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波長
來源：本文來自潘超科學網(wǎng)博客，作者：潘超，原題：波動基礎
我們研究振動系統(tǒng)，一方面固然是因為振動系統(tǒng)在物理學與工程上的重要性，另一方面是因為振動所產(chǎn)生的波動現(xiàn)象具有更為重要的意義。
這首先是因為在實質上，波動是自然界最重要的一種傳播能量的方式，在這種非常一般的意義上，波動現(xiàn)象非常廣泛的存在于物理世界。這里我們首先討論具體的機械振動產(chǎn)生的波動現(xiàn)象，并以此為例來研究一般的波動過程的物理圖象。
機械波的產(chǎn)生與傳播
我們知道機械振動系統(tǒng)如果是一個保守系統(tǒng)，而且與外界沒有相互作用力的話，那么這個系統(tǒng)的能量就是守恒的，并且與外界沒有能量的交換。
但一旦振子與外界發(fā)生作用，那么振子的能量就有可能傳遞給外界物質。而我們考慮的機械波就是由于外界物質的連續(xù)分布，并且外界物質的每個質點都具有振子的物理性質，從而出現(xiàn)的一種能量在空間傳播的現(xiàn)象。
機械波的主要特征就在于它依賴傳播媒質的接觸作用。也就是說，首先要求媒質具有連續(xù)分布的性質；然后要求組成媒質的每個質點都必須具有振子的物理性質，也就是說每個質點都必須在原始位置時，是處于某種勢場的極小值點。一旦偏離它的平衡位置，它就在勢場的作用下進行振動，從而把能量傳遞給鄰近的質點。
波動過程中涉及到幾種方向，這幾種方向能決定波動的主要特征。首先是波動振動的方向，然后是波動傳播的方向。最簡單的情形是兩種，即如果振動方向 和傳播方向平行，那么這種波被稱為縱波；如果振動方向和傳播方向垂直，那么這種波被稱為橫波。當然，我們知道振動具有線性疊加性，波動同樣應該也具有線性疊加性，這樣任何其他的方向關系的波動，都可以由這兩種波通過疊加而得到。
波動傳播的復雜程度首先和傳播介質的分布有關：
如果傳播介質是一維的，那么波的傳播方向就只能在一條線上。
如果傳播介質是高維的，那么波將從波源出發(fā)，向任意方向傳播。而波動傳播的方向稱為波射線（或波線）。
由于波在介質中的傳播是一個時間過程，那么我們就必須考慮波在空間中的分布的一些時間性的特征：
首先是相位的概念。由于波動是一種周期現(xiàn)象，因此在某一個時刻振子處于一個周期的什么位置是非常重要的物理特征。
然后在波的空間分布中同相位的各點組成一個幾何面，稱為波面（或波陣面）。波面的概念在應用波動圖象來解釋波動現(xiàn)象時是非常關鍵的。
波面的形狀和波源與介質的分布性質是密切相關的。最簡單的兩種情形就是，如果是在各向同性的介質中， 從點波源發(fā)出的波的波面就是同心球面，稱為球面波；從平面波源發(fā)出的波的波面是平行平面，稱為平面波。
波的傳播速度
有了波面的概念，就可以很自然地得到波的傳播速度的描述。那就是波面沿著波射線傳播的速度，稱為相速，或波速。
由于機械波的波動過程實際上是介質的質點的振動運動的傳遞，因此可以想象波速是由介質的質點間相互作用性質決定的。最明顯的例子就是聲波的傳播速度，是空氣的屬性決定了聲速。
對于由不同頻率混合起來的波動，在一定條件下，還會出現(xiàn)另一種速度的概念，所謂群速，在后面再討論。
簡諧波
與簡諧振動對應的就是簡諧波，由于簡諧振動只是運動狀態(tài)在時間上的周期性，而簡諧波則是同時在時間和空間上都具有周期性，因此對簡諧波的數(shù)學描述要復雜一些。
簡諧波的表達式有幾種等價的不同形式：
同學們一定要從數(shù)學的角度理解到這幾種表達式的等價性，而在物理上則是強調了不同的描述波的性態(tài)的物理量。一定要靈活掌握，而不能被表面的形式繁復所迷惑。
下面我們就討論這幾個物理量：
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波長
從直觀上講，波長就是波動傳播時在傳播方向上具有相同相位的最小距離。這里我們希望同學們能做一些扎實功夫，記憶一些日常常見的波的波長，這樣能提高我們對于物理對象的直覺能力。
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波的周期和頻率
一個波長范圍內的波動過程可以看成我們所要研究的波動現(xiàn)象的一個單位。這樣一個單位還有兩個相關的物理量，就是周期和頻率。
很顯然周期就是波沿著波射線方向傳播一個波長的距離所花的時間。而頻率則是周期的倒數(shù)，意思就是在單位時間里波傳播以一個波長為單位的數(shù)目。換句話從波源的振動的角度來說，就是單位時間內振動的次數(shù)。
對于描述波動過程的上述三個概念一定要建立非常明確的直觀圖象，才能在做題時不至于因為基本概念的模糊而拖延了時間。
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波動方程
迄今為止我們學習過的運動方程都是描述一個質點或剛體的，對于波動過程所涉及的對象卻是連續(xù)分布的質點，并且每個質點之間并不是如剛體一樣保持不變的相互位置，而是總是發(fā)生一定的變化，要找到這么一個波動過程的運動方程，我們必須注意這里所應用的物理技巧。
考慮到機械波的波動過程實際上就是介質的各個質點的相續(xù)的振動，也就是說各個質點振動過程是相同的 （在介質均勻，不發(fā)生波的吸收的情況下），那么在已知波的傳播速度的前提下，波動過程就可以看成是單個振動形態(tài)的勻速移動。
這樣我們就可以很容易地寫出波動方程來：設在波源處 (x=0) 的振子的振動方程為，則在波傳播到任一一點處的振動方程為
這個方程距離波源為x的某一點上在任一時刻的位移，這也就是沿著x的方向傳播的平面簡諧波的波動方程。
在這個方程里，波動的傳播位置x和時間t 是兩個獨立變量，這樣我們可以從這個方程獲得幾種物理意義：
如果固定t 不變，那么方程描述的是介質里不同x處的波動狀態(tài)的分布。
如果固定x不變，那么方程描述的是介質里某一個固定位置處的振動狀態(tài)，也就是那個位置的振動方程。
如果這兩個變量都不固定，那么這個方程描述的就是隨時間而發(fā)生變化的介質里各個位置的波動狀態(tài)的變化。這樣就給出了一個波動過程的整體圖象。
同學們在這里一定要加強對這些物理圖象的直觀理解，而不能只是滿足于能夠推導出相應的方程來就可以了。在我們解決實際問題時，這種直觀理解往往能起到關鍵的作用。特別是在做題時，有時并不需要我們完全把解析式都列出來，只要具備很強的直觀理解能力，就可以很快的看出答案來。這一點往往成為取得好的考試成績的“不傳之秘”。
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波的能量
我們知道波動過程傳播的就是能量，那么如何計算一個波動過程所傳播的能量呢？同學們一定要注意這里的物理思想。我們不妨把一個機械波的傳播過程具體化為一個模型。例如一個一維的彈簧振子鏈，然后再具體的分析這個鏈的能量傳播。
一般地我們得到波動過程中的能量表達式是：
其中，A為振幅，ω為頻率。
從能量的角度來看波動過程，我們可以發(fā)現(xiàn)波動和振動的一個重要區(qū)別來：
波動過程中的每個質點盡管也是處在振動運動的狀態(tài)中，但這個振動系統(tǒng)并非孤立系統(tǒng)，而是隨時在和外界作能量的交換與傳遞，因為如果沒有這種能量的傳遞，也就根本不會有波動現(xiàn)象的發(fā)生。
這樣對于介質里的每個振動中的質點而言，它總是在不斷地吸收和放出能量，而它的動能和勢能則發(fā)生具有相同相位的周期變化。我們知道在孤立的振子系統(tǒng)里，動能和勢能的周期變化的相位是相反的。
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能流密度
把波的傳播看成是能量的傳播，就可以不妨把波動過程看成是一種能量的流動。這樣一來，我們就可以進一 步得到一些用來描述這種能量流動的物理量來。
波的平均能流：類似于對水流的流量度量的定義，我們把波的能流定義為單位時間內通過介質中單位面積的平均能量，稱為通過這一面積的平均能流（或稱為在這一面積上的波的功率）。
能流密度：單位時間內通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能流就被稱為能流密度?？梢娔芰髅芏鹊囊馑季褪窃趩挝幻娣e上的波動的功率，因此其單位一定是w·m?2。
我們有表達式：
可見一定頻率的波在一種確定的介質中傳播時，其能流密度和波源的振幅的平方成正比。
請注意這個定義里出現(xiàn)了對方向的要求，也就是說能流密度是一個矢量，有時我們把它稱為波的強度時，則是只取其大小，也就是說成了一個標量。
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波的吸收
當能量在介質中傳播時，一般總會發(fā)生能量的耗損，因為波動所傳播的能量常常會有一定比例轉換為其它形式的能量，這樣就表現(xiàn)為波在傳播過程中，振幅和強度都會逐漸減小，這就是所謂波的吸收（或衰減）。
常見的波的振幅的衰減規(guī)律可以表示為：
相應的波的強度的衰減規(guī)律為：
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惠更斯原理
惠更斯原理：在波動過程中的任意時刻，波面上的每一個點都作為波源沿著波射線向外傳遞波動，而發(fā)射子波。一個波面上的所有點在任意時刻的相同相位的子波的包絡面就是新的波面。在波動圖象中最關鍵的概念是波面。
從直觀上來理解惠更斯原理并不復雜，建議同學們不妨動手畫一下草圖，就可以得到一個很明晰的物理圖象。應用惠更斯原理我們就已經(jīng)可以解釋很多的波動現(xiàn)象，這些波動現(xiàn)象的共同特征就是在各向同性的均勻介質中，波動過程中保持波面的幾何形狀的相似性。最典型的就是下面要討論的反射與折射，以及衍射和散射。
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波的反射和折射
這兩種現(xiàn)象是我們非常熟悉了的，但如何基于惠更斯原理來進行理解卻是要花費一些功夫的。同學們一定不要因為這兩種現(xiàn)象本身的規(guī)律很簡單，就忽略了對它的進一步理解，因為惠更斯原理是經(jīng)典波動物理學的一個基本原理，我們可以通過對這樣的基本現(xiàn)象應用這個原理來體會其一般性。而且這種理解有助于使得我們得到對于物理現(xiàn)象的明確圖象。
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波的疊加原理
和我們在前面的質點動力學中所體會到的運動疊加原理的重要性一樣，這里我們又要遇到一個具有類似重要性的疊加原理，那就是波的疊加原理。
前面已經(jīng)說明了波動過程，實際上就是組成介質的各個質點的振動，按照一定的空間順序和時間順序的關聯(lián)。那么兩列波的疊加，歸根結底也就落實到質點的振動的疊加上了，而我們已經(jīng)知道振動的疊加正是來源于一般的運動疊加原理。因此我們顯著討論的波的疊加原理，同樣是來源于運動疊加原理的。只是在具體的波動現(xiàn)象中，我們要強調兩列波的疊加并不是這兩列波的本來的物理性質。波的疊加原理最直接的應用就是下面要討論的波的干涉現(xiàn)象。
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波的干涉
波的干涉是波動過程最典型的現(xiàn)象，反過來干涉現(xiàn)象也是關鍵的說明存在波動過程的判據(jù)。
首先發(fā)生干涉現(xiàn)象的波必須滿足一定的條件，那就是：
必須具有相同的振動方向；
具有相同的頻率；
相位差必須是固定的。
很顯然，兩列波對同一個質點的作用和效果是取決于這兩列波的相位差的。一般的我們可以得到干涉加強與減弱的條件如下：
位相差Δθ=±2πk，k=0,1,2,3,···時，干涉加強；
位相差Δθ=±2π(k+1/2)，k=0,1,2,3,···時，干涉減弱。
最好同學們能自己嘗試推導一下，并且努力建立相應的直觀圖象，從而可以透徹的理解干涉現(xiàn)象的物理實質。在一種特殊的情形下，干涉會導致所謂駐波的出現(xiàn)。
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駐波
駐波的產(chǎn)生是由振幅相等的兩列相干波在同一直線上沿著相反的方向傳播，從而合成為一段在空間上形狀固定不動的波，這就是所謂駐波。
駐波的一個主要特點就是駐波區(qū)間內存在一些等距離的點，始終靜止，稱為波節(jié)。而又存在另外一些點的振幅是一列波的振幅的2倍，稱為波腹。這就使得在這個區(qū)間上，波動是分段存在的。每一個分段中，各點的位相相同，而相鄰分段的位相相反。各個分段相互獨立振動，相鄰波節(jié)之間的距離為半個波長。
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波的繞射和散射
波動在傳播過程中，遇到障礙物，能夠繞過障礙物的邊緣，這種現(xiàn)象稱為繞射或者衍射。這種波動的特有性質同樣可以運用惠更斯原理來解釋。這里的關鍵是障礙物使得波陣面被劃分出大小可以與波長相比擬的部分，這部分的波陣面的子波的合成，就導致了衍射現(xiàn)象。
如果在媒質中存在尺度與波長相比擬的粒子，波動作用于這些粒子，使得這些粒子本身作為波源而發(fā)出子波，類似于被劃分出來的波陣面，從而導致散射現(xiàn)象的發(fā)生。
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聲波、超聲波、次聲波
頻率在20Hz到20000Hz之間的機械縱波，能被人感知，稱為聲波。在對聲波的研究中，引入了一些特殊的概念。
聲壓：傳播媒質中，在存在聲波的傳播時的壓強，與不存在聲波時的靜壓強的差，就是所傳播的聲波的聲壓。聲壓本身是一種壓強的波動，這種波動的振幅為
聲強：即是作為機械波的聲波的能流密度。因此可以得到聲強的表達式為
可以看出，聲壓與聲強都隨頻率的增高而增高。對于聽覺而言，除了是由頻率范圍來決定的以外，也有一個聲強范圍，超過這個范圍都不能被人感知為聲音。因此定義一個聲強單位，以人的一個感知下限，即在1000Hz時聲強為10?12Wm?2，作為測定聲強的基本標準，用I0表示，則聲強級定義為
單位為分貝(dB)。
疑難解惑：
1. 波動方向和波的傳播方向有什么區(qū)別？
答：波動方向來源于波源的振動方向，它與波的傳播方向并沒有必然的關系，對于縱波來說，波動方向與波的傳播方向是一致的，但是對于橫波來說，則是波動方向與波的傳播方向相互垂直。
2. 進行簡諧波動的媒質的每一個體積元都是在進行簡諧振動嗎？
答：不對。這是一個最容易混淆的問題，在波動過程中，媒質的體積元的動能與勢能的變化是同相而且相等的，動能和勢能同步地達到最大與最小，因此可以想象，每一個體積元作為一個振動系統(tǒng)都不是保守的能量保持守恒的系統(tǒng)。因為波動作為一種能量傳播形式， 本來就是要把能量在媒質中進行傳播，而不能是媒質中的每一個體積元都保持自己的能量不發(fā)生變化。相反，簡諧振動系統(tǒng)，則是一個保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒，這樣動能和勢能就不能是同相的了而只能是反相的。
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