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建立適當?shù)目臻g直角坐標系，將有關向量坐標化是解題的基礎，然后通過向量的坐標運算使問題獲解。牢固掌握并靈活運用空間向量的直角坐標運算法則，空間向量位置關系的判斷（運算法則）是解題的關鍵。

例1、如圖，正三棱柱

的底面邊長為a，側棱長為。

（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，并寫出A、B、A1、C1的坐標；

（2）求AC1與側面ABB1A1所成的角。

分析：（1）可建立不同的坐標系，來確定所求點的坐標。（2）取A1B1中點M，將所求的角轉化為

的夾角。

解法1：（1）以A為坐標原點，AB所在直線為y軸，

所在直線為z軸，以過原點且垂直于平面的直線為x軸建立空間直角坐標系，如圖3。

則A（0，0，0）、B（0，a，0）、A1（0，0，

）、C1（）

（2）取A1B1的中點M，則M（0，

，）

連AM、MC1，得

，且＝（0，a，0），＝（0，0，）

由

所以

與AM所成的角就是AC1與側面ABB1A1所成的角。

因為

，

所以

又

于是有

所以

所成的角，即AC1與側面ABB1A1所成的角為30°

解法2：（1）以線段AB中點O為坐標原點，直線和CO、OB、OM（M為A1B1的中點）分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖示，易得A（0，

，0）、B（0，，0），A1（0，）、C1（）。

（2）連C1M、AM，由（0，0，

），得＝（），

因為C1M垂直于坐標平面yOz，即垂直于側面ABB1A1

所以

，則∠C1AM是AC1與側面ABB1A1所成的角

因為tan∠C1AM＝

所以∠C1AM＝30°，即AC1與側面ABB1A1成30°角

說明：點的坐標依賴于坐標系，即選取的坐標系不同，同一點的坐標也不同，但不影響線面之間的位置關系。因此，要選取恰當?shù)淖鴺讼?，使有關點的坐標盡可能簡單。掌握空間點的坐標的求法是空間坐標運算的難點。

例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，側棱SA⊥底面AC，SA＝AB＝BC＝a，AD＝2a。

（1）求證：平面SAC⊥平面SCD；

（2）求二面角A—SD—C的大?。?/p>

（3）求異面直線SD與AC所成的角；

（4）設E為BD的中點，求SE與平面SAC所成的角。

分析：空間中的三種角都是轉化成平面內的角來定義和度量的，這是解答本題的關鍵。

證明：（1）以A為原點，AB、AD、AS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖6。則A（0，0，0）、S（0，0，a）、C（a，a，0）、D（0，2a，0），于是

＝（0，0，a），＝（－a，－a，a），＝（－a，a，0）

所以

所以CD⊥SA，CD⊥SC，因而CD⊥平面SAC

因為CD

平面SCD

所以平面SAC⊥平面SCD

（2）過A作AF⊥SD，過C作CG⊥SD，則

的夾角就是二面角A—SD—C的平面角。易知F（0，），G（0，），則

于是

所以

所以二面角A—SD—C的大小為

（3）因為

＝（0，2a，－a），＝（a，a，0）

所以

所以SD與AC所成的角為

（4）因CD⊥平面SAC，則

為平面SAC的法向量，＝（－a，a，0）。又E為BD的中點，則E（，a，0）

所以

所以

所以SC與平面SAC所成的角為

說明：在解有關空間角的計算問題時，應按“一作、二證、三計算”的步驟進行。最后寫表達式時，必須注意角的取值范圍。

例3、如圖，在底面是棱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝

，點E在PD上，且PE：ED＝2：1，在棱PBC上是否存在一點F，使BF//平面AEC？證明你的結論。

分析：依題設條件可構造空間直角坐標系，然后用假設法，即假設滿足條件的點F存在，證得

線性表示即可。

證明：在△ABP中，易證

，則PA⊥AB。同理可證PA⊥AD，于是PA⊥平面ABCD。故可以A為原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系，如圖7，則A（0，0，0），B（），C（）、D（0，a，0）、P（0，0，a）。作EG//PA交AD于G，由PE：ED＝2：1，得，則E（0，，），所以，＝（），。

設F是PC上的點，

（其中0<><>

，）

再設

，得

解得

即

時，，即當F是PC中點時，共面。

又

平面AEC，所以當F是PC中點時BF//平面AEC

說明：本題無明顯的建系條件，尚需通過論證尋找垂直關系建系，此為構造建系法。