今天的授課內(nèi)容以及明后天要講的拓展課部分內(nèi)容。
由定義，有一內(nèi)角為直角的平行四邊形為矩形。由此推出矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，以及兩條對(duì)角線相等且互相平分，對(duì)角線分割矩形的四個(gè)三角形都是等腰三角形。
由于 直角和等腰三角形 的出現(xiàn)，導(dǎo)致直角性質(zhì)或等腰性質(zhì)，都比較多地出現(xiàn)和運(yùn)用在矩形的題例中。（菱形一樣如此）
先考慮 直角：① 角度互余；② 勾股定理及斜高公式；③ 斜邊中線；④ 圓 ；⑤ 面積問(wèn)題。再考慮 等腰三角形：① 角度關(guān)系；② 三線合一；③ 底邊上一點(diǎn)到兩腰距離之和為定值；④ 旋轉(zhuǎn)；⑤ 等邊相關(guān)。
當(dāng)然，矩形還具有平行四邊形的所有性質(zhì)。接下來(lái)在課堂中從不同側(cè)面來(lái)展示了矩形的性質(zhì)。
初三前，幾何計(jì)算以 勾股定理 為主要手段。到了初三，原先不得不用勾股定理解決的問(wèn)題（二次方程），可以通過(guò)比例線段、相似和三角比來(lái)巧算（一次方程）。
此題點(diǎn) P 不需要限制在矩形內(nèi)，只要 P 在矩形所在平面內(nèi)即可?？梢岳^續(xù)探究四個(gè)平方和的最小值，并不算太難。解析法會(huì)簡(jiǎn)潔明快一些。
矩形邊上任一點(diǎn)到兩對(duì)角線的距離之和為定值。例如，給定 AB=3，AD=4，試求 PM PN 的和。
先猜后證：點(diǎn) P 取特殊點(diǎn)，可以知道該定值等于等腰三角形的腰高。證明方法有面積法、翻折全等或三角比。
接下來(lái)這兩題對(duì)于面積法來(lái)說(shuō)經(jīng)典得不能再經(jīng)典，一道是小學(xué)奧數(shù)，另一道是寶山一模。當(dāng)然，本質(zhì)上是平行四邊形的面積特性，只是問(wèn)題用矩形來(lái)設(shè)計(jì)的。小編一并收錄于此。
如下圖，矩形 ABCD，正方形 AEFG，E 在 BC上，D 在 GF上。若 AG=5，AD=9，試求 AB 的長(zhǎng)度。
一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) M 且平分陰影部分的面積，試求直線的解析式。
矩形含直角、含等腰，其角度性質(zhì)十分重要，尤其在配合一些特殊角度的情形下：
本題要注意到因 60° 角形成的等邊三角形 OCB，又要注意到角分線 平行得到的等腰直角三角形 ECB，從而推出等腰三角形 OFC。
首先帶同學(xué)們復(fù)習(xí)如何證明線段相等：① 全等；② 等角對(duì)等邊； ③ 斜邊中線；④ 中垂線或角分線。處理方法：① 直接證明；② 引入第三個(gè)等量過(guò)渡；③ 證它們和同一線段的和、差、商積相等。
本題首先聯(lián)想到矩形對(duì)角線相等，聯(lián)結(jié) AC 引入第三個(gè)量，接著可以通過(guò)角度推到來(lái)證明 AC=CF。有一位同學(xué)利用45°構(gòu)造了等腰直角三角形來(lái)證明全等，非常不錯(cuò)。
在學(xué)生并不清楚 22.5° 正切值情形下設(shè)計(jì)的第二問(wèn)，需要同學(xué)列出代數(shù)方程進(jìn)行求解。本題做出來(lái)的學(xué)生比較少。
四邊形ABCD是矩形，E是矩形外一點(diǎn)，且∠AEC=90°，試證明：∠BED=90°.
這五點(diǎn)在同一個(gè)圓上！
上課時(shí)盡量要求同學(xué)們用多種方法解出：① 構(gòu)造含有BC、CD的全等的直角三角形，構(gòu)造矩形；② 平移BC；③ 旋轉(zhuǎn)△BCD；④ 四點(diǎn)共圓。
（本篇完結(jié)）
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