物體運動的速度，截距為正值表示速度的方向與規(guī)定的正方向相同，截距為負值表示速度的方向與規(guī)定的正方向相反。圖象與時間軸圍成的面積表示一段時間內(nèi)位移（如圖1中斜線部分面積表示物體從t1時刻到t2時刻時間段內(nèi)位移）。時間軸以上的面積表示的位移為正值，時間軸以下的面積表示的位移為負值，位移為正值表示位移的方向與規(guī)定的正方向相同，位移為負值表示位移的方向與規(guī)定的正方向相反。
二、勻變速直線運動的速度圖象
勻變速直線運動的速度圖象是一條直線。如圖2a、圖2b所示分別是勻加速直線運動的速度圖象和勻減速運動的速度圖象。
圖象上各點對應(yīng)的橫縱坐標分別表示某個時刻及該時刻對應(yīng)的速度。速度是正值表示物體的運動方向與規(guī)定的正方向相同，速度是負值表示物體的運動方向與規(guī)定的正方向相反。t=0時刻，若v―t圖象與縱軸有截距，表示計時開始時物體運動的速度（初速度）不為零，截距為正值表示初速度的方向與規(guī)定的正方向相同，截距為負值表示初速度的方向與規(guī)定的正方向相反；若圖象與橫軸有截距，則表示從計時開始時一段時間后物體才開始運動。
圖象上A、B兩點的橫坐標之差△t=t2—t1表示一段時間，縱坐標之差△v=v2—v1表示在這段時間內(nèi)物體速度的變化量。圖象與橫軸正向夾角的正切值tanα=△v/△t，也就是直線的斜率k，就是物體加速度，k>0表示物體做勻加速運動，k<0表示物體做勻減速運動。
圖象與橫軸所圍的“面積”表示一段時間內(nèi)物體的位移（如圖2a中斜線部分面積表示物體從t1時刻到t2時刻時間段內(nèi)位移）。面積在橫軸上方位移為正值，面積在橫軸下方位移為負值，面積的代數(shù)和表示物體在對應(yīng)的時間段內(nèi)發(fā)生位移的大小。位移為正值表示位移的方向與規(guī)定的正方向相同，位移為負值表示位移的方向與規(guī)定的正方向相反。
例題1.質(zhì)點做直線運動的v-t圖象如圖3所示，規(guī)定向右為正方向，則該質(zhì)點在前8s內(nèi)平均速度的大小和方向分別為
A．0.25m/s，向右 B．0.25m/s，向左 C．1m/s ，向右 D．1m/s，向左。
分析和解：質(zhì)點的v-t圖象與x軸所圍成的面積的大小等于質(zhì)點位移。由v-t圖象得質(zhì)點在前8s內(nèi)的位移S=×3s×2m/s—
×（8s－3s）×2m/s=—2m。（負號表示位移方向與規(guī)定正方向相反）
由得前8秒內(nèi)平均速度
=―0.25m/s（負號表示平均速度方向與規(guī)定正方向相反即方向向左）。所以B正確。
例題2．甲乙兩車在一平直道路上同向運動，其v―t圖像如圖4a所示，圖中△OPQ和△OQT的面積分別為S1和S2（S2>S1）。初始時，甲車在乙車前方S0處。
A．若S0＝S1＋S2，兩車不會相遇 B．若S0＜S1，兩車相遇2次
C．若S0＝S1，兩車相遇1次 D．若S0＝S2，兩車相遇1次
分析和解：在OT時間段取時刻T1，則OT1時間段內(nèi)乙車比甲車多行駛的位移大小S3等于四邊形OPAB的面積（如圖4b所示），且S3≤S1。
若S0＝S1＋S2 ，因S3≤S1＜S1＋S2＝S0 ，所以在OT時間段內(nèi)乙車無法追上甲車。A正確。
若S0＜S1，在OT時間段內(nèi)一定存在某一時刻T2，使S3＝S0，T2時刻便是乙車追上甲車的時刻。T2～T時間段內(nèi)，乙車的速度大于甲車的速度，甲車便落在乙車后面。過了T時刻后，由于甲車的速度大于乙車的速度，所以在T時刻以后，一定存在一個甲車追上乙車的時刻T3，這時甲乙兩車第二次相遇。過了T3時刻以后，由于甲車的速度大于乙車的速度，所以乙車不能再追上甲車，也就是說甲乙兩車不可能第三次相遇。所以B正確。
若S0＝S1，在T時刻S3＝S1，此時S3＝S0，所以T時刻乙車追上甲車。過了T時刻后，由于甲車的速度大于乙車的速度，所以在T時刻以后，乙車便會落在甲車的后面且不會再追上甲車。所以C正確。
若S0＝S2，則在OT時間段內(nèi)，因S3≤S1＜S2＝S0 .。所以O(shè)T時間段內(nèi)，乙車無法追上甲車，過了T時刻后甲車速度大于乙車的速度，乙車更不可能追上甲車。所以D錯誤。
例題3．已知O、A、B、C為同一直線上的四點、AB間的距離為l1，BC間的距離為l2,一物體自O(shè)點由靜止出發(fā)，沿此直線做勻加速運動，依次經(jīng)過A、B、C三點，已知物體通過AB段與BC段所用的時間相等。求O與A的距離。
分析和解：設(shè)物體從O點運動到A點所用的時間為t1，通過AB段與BC段所用的時間是△t。規(guī)定從O到A的方向為正方向。根據(jù)題意得物體運動的v-t圖象如圖5所示。
因物體在B點處的瞬時速度等于AC段的平均速度，所以……①
由圖象得……②
由①、②兩式得
由（直線的斜率），得
由圖象得O與A的距離
例題4．甲乙兩運動員在訓練交接棒的過程中發(fā)現(xiàn)：甲經(jīng)短距離加速后能保持9m/s的速度跑完全程，乙從起跑后到接棒前的運動是勻加速的，為了確定乙起跑的時機，需在接力區(qū)前適當?shù)奈恢迷O(shè)置標記，在某次練習中，甲在接力區(qū)前S0＝13.5m處作了標記，并以v=9m/s的速度跑到此標記時向乙發(fā)出起跑口令，乙在接力區(qū)的前端聽到口令時起跑，并恰好在速度達到與甲相同時被甲追上，完成交接棒，已知接力區(qū)的長度為L=20m。求：
（1）此次練習中乙在接棒前的加速度a；
（2）在完成交接棒時乙離接力區(qū)末端的距離。
分析和解：設(shè)乙從起跑到與甲速度相同所用時間為t1，根據(jù)題意作甲乙v-t圖象如圖6所示。由題意得，在t1時間內(nèi)甲比乙多跑的距離是S0。由圖象可知△OAB的面積是甲比乙多跑的距離。所以，代入數(shù)據(jù)得13.5＝×9t1。解得t1＝3s。
（1）乙在接棒前的加速度＝3m/s2。
由圖象得t1時間內(nèi)乙跑的距離＝S0＝13.5m.在完成交接棒時乙離接力區(qū)末端的距離S＝L―S0＝20m―13.5m＝6.5m。
例題5．A、B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛。當B車在A車前84m處時，B車速度為4m/s，且正以2m/s2的加速度做勻加速運動；經(jīng)過一段時間后，B車加速度突然變?yōu)榱?。A車一直以20m/s的速度做勻速運動。經(jīng)過12s后兩車相遇。問B車加速行駛的時間是多少？
分析和解：設(shè)A車的速度為vA，B車的初速度為vO，加速度為a,則vA＝20m/s，vO＝4m/s，a＝2m/s2。若經(jīng)過時間t,0，B車的速度達到20m/s由勻變速直線運動的速度公式得VA＝V0＋at0，代入數(shù)據(jù)得20m/s＝4m/s＋2m/s2×t0。解得t0＝8s。8s內(nèi)A車行駛的距離SA＝VAt0＝160m.B車行駛的距離SB＝（V0＋VA）t0＝×（4m/s＋20m/s）×8s＝96m。
因SA＜SB＋84m。所以B車加速8s后，A車不會追上B車，也就是說，要使A車追上B車，B車的加速時間要小于8s，B車加速后的最大速度不會超過20m/s。
設(shè)B車的加速時間為t1，根據(jù)上述分析和題意，作出A、B兩車的v-t圖象如圖7所示。由勻變速直線運動的速度公式，得B車加速t1時間的末速度vB＝v0＋at1＝4＋2t1。
由圖象得：12s時間內(nèi)A車行駛的距離XA＝20m/s×12m＝240m。
B車行駛的距離XB＝＝×(4＋4＋2t1)＋(4＋2t1)(12―t1)＝48＋24t1―t12。
由XA＝XB＋84得240＝48＋24t1―t12 ＋84.解得t1＝6s或t1＝18s（舍去）
例題6．甲乙兩輛汽車都從靜止出發(fā)做加速直線運動，加速度方向一直不變。在第一段時間間隔內(nèi)，兩輛汽車的加速度大小不變，汽車乙的加速度大小是甲的兩倍；在接下來的相同時間間隔內(nèi)，汽車甲的加速度大小增加為原來的兩倍，汽車乙的加速度大小減小為原來的一半。求甲乙兩車各自在這兩段時間間隔內(nèi)走過的總路程之比。
分析和解：設(shè)兩段時間段的時間間隔為T，根據(jù)題意得甲、乙兩車的v-t圖象如圖8所示。由作圖過程可得，四邊形OACB為平行四邊形。
在O～T時間段，設(shè)甲車加速度為，乙車加速度為，則＝2。
在T～2T時間段，甲車加速度，乙車加速度。
由圖象得……①，……②，
……③
由①、②兩式得 V2＝2V1，由①、③兩式得V3＝3V1。
由圖象得：
甲車在這兩段時間間隔內(nèi)走過的總路程
乙車在這兩段時間間隔內(nèi)走過的總路程
所以甲乙兩車各自在這兩段時間間隔內(nèi)走過的總路程之比。
例題7．短跑名將博爾特在北京奧運會上創(chuàng)造了100m和200m短跑項目的新世界紀錄，他的成績分別是9．69s和l9．30s。假定他在100m比賽時從發(fā)令到起跑的反應(yīng)時間是0．15S，起跑后做勻加速運動，達到最大速率后做勻速運動。200m比賽時，反應(yīng)時間及起跑后加速階段的加速度和加速時間與l00m比賽時相同，但由于彎道和體力等因素的影響，以后的平均速率只有跑l00m時最大速率的96％。求：
(1)加速所用時間和達到的最大速率；
(2)起跑后做勻加速運動的加速度。(結(jié)果保留兩位小數(shù))
分析和解：設(shè)加速時間為t1，加速后的最大速度為vm 。根據(jù)題意作出100m跑的v-t圖象如圖9所示。折線OABC，200m跑的v-t圖象如圖11所示折線OABDE。
（1）由圖象可得：100＝Vmt1＋Vm[9.69―(t1＋0.15）)]……①
200＝Vmt1＋0.96Vm[19.30―(t1＋0.15）)]……②
由①、②兩式得Vm＝11.24m/s.t1＝1.29s。
（2）由圖象得起跑后做勻加速運動的加速度
由上述例題可以看出，利用v-t圖象分析解決勻變速直線運動的問題直觀、簡捷。利用圖像解決問題有著其他方法不可替代的優(yōu)點。利用圖象解決問題的關(guān)鍵是正確理解圖象的含義和正確作出圖象。
三、一般變速直線運動
這里所說的一般變速直線運動是指物體運動的速度大小、方向隨時間不斷變化的運動，包括往復直線運動。這類運動的速度圖象多為比較復雜的曲線。
例題8．某質(zhì)點運動的圖象如圖10所示，則質(zhì)點做（ ）
A．來回往復運動 B．勻變速直線運動 C．朝某一方向的直線運動 D．不能確定
分析和解：因圖象是折線而不是直線，所以質(zhì)點不會做勻變速直線運動，B錯誤。由圖象可知，質(zhì)點的運動速度始終大于零，所以質(zhì)點的速度方向始終不變；因為圖象與時間軸所圍成的面積隨時間的增加而增大，所以質(zhì)點一直向前運動，不會往復運動，因此質(zhì)點的運動是朝某一方向的直線運動，故A錯誤，C正確。
例題9．一物體放在光滑水平面上，初速為零，先對物體施加一向東的恒力F，歷時0.5s，隨即把此力改為向西，大小不變，歷時1s；接著又把此力改為向東，大小不變，歷時1s；如此反復，只改變力的方向，共歷時10s，在此10s內(nèi)，物體的運動狀況是（ ）B
A．時而向東，時而向西，在10s末靜止于初始位置之東
B．時而向東，時而向西，在10s末靜止于初始位置
C．時而向東，時而向西，在10s末繼續(xù)向東運動
D．一直向東，從不向西，在10s末靜止于初始位置之東
分析和解：規(guī)定向東為正方向。根據(jù)題意，作出物體運動的圖象。物體在0～0.5s時間內(nèi)向東做初速為零的勻加速直線運動，接著在0.5s～1s時間向東做勻減速直線運動，1s末速度為零，再接著在1s～1.5s 內(nèi)向西勻加速直線運動，1.5s～2s內(nèi)向西勻減速直線運動，2是末速度為零。如此反復，10s末速度為零。因為每奇數(shù)秒內(nèi)物體位移都向東，偶數(shù)秒內(nèi)物體的位移都向西，所以物體時而向東，時而向西。由于時間軸上方圖象與時間軸圍成的面積等于時間軸下方圖象與時間軸圍成的面積，所以10s內(nèi)物體的位移為零。物體最終靜止于初始位置。故B正確。
例題10．如圖12為物體沿直線運動的v-t圖象，則在時間t內(nèi)，物體的平均速度和加速度a是（ ）
A．＞，a隨時間減小 B．＝， a恒定
C．＜，a隨時間減小 D．無法確定
分析和解：在v-t圖象上，連接A、B，則A點對應(yīng)的速度為vo ，B點對應(yīng)的速度為vt ，線段AB對應(yīng)的是初速為vo末速為vt的勻加速直線運動。設(shè)曲線AB與時間軸圍成的面積是S1 ，線段AB與時間軸圍成的面積是S2 ，則S1＞S2 。AB中點C對應(yīng)的速度為vc＝。由圖象可知，＝，vc＝ ， 所以＞vc＝。又因為隨時間增大，曲線AB上點的斜率（加速度）逐漸減小，所以a隨時間減小。故A正確。
利用圖象解題時，要注意區(qū)分圖象中相關(guān)物理量正負值的物理意義，注意分析各不同函數(shù)形式的圖線所表征的物理過程，注意圖線的物理意義，要注意物體運動的軌跡與v―t圖象無直接關(guān)系。
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