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欲證不等恒成立，差值函數(shù)求值域

(南寧許興華選編)

對于比較簡單的不等式恒成立證明問題，往往采取構(gòu)造差值函數(shù)，結(jié)合判斷正負的方法進行解決。下面我們以幾道高考試題為例，談一下這類問題的解決方法。

一.高考真題解析

[謀定思路有方向]

由導(dǎo)數(shù)公式，將已知不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式:

則a不小于lnx-x的最大值.而求這個函數(shù)的最值恰是導(dǎo)數(shù)的強項.

由符號法則可知，不等式

適當(dāng)變形，構(gòu)造出新的函數(shù)，從何獲得證明.

[規(guī)范解答不失分]

【解后反思要升華】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識，通過運用導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題，考查了學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力以及計算能力，同時也考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。

問題（I）求函數(shù)a的取值范圍，其基本思路是將已知不等式

多次等價轉(zhuǎn)換，分離出參數(shù)a，轉(zhuǎn)而利用
的最大值（如果g(x)存在最大值）”，原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)的最大值;或者將原不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式的最大值不大于零。而求函數(shù)的最值恰好發(fā)揮了導(dǎo)數(shù)的解題功能。

對于問題（II），一個非常自然的想法是分兩種情況討論f(x)的符號，這是通法，方法1恰好支持了這一觀點;如果換個角度思考，討論f(x)=(x+1)lnx-x+1的符號，實質(zhì)上就是討論（x+1）[lnx-(x-1)/(x+1)]的取值符號。注意到p(1)=0,下面的思路就自然產(chǎn)生了:p(1)是函數(shù)p(x)的最值嗎？如果是，那么函數(shù)p(x)就有統(tǒng)一的取值符號；如果不是，我們在看p(x)是否是單調(diào)函數(shù)？如果是，那么函數(shù)p(x) 在x=1左右兩側(cè)的取值符號也清楚了。這種有序的猜想、嘗試、證明等思維方式，正是破解綜合問題應(yīng)有的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【變式思考1】我們能否從問題（I）的解決過程中抽象出對我們有用的結(jié)論呢？

實際上，問題（I）的解決過程為我們提供了一個非常重要的不等式命題:

顯然,上述方法揭示出本題兩問的內(nèi)在聯(lián)系，充分利用已有的結(jié)果和特殊與一般的辯證關(guān)系，使得第（II）問的解決如行云流水！從中你是否體會到數(shù)學(xué)思維的美妙？

間接，美妙的解法源于對問題本質(zhì)的理解和對解題過程的變式感悟。如果不能發(fā)現(xiàn)不等式命題：

想要獲得上述解法是不可想象的。

【變式思考2】

【21.2  變式練習(xí)】