本文作者：朱浩楠，[遇見數(shù)學(xué)]授權(quán)發(fā)布。

?“人們只看到他們想看到的東西”，

心理學(xué)中將這種現(xiàn)象稱為知覺選擇性。

知覺選擇性，是指?jìng)€(gè)體根據(jù)自己的需要與興趣，

有目的地把某些刺激信息或刺激的某些方面作為知覺對(duì)象，

而把其他事物作為背景，

進(jìn)行組織和加工的過程。

——題記

2017 年以來，有幸和多個(gè)國家和地區(qū)的老師和學(xué)生討論中學(xué)階段尤其是高中階段數(shù)學(xué)建模的資源、目標(biāo)、發(fā)展和瓶頸，在討論中作為一線教師也深切的感受到中國大陸地區(qū)的老師和校長們對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)建模教育的一些疑惑。這些疑惑是合理的，甚至是必要的，凸顯出當(dāng)前基礎(chǔ)教育尤其是數(shù)學(xué)教育（包括公立和私立）發(fā)展中的重大問題。發(fā)展中的問題一定要在發(fā)展中解決，所以不是急著發(fā)一些文件、說一些理念、立幾面旗幟就能解決的。但是一些基本問題還是需要有一些討論。

本文的作用不在于解答，也不在于提問，而在于呈現(xiàn)——將很多人一直埋在心里沒有問、不愿問、不肯問和不敢問的問題放在紙面上，形成一個(gè)討論的基礎(chǔ)——本文針對(duì)這些問題的所有意見，均是一個(gè)受過專業(yè)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的一線教育工作者和改革實(shí)踐者的切身理解，不是解答更不是指導(dǎo)，最多可以算作拋磚引玉。

問題 1：沒感覺到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中有什么用？

意見 1： 首先我們定義一下什么叫“有用”。當(dāng)然，學(xué)生考試能靠數(shù)學(xué)考個(gè)高分考上一個(gè)好大學(xué)，的確是“有用”，但是數(shù)學(xué)作為一個(gè)伴隨人類文明成長起來的一級(jí)學(xué)科，它的創(chuàng)立初衷和發(fā)展方向肯定不應(yīng)該只是“考試有用”，而是面對(duì)社會(huì)生產(chǎn)生活的有用——具體的說，就是在各項(xiàng)社會(huì)事務(wù)中的優(yōu)化、決策和設(shè)計(jì)中的“有用”。

面對(duì)這樣的“有用”的定義，數(shù)學(xué)有用嗎？這個(gè)問題如果是電視臺(tái)記者拿著話筒問所有數(shù)學(xué)教師，得到的答案肯定都是“有用”。但是具體“怎么有用”，又有一部分人說不上來。這是為什么呢？是因?yàn)檫B同一線教師在內(nèi)的很多人沒有見過真的必要的數(shù)學(xué)應(yīng)用。

數(shù)學(xué)不是“數(shù)木棍有多少根”，不是“稱重量挑選壞的桃子”，不是“預(yù)測(cè)明天午飯我要吃什么”，這些問題就算能用數(shù)學(xué)去解決，也沒有必要用數(shù)學(xué)去解決，數(shù)學(xué)的重要性不是體現(xiàn)在這些問題的解決上。有很多現(xiàn)實(shí)問題是非數(shù)學(xué)不可察不可解的問題，比如“圖片去霧霾”、“證明生物鏈的必要性”、“傳染病的發(fā)展趨勢(shì)”、“小區(qū)交通路線的設(shè)計(jì)”、“專家意見的調(diào)和”等等。這些問題用高中課標(biāo)內(nèi)的數(shù)學(xué)都可以獲得很好的解決，但是在教學(xué)中我們都會(huì)選擇無視，因?yàn)楦呖歼€沒有考——這是后面的另一個(gè)現(xiàn)實(shí)的問題。

想要讓老師和學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)真正的處用，至少需要做三件事：

1. 開發(fā)一定量的利用高中課標(biāo)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題的案例和練習(xí)，而且要求是只能借助數(shù)學(xué)才能解決的問題；
2. 從教材、習(xí)題和考試中去掉人為編纂、假設(shè)不合理或者沒有必要用數(shù)學(xué)就能很好解決的假問題（例如“小明勻速爬山多長時(shí)間到山頂”這樣的問題）；
3. 開設(shè)開放的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，讓學(xué)生和老師有機(jī)會(huì)將自己提出或解決的問題分享出去，建設(shè)“提問 → 解決 → 分享”的學(xué)術(shù)生態(tài)。

問題 2：數(shù)學(xué)建模是不是解應(yīng)用題？

意見 2： 各位都在超市見過那種包好的半成品菜，里面有洗好切好的食材和精準(zhǔn)到毫克的黃金比例調(diào)料，只需要回到家用鍋炒一下即可展現(xiàn)出標(biāo)準(zhǔn)化流程和后現(xiàn)代計(jì)劃工業(yè)的風(fēng)味。

這種菜其實(shí)很好，方便了都市里忙碌的人們，也便于初學(xué)者學(xué)習(xí)做菜。

但是如果有人問你：如果只會(huì)處理這些半成品方便菜，算不算會(huì)做菜？我想一般人的回答肯定是否定的。

因?yàn)椤皶?huì)做菜”是一個(gè)復(fù)合定義，包括：會(huì)挑菜、懂搭配、善刀工、能調(diào)味、精口感等一系列次級(jí)技能。這樣才能以“會(huì)做菜”的身份為客人或家人做一桌上得了臺(tái)面的佳肴。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是一樣，僅僅會(huì)做那些已經(jīng)把數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都提取出來、沒有任何不良結(jié)構(gòu)、只有唯一標(biāo)準(zhǔn)化解答的應(yīng)用題，不能算是學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)解決問題。

如果非要比較的話，數(shù)學(xué)建模 ≈ 出應(yīng)用題+做應(yīng)用題+檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際+修訂題目+針對(duì)新問題得到更復(fù)合現(xiàn)實(shí)的解答+周而復(fù)始以上過程。

有人可能會(huì)抬杠：我如果僅僅是為了溫飽，不做酒席也不要上臺(tái)面，是不是會(huì)處理半成品包裝菜就可以了？

那么當(dāng)你買回來的菜按照說明書做出了一股奇怪的難以言表的味道時(shí)，你是該質(zhì)疑菜的品質(zhì)然后去維權(quán)呢？還是該表示“這道菜可能其實(shí)就應(yīng)該是這個(gè)味道吧我反正也不知道應(yīng)該是什么味道的算了”呢？

就算一個(gè)人將來不從事數(shù)學(xué)應(yīng)用事業(yè)，但是按照信息時(shí)代的發(fā)展他的職業(yè)也多少會(huì)和數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)周邊產(chǎn)品搭邊，那時(shí)候受過一定的數(shù)學(xué)建模教育，起碼可以做到不那么容易上當(dāng)受騙。

圖1 按照說明書來烹飪

問題 3：數(shù)學(xué)建模是不是在瞎扯淡？

意見 3：我曾聽過有老師說“數(shù)學(xué)建模就是瞎扯淡”。我覺得有一定道理，因?yàn)槿缦氯悢?shù)學(xué)建模就是在瞎扯淡。

第一類：現(xiàn)在的社會(huì)上，為了職稱的晉升，發(fā)論文、做項(xiàng)目都要求實(shí)證研究，有些研究人員沒有實(shí)證研究，但是還希望能把論文寫出實(shí)證研究的味道，于是就拼湊數(shù)據(jù)、做假數(shù)據(jù)，甚至先有結(jié)論后分析數(shù)據(jù)，拿數(shù)學(xué)建模硬為自己本不牢靠的“研究結(jié)論”湊“科學(xué)范”。這就是在完完全全的瞎扯淡。

第二類：有些教育機(jī)構(gòu)，尤其是市面上最近幾年發(fā)展迅猛的以各種所謂的先進(jìn)教育理念武裝自己其實(shí)就是為了盈利的某某學(xué)校、某某學(xué)院們，他們宣稱自己研發(fā)了大量的 STEM 課程，并且在里面為了體現(xiàn) M（Mathematics）的使用，就讓孩子們用火柴棍搭橋數(shù)火柴的個(gè)數(shù)。這種掛羊頭買狗肉的課程就是在完完全全的瞎扯淡。

第三類：有些一線教師，公立和私立的都有，為了班級(jí)或?qū)W校的宣傳，安排學(xué)生用數(shù)學(xué)去解決一些現(xiàn)實(shí)問題。這本來是非常好的事情。但是學(xué)生一旦得到了一個(gè)結(jié)果，就被大肆宣傳，被譽(yù)為小小科學(xué)家、小小明星，卻沒有人從專業(yè)的角度給孩子“潑潑冷水”、告訴孩子他該如何檢驗(yàn)結(jié)果和現(xiàn)實(shí)還有哪些差距、還可以從哪里改進(jìn)、如何更加有效地使用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，導(dǎo)致孩子做了一個(gè)粗淺的結(jié)果就戛然而止，做項(xiàng)目前水平是什么樣，之后還是什么樣，還莫名其妙地被扣上了一頂“雛鷹”的帽子，還以為搞學(xué)術(shù)就是這樣糊弄一下就可以了。這種因?yàn)槟康牟患儗⒑檬掳胪径鴱U反倒干壞了的數(shù)學(xué)建模，不僅是在瞎扯淡，而且貽害無窮！

圖 2 全球最“經(jīng)典”的“STEM 教學(xué)案例”木棍搭橋.

問題 4：數(shù)學(xué)建模對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有多大幫助？

意見 4： 數(shù)學(xué)建模是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好伴侶。這里舉一個(gè)具體的例子來說明：大家都學(xué)習(xí)過函數(shù)，這是高中最基本的概念。但是為什么數(shù)學(xué)家當(dāng)初要定義函數(shù)？同時(shí)，對(duì)于初等數(shù)學(xué)來說，不定義函數(shù)，只用代數(shù)式的計(jì)算就可以完成絕大多數(shù)的問題（尤其是高考題這種考試題），為何我們還要在高中學(xué)習(xí)函數(shù)呢？

在函數(shù)之前，數(shù)學(xué)中是沒有結(jié)構(gòu)來描述因果律的：A 是 B 的原因，B 是 C 的原因，我們能說 A 是 C 的原因嗎？不能！因?yàn)?A 的結(jié)果可能不僅僅是 B，而是 B1、B2、B3，而其中 B1 的結(jié)果中有 C、D、E、F，所以我們可以說 A 是 B 的原因、B 是 C 的原因，但是卻不能說 A 是 C 的原因，因?yàn)楹苡锌赡?A 是否發(fā)生，C 都會(huì)發(fā)生，A 也很可能只是 C 發(fā)生的一個(gè)次要因素。

但是沒有因果律就無法進(jìn)行因果結(jié)構(gòu)的推演，所以函數(shù)和映射的概念應(yīng)運(yùn)而生?；貞洠汉瘮?shù)要求不能一對(duì)多，但是可以多對(duì)一，也就意味著數(shù)學(xué)上用函數(shù)承載因果結(jié)構(gòu)時(shí)，可以考慮“多個(gè)原因可以造成同一個(gè)結(jié)果”的事情而不可考慮“一個(gè)原因造成多個(gè)結(jié)果”的事情。

但是這樣無法描述客觀世界?。∫?yàn)榇_實(shí)有“一個(gè)原因會(huì)造成多個(gè)結(jié)果”這種事情。于是概率論就出現(xiàn)了，尤其是 20 世紀(jì)初概率論的嚴(yán)格化，將“一個(gè)原因造成多個(gè)結(jié)果”，本質(zhì)上變?yōu)榱恕皬牡途S到高維的帶有坐標(biāo)權(quán)重的向量值映射”。

所以現(xiàn)在，你還覺得概率論和函數(shù)論是兩個(gè)東西嗎？

回到數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模中充滿了對(duì)于知識(shí)本源和原理的構(gòu)成性挖掘。在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生不得不思考和體會(huì)“這個(gè)概念為什么這樣定義”、“這個(gè)概念和那個(gè)概念有什么聯(lián)系”、“為什么是這樣定義的而非那樣定義的”等關(guān)乎數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵問題。

很可惜，同樣的機(jī)會(huì)，在中學(xué)階段，通過其它渠道不可能達(dá)成。

問題 5：數(shù)學(xué)建模是不是就是搞課外活動(dòng)？

意見 5： 數(shù)學(xué)建?？梢允钦n外活動(dòng)的形式，也可以是課內(nèi)教學(xué)的形式，關(guān)鍵看目的是什么？如果是為了讓學(xué)生綜合使用這個(gè)學(xué)期學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，獨(dú)立地解決自己身邊的現(xiàn)實(shí)問題，那么用一個(gè)數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目去替換掉部分傳統(tǒng)假期作業(yè)，作為一個(gè)假期活動(dòng)，就是一個(gè)非常合理和可靠的出口。

如果是為了讓學(xué)生應(yīng)用最近這個(gè)單元的知識(shí)來解決某些問題的子問題，那么就非常適合作為課上的一道小題目讓學(xué)生嘗試。這個(gè)題目可以編排為傳統(tǒng)練習(xí)題目的形式，也可以作為課堂活動(dòng)的主題。這時(shí)候的數(shù)學(xué)建模就不是為了“學(xué)以致用”，而是為了“用以致學(xué)”，利用這個(gè)題目可以將最近所學(xué)的知識(shí)和之前學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行鞏固、聯(lián)絡(luò)和重組。

問題 6：數(shù)學(xué)建模如何融入日常教學(xué)？

意見 6： 數(shù)學(xué)建模要想融入日常教學(xué)，任務(wù)形式很關(guān)鍵。如下兩種類型適合日常教學(xué)采納：

• 分散型：將某個(gè)大的數(shù)學(xué)建模任務(wù)按照所用的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分散編排為若干子任務(wù)，并將每個(gè)子任務(wù)作為相應(yīng)教學(xué)單元的課堂練習(xí)，在所有這些子任務(wù)都解決完之后，再用一節(jié)課聯(lián)合為一個(gè)大任務(wù)的解決方案。類似于：某個(gè)國外的科學(xué)家將自己的研究課題拆分為若干子問題穿插在課程教學(xué)中，最后期末時(shí)宣布“同學(xué)們，你們這個(gè)學(xué)期所有的課堂練習(xí)加到一起，證明了某個(gè)數(shù)學(xué)中新的定理”。
• 集中型：對(duì)于某些技巧性比較強(qiáng)，但是用到的知識(shí)點(diǎn)比較單一，需要學(xué)生對(duì)這塊課內(nèi)知識(shí)理解非常深刻才能從容解決的數(shù)學(xué)建模案例，就需要作為一個(gè) 3-4 課時(shí)的小單元來講授。這樣更容易讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)研究和相應(yīng)知識(shí)板塊的整體味道。

圖 3 著名的藥劑量模型特別適合拆分為三個(gè)子課題分別在初等函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)三章作為課堂練習(xí)給出。

問題 7：為什么高中一線老師面對(duì)數(shù)學(xué)建模比高中生表現(xiàn)出更多的為難情緒？

意見 7： 原因有如下三點(diǎn)：

1. 教師大多已成家，工作任務(wù)外家務(wù)也很繁重，在長久緊張而無縫隙的勞作節(jié)奏中，漸漸喪失了學(xué)習(xí)的熱情、對(duì)自然和社會(huì)規(guī)律的好奇；
2. 面對(duì)一個(gè)新的現(xiàn)實(shí)問題，教師和學(xué)生都是新手，面對(duì)相同的困難。尤其當(dāng)教師在數(shù)學(xué)建模中的經(jīng)驗(yàn)不足的情況下更是如此，往往思考得沒有學(xué)生迅速、全面，會(huì)形成心理壓力；
3. 很多老師沒有接觸過數(shù)學(xué)建模，缺少相關(guān)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，難以對(duì)學(xué)生形成有效指導(dǎo)。

解決辦法有如下三點(diǎn)：

1. 降低學(xué)校教師的負(fù)擔(dān)，假期里不要總搞各種名目的培訓(xùn)，將課余時(shí)間還給老師，讓老師們得以有時(shí)間學(xué)習(xí)、踐行“活到老學(xué)到老”。
2. “弟子不必不如師，師不必賢于弟子”，這句話其實(shí)是給老師說的。老師們只要放下了這個(gè)心理包袱就會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)在學(xué)術(shù)上承認(rèn)某些方面不如學(xué)生，并不是一件丟人的事，反而會(huì)讓學(xué)生對(duì)老師更加親近和尊敬。
3. 豐富給老師們的數(shù)學(xué)建模教輔資料，讓一部分老師先走起來，然后帶動(dòng)更多的老師走起來，走類似改革開放的道路，用先進(jìn)促“后勁”。

圖 4 教學(xué)相長不應(yīng)該僅成為一句口號(hào).

問題 8：數(shù)學(xué)建模缺少強(qiáng)勁的功利驅(qū)動(dòng)怎么辦？

意見 8： 我曾聽過有人（不是學(xué)生）抱怨：學(xué)生不是“圣人”，我們不能讓他們做對(duì)升學(xué)和高考沒有直接利益的事情。

但是往往不是學(xué)生不想做，而是學(xué)校和家長不讓學(xué)生做。至少現(xiàn)在像北京這種一線城市的學(xué)生心里想的更多的并不只是上清華念北大、要高考考到全區(qū)前多少名，也希望將來有更好的發(fā)展。更何況數(shù)學(xué)建模已經(jīng)進(jìn)入課標(biāo)和考綱，數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)和考試本身不僅沒有沖突，而且大有裨益。很多孩子即使明知道沒有任何功利作用，依然愿意投身數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)建模是他們將來一定會(huì)在工作崗位上面對(duì)的一道門檻，從學(xué)生的發(fā)展角度來說，才應(yīng)該去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模等對(duì)未來發(fā)展有長久好處的事情。

更何況，現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模已經(jīng)作為課程標(biāo)準(zhǔn)寫進(jìn)國家教材，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模不是額外的課外負(fù)擔(dān)，反而會(huì)幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的定義、定理、公式、方法的來龍去脈。

很多時(shí)候?qū)W校和老師所考慮的角度，不全是為學(xué)生的角度，只是對(duì)學(xué)校和老師有利的角度。

問題 9：數(shù)學(xué)建模對(duì)于老師的職稱發(fā)展沒有幫助怎么辦？

意見 9： 為什么社會(huì)對(duì)于中學(xué)教師的認(rèn)知都是“三十年如一日”？為什么中學(xué)教師的社會(huì)地位明顯不高？如今中學(xué)教師中的博士、碩士學(xué)歷者比比皆是，但是這種現(xiàn)象依然沒有改善。

造成這兩個(gè)問題的原因之一，就是教師把自己的發(fā)展，天然地放在了熬年份、熬職稱上，覺得作為教師就不能有更進(jìn)一步的發(fā)展，就不能站在更大的舞臺(tái)上發(fā)揮作用，就不能跳出職稱的排隊(duì)序列上做自己。

我不是說職稱制度完全不好，但是至少作為教師，應(yīng)該具有更加豐富、多彩、開放的發(fā)展路徑，這樣才能教出有血有肉有激情有熱愛學(xué)生。

圖 5 職稱只是職業(yè)發(fā)展的一個(gè)方面，更重要的尋找自身的價(jià)值.

問題 10：STEM 教育中的數(shù)學(xué)是不是數(shù)學(xué)建模？

意見 10： 本來應(yīng)該是。但是到目前為止我看到的所有國內(nèi)外 STEM 教學(xué)案例中，還沒有見過任何真正做到的。當(dāng)前 STEM 教學(xué)案例中的“M”，大多還是停留在“數(shù)個(gè)數(shù)”、“拼形狀”、“算成本”等幼齒階段。

嚴(yán)格地講，STEM 中的 M 應(yīng)該泛指數(shù)學(xué)，但是 STEM 要求將數(shù)學(xué)和其它學(xué)科結(jié)合起來。數(shù)學(xué)建模是結(jié)合的鏈條，它起到傳遞、處理、分析、挖掘、翻譯跨學(xué)科信息的作用。

問題 11：學(xué)生做的數(shù)學(xué)建模習(xí)作應(yīng)該如何指導(dǎo)？

意見 11： 當(dāng)學(xué)生做了一個(gè)數(shù)學(xué)建模習(xí)作，不管是論文、算法還是研究報(bào)告，可做如下指導(dǎo)：

1. 組織相關(guān)學(xué)生的討論班，讓學(xué)生報(bào)告他的研究過程和結(jié)果；
2. 在報(bào)告當(dāng)中隨時(shí)就其研究過程中的疏漏和錯(cuò)誤提出質(zhì)疑；
3. 指導(dǎo)其匯總、分析這些疏漏和錯(cuò)誤，給出改良建議或研究策略建議；
4. 指導(dǎo)學(xué)生將改進(jìn)后的成果（必須包括：模型的假設(shè)、模型的符號(hào)化演繹、模型是否符合現(xiàn)實(shí)的檢驗(yàn)、模型的修訂及再精進(jìn)過程、模型的適用性分析，但可不限于此）通過網(wǎng)站、論文傳播給更多的人，最好能提供實(shí)用機(jī)會(huì)。

問題 12：學(xué)好數(shù)學(xué)建模有什么必備條件？

意見 12： 有三個(gè)必備條件：

1. 明確數(shù)學(xué)建模的目的：用數(shù)學(xué)多、快、好、省地解決問題。
2. 掌握數(shù)學(xué)建模的方法：包括但不限于過程、知識(shí)、思想方法。
3. 積累經(jīng)典模型的經(jīng)驗(yàn)：典型問題的處理辦法。三者中，最容易忽視的是第（3）點(diǎn)，但是最關(guān)鍵的也是第（3）點(diǎn)。

圖 6 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的四個(gè)層次（階段）.

問題 13：基于數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)教育改革需要多少年才能見效？

意見 13： 我們總喜歡看奇跡，看到一隊(duì)人拼了很多年，重于獲得了突破，然后就默默說了句“這就叫但行好事莫問前程”。

只是輪到自己這里，就不會(huì)這樣“莫問前程”了。

所有一直看別人的成功和貢獻(xiàn)卻缺少行動(dòng)的人都習(xí)慣問自己：“還有多久才能見效？”

時(shí)間短了，馬上就要成功了，自不必?fù)?dān)心；

時(shí)間久了，還有很久才能成功，時(shí)間的價(jià)值會(huì)更多地沉淀，最后會(huì)更加成功，也不必?fù)?dān)心；

如果不知道自己做的是正確的事，就不存在去遲疑“還有多久才能成功”這件事了。

所以無論從哪個(gè)角度思考，只要覺得有價(jià)值，就去做，等待時(shí)間的發(fā)酵和沉淀，就是最正確的事。

一切美好的事物，都是慢慢來比較快。

備注：本文插圖 2、圖 5 取自互聯(lián)網(wǎng)，侵刪。圖 4 by Priscilla Du Preez on Unsplash。圖 2 和圖 6 版權(quán)為作者所有。