勻速圓周運動
專題二 圓周運動的實例分析
專題三 萬有引力定律
專題四 人造地球衛(wèi)星
［教學過程］
專題一 勻速圓周運動
1. 運動條件：
（1）物體做曲線運動條件：一個物體做曲線運動，速度方向肯定時刻變化，說明曲線運動是變速運動，有加速度，F合≠0，如果F合與運動方向在一直線上，物體作變速直線運動，只有F合的方向與v運動方向有夾角（0＜θ＜180°）時，物體做曲線運動。
（2）物體做勻速圓周運動條件：（需要）F向＝F合（提供）
可見F合大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心。
注：
2. 描述圓周運動的運動學物理量：
（3）周期：T
描述速度方向變化的快慢。
注：①勻速圓周運動中，、T、n、R不變，v、a向時刻變化（方向）。
時值。
3. 描述圓周運動的動力學物理量：向心力。
（1）向心力來源：向心力是根據(jù)力的作用效果來命名的，不是什么特殊性質(zhì)的力，是由物體的實際受力來提供，可以是F引，重力，彈力，摩擦力等，可以是它們的合力，也可以是某個力的分力。舉例：
天體運轉(zhuǎn)：F向=F引
水平轉(zhuǎn)盤上跟著勻速轉(zhuǎn)動的物體 F向=f靜。
（彈簧）繩拉小球在光滑水平面勻速轉(zhuǎn)動 F向=T（F向=f彈）
F向=N （mg=f靜）
帶電粒子垂直射入勻強磁場勻速圓周 F向=f洛
電子繞原子核旋轉(zhuǎn) F向=F庫
圓錐擺：F向=F合（重力和彈力的合力）
繩拉小球在豎直面作變速圓周
（3）向心力方向：總是沿半徑指向圓心，與速度方向永遠垂直。
（4）作用效果：只改變線速度方向，不改變線速度大小。
專題二 圓周運動的實例分析
1. 研究圓周運動的基本方法：（利用牛頓第二定律研究）
（1）確定研究對象。
（2）確定圓運動的軌道平面和圓心的位置，以便確定向心力的方向。
（3）受力分析，在半徑方向指向圓心和垂直半徑方向建坐標軸，（不在坐標軸上力可進行分解）。
（4）列方程：
如半球形碗的光滑內(nèi)表面，小球水平圓周運動，F向=Nx，
豎直圓周運動，F向=N－mg
2. 豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題：
（1）繩拉小球，在光滑軌道由于繩是軟的，只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力，不能產(chǎn)生小球支持力，故小球通過最高點臨界條件：
（2）物體支撐小球（桿，管壁）：
由于輕桿對小球既能產(chǎn)生拉力（向下），也可產(chǎn)生支持力（向上），所以小球通過最高點臨界條件：
注：
度。
專題三 萬有引力定律
1. 分析天體運動基本方法：
2. 估算中心天體質(zhì)量M，平均密度ρ：測其它天體繞中心天體運動半徑r，周期T，則
注：當衛(wèi)星沿天體表面繞天體運行，r=R0，則：
3. 萬有引力和重力：
在地球表面：由于地球自轉(zhuǎn)，地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)需向心力，重力實際上是萬有引力的一個分力。
從赤道→兩極，g逐漸增大。
注：
4. 衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度a1和物體隨地球自轉(zhuǎn)向心加速度a2。
專題四 人造地球衛(wèi)星
1. 解決衛(wèi)星問題思路：以地心為圓心做勻速圓周運動 F向=F引
2. 衛(wèi)星繞行速度、角速度，周期與軌道半徑r關系：r=R+h
3. 運行速度和發(fā)射速度：
發(fā)射速度：r↑ v發(fā)射↑（原因：升空過程克服地球引力（G）做功）
（1）第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：人造地球衛(wèi)星最大的運行速度，最小發(fā)射速度。7.9km/s
4. 地球同步衛(wèi)星：
（1）T=T自轉(zhuǎn)，相對地球靜止
（2）軌道平面：赤道平面上
（3）同步衛(wèi)星運行v，運行高度h定值 h=r－R=36000km，v=3.1km/s。
【典型例題】
例1.
A. 6.0N的拉力 B. 6.0N的壓力
C. 24N的拉力 D. 24N的壓力
答案：B
解析：解法一：設小球以速率v0通過最高點時，球?qū)U的作用力恰好為零，即
如下圖示為小球的受力情況圖
解法二：設桿對小球的作用力為FN（由于方向未知，設為向下）
如圖所示，由向心力公式得：
負號說明FN的方向與假設方向相反，即向上。
例2. （2004年，江蘇南通模擬）如圖所示為宇宙中有一個恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O運行軌道近似為圓，天文學家觀測得到A行星運動的軌道半徑為R0，周期為T0。
（1）中央恒星O的質(zhì)量是多大？
（2）長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t0時間發(fā)生一次最大的偏離，天文學家認為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設其運行軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離。根據(jù)上述現(xiàn)象及假設，你能對未知行星B的運動得到哪些定量的預測。
分析：（1）設中央恒星質(zhì)量為M，A行星質(zhì)量為m，則有
（2）由題意可知：A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔t0時間相距最近
例3. （2004年，北京）如圖所示，abc是光滑的軌道，其中ab是水平的，bc為與ab相切的位于豎直平面內(nèi)的半圓，半徑R=0.30m。質(zhì)量m=0.20kg的小球A靜止在軌道上，另一質(zhì)量M=0.60kg、速度v0=5.5m/s的小球B與小球A正碰。已知相碰后小球A經(jīng)過半
（1）碰撞結(jié)束時，小球A和B的速度的大??；
（2）試論證小球B是否能沿著半圓軌道到達c點。
分析：小球B與小球A碰撞，動量守恒；碰撞后小球A、B沿bc軌道運動，機械能守恒；小球A離開c點后做平拋運動，小球B能否到達c點可用假設推理法進行分析判斷。
半圓最高點的速度，t表示小球A從離開半圓最高點到落在軌道上經(jīng)過的時間，則有
（2）假定B球剛能沿著半圓軌道上升到c點，則在c點時，軌道對它的作用力等于零。以vc表示它在c點的速度，vb表示它在b點相應的速度，由牛頓定律和機械能守恒定
例4. （2004年全國理綜一，23）在勇氣號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v0，求它第二次落到火星表面時速度的大小。計算時不計火星大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T，火星可視為半徑為r0的均勻球體。
解析：以g’表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的質(zhì)量，m表示火星的衛(wèi)星質(zhì)量，m’表示火星表面處某一物體的質(zhì)量，由萬有引力定律和牛頓第二定律，有
例5. 我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“神舟”五號載人試驗飛船。飛船繞地球14圈后，地面控制中心發(fā)出返回指令，飛船啟動制動發(fā)動機，調(diào)整姿態(tài)后，在內(nèi)蒙古中部地區(qū)平安降落。
（1）假定飛船沿離地面高度為300km的圓軌道運行，軌道半徑為___________；其運行周期為___________min；在該高度處的重力加速度為___________（已知地球半徑為
（2）飛船脫離原來軌道返回大氣層的過程中，其重力勢能將___________，動能將___________，機械能將___________（均填“增大”“減小”或“不變”）。
解析：（1）試驗飛船在離地300km的圓軌道上運動時只受地球引力的作用，該力是飛船的向心力，也可認為是飛船在該處所受的重力，所以飛船的軌道半徑為：
由于萬有引力等于向心力，所以有：
代入數(shù)據(jù)得飛船的運行周期T=90.8min
飛船在該高度處的重力加速度為：
（2）飛船啟動制動發(fā)動機之后，其運行的軌道半徑將逐漸變小，由于其軌道的變化比較慢，所以降落過程中的任一時刻，仍認為飛船滿足勻速圓周運動的條件，其線速度增大。由于克服大氣阻力（或制動力）做功，所以它的機械能將減小。
【模擬試題】
1. 如圖所示，兩個半徑不同而內(nèi)壁光滑的半圓軌道固定于地面，一個小球先后從與球心在同一水平高度的A、B兩點由靜止開始自由下滑，通過軌道最低點時（ ）
A. 小球?qū)绍壍赖膲毫ο嗤?/span> B. 小球?qū)绍壍赖膲毫Σ煌?/span>
C. 此時小球的向心加速度不相等 D. 此時小球的向心加速度相等
2. 如圖所示，在固定的圓錐形漏斗的光滑內(nèi)壁上，有兩個質(zhì)量相等的小物塊A和B，它們分別緊貼漏斗的內(nèi)壁，在不同的水平面上做勻速圓周運動，則（ ）
（1）物塊A的線速度大于物塊B的線速度
（2）物塊A的角速度大于物塊B的角速度
（3）物塊A對漏斗內(nèi)壁的壓力大于物塊B對漏斗內(nèi)壁的壓力
（4）物塊A的周期大于物塊B的周期
以上說法正確的是（ ）
A. （1）（2） B. （3）（4）
C. （1）（4） D. （2）（3）
3. 2005·無錫 質(zhì)量不計的輕質(zhì)彈性桿P插入桌面上的小孔中，桿的另一端套有一個質(zhì)量為m的小球，今使小球在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運動，且角速度為，則桿的上端受到球?qū)ζ渥饔昧Φ拇笮椋?/span> ）
A. B.
C. D. 不能確定
4. 2005·湖北 在水平放置的圓盤上有A、B、C、D四個木塊，，，，木塊與圓盤間的動摩擦因數(shù)相同。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，木塊在圓盤上位置如圖所示。使圓盤轉(zhuǎn)動起來并逐漸地加快轉(zhuǎn)速，當轉(zhuǎn)速達到一定程度時，木塊開始打滑，下列描述正確的是（ ）
A. A最先打滑，C最后打滑
B. C最先打滑，A最后打滑
C. A和D一起打滑
D. B和C一起打滑
5. （北京四中）（4分）長為L的輕繩的一端固定在O點，另一端拴一個質(zhì)量為m的小球。先令小球以O為圓心，L為半徑在豎直平面內(nèi)做圓周運動，小球能通過最高點，如圖所示。g為重力加速度，則（ ）
A. 小球通過最高點時速度可能為零
B. 小球通過最高點時所受輕繩的拉力可能為零
C. 小球通過最低點時速度大小可能等于
D. 小球通過最低點時所受輕繩的拉力可能等于5mg
6. （05年河南）（6分）質(zhì)量為m的石塊從半徑為R的半球形的碗口下滑到碗的最低點的過程中，如果摩擦力的作用使得石塊的速度大小不變，如圖所示，那么（ ）
A. 因為速率不變，所以石塊的加速度為零
B. 石塊下滑過程中受的合外力越來越大
C. 石塊下滑過程中的摩擦力大小不變
D. 石塊下滑過程中的加速度大小不變，方向始終指向球心
7. （05年河南）（6分）一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為R，甲、乙兩物體的質(zhì)量分別為M與m（M>m），它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的倍，兩物體用一根長為（）的輕繩連在一起，如圖所示，若將甲物體放在轉(zhuǎn)軸的位置上，甲、乙之間接線剛好沿半徑方向拉直，要使兩物體與轉(zhuǎn)盤之間不發(fā)生相對滑動，則轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)的角速度最大值不得超過（ ）
A. B.
C. D.
8. 如圖所示，一內(nèi)壁粗糙的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)形的半徑為R（比細管的直徑大得多）。在圓管中有一個直徑比細管內(nèi)徑略小些的小球（可視為質(zhì)點），小球的質(zhì)量為m，設某一時刻小球通過軌道的最低點時對管壁的壓力為6mg。此后小球便做圓周運動，經(jīng)過半個圓周恰能通過最高點，則此過程中小球克服摩擦力所做的功為（ ）
A. B. C. D.
9. 在圓軌道上運動的質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，它到地面的距離等于地球半徑R。地面上的重力加速度為g，則（ ）
A. 衛(wèi)星運動的速度為 B. 衛(wèi)星運動的周期為
C. 衛(wèi)星運動的加速度為 D. 衛(wèi)星的動能為
10. （天津理綜，21）（6分）土星周圍有美麗壯觀的“光環(huán)”，組成環(huán)的顆粒是大小不等，線度從1到10m的巖石、塵埃，類似于衛(wèi)星，它們與土星中心的距離從延伸到。已知環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運動的周期約為14h，引力常量為，則土星的質(zhì)量約為（估算時不考慮環(huán)中顆粒間的相互作用）（ ）
A. B.
C. D.
11. 2005·宣武 均勻分布在地球赤道平面上空的三顆同步通信衛(wèi)星能夠?qū)崿F(xiàn)除地球南北極等少數(shù)地區(qū)外的“全球通信”，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，同步衛(wèi)星所在軌道處的重力加速度為，地球自轉(zhuǎn)周期為T，下面列出的是關于三顆衛(wèi)星中任意兩顆衛(wèi)星間距離s的表達式，其中正確的是（ ）
（1） （2） （3）
（4） （5）
A. （1）（3） B. （2）（4）
C. （4）（5） D. （2）（3）
12. （04·西城區(qū)（物））我國發(fā)射的風云一號氣象衛(wèi)星是極地衛(wèi)星，衛(wèi)星飛過兩極上空，其軌道平面與赤道平面垂直，周期為12h；我國發(fā)射的風云二號氣象衛(wèi)星是地球同步衛(wèi)星，周期是24h。由此可知，兩顆衛(wèi)星相比較（ ）
A. 風云一號氣象衛(wèi)星距地面附近
B. 風云一號氣象衛(wèi)星距地面較遠
C. 風云一號氣象衛(wèi)星的運動速度較大
D. 風云一號氣象衛(wèi)星的運動速度較小
13. （04·鄭州市）某星球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的9倍，半徑約為地球半徑的一半，若從地球表面高h處平拋一物體，射程為60m，則在該星球上，從同樣高度以同樣的初速度平拋同一物體，射程應為（ ）
A. 10m B. 15m C. 90m D. 360m
14. 如圖所示，質(zhì)量為的小球用細線拴住，線長，細線所受拉力達到時就會被拉斷。當小球從圖示位置釋放后擺到懸點的正下方時，細線恰好被拉斷。若此時小球距水平地面的高度，重力加速度，求小球落地處到地面上P點的距離。（P點在懸點的正下方）
15. 如圖所示，支架的質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)軸O處用長為L的輕桿連接一質(zhì)量為m的小球，M=3m。小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動。若小球恰好通過最高點，求：
（1）小球在最高點的速度。
（2）小球在最低點時小球的速度。
（3）小球在最低點時桿對小球的拉力。
（4）小球在最低點時支架對地面的壓力。
16. （廣東物理，15）（13分）已知萬有引力常是G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運轉(zhuǎn)周期，地球的自轉(zhuǎn)周期，地球表面的重力加速度g。某同學根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：
同步衛(wèi)星繞地心作圓周運動，由得。
（1）請判斷上面的結(jié)果是否正確，并說明理由，如不正確，請給出正確的解法和結(jié)果。
（2）請根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方法并解得結(jié)果。
17. 2005·株州 宇航員站在一星球表面，沿水平方向以的初速度拋出一個小球，測得拋出點的高度為h，拋出點與落地之間的水平距離為L。已知該星球的半徑為R，求該星球的第一宇宙速度。（即人造衛(wèi)星在該星球表面做勻速圓周運動必須具有的速度）
18. 某勻質(zhì)星球的半徑為R，密度為。
（1）有一衛(wèi)星環(huán)繞該星球做圓周運動，求衛(wèi)星的最小周期。
（2）若該星球的自轉(zhuǎn)周期為T，在其赤道上有一質(zhì)量為m的物體，求該物體的加速度和受到的支持力。
（3）組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最小自轉(zhuǎn)周期，如果小于該自轉(zhuǎn)周期，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近物體的圓周運動。求最小自轉(zhuǎn)周期。
【試題答案】
1. AD 2. C 3. C 4. CD 5. B 6. D
7. D 8. A 9. BD 10. D 11. D 12. AC
13. A 14. 2m
15. （1） （2） （3） （4）
16. （1）上面結(jié)果錯誤，地球半徑R不能忽略，
正確解法：
（2）方法一：對月球
方法二：在地球附近 F引=G
17.
18. （1）
（2）
（3）
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