中考數(shù)學(xué)壓軸題分析：隱圓與折疊問(wèn)題

折疊問(wèn)題比較常見(jiàn)，主要涉及軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)。本文內(nèi)容選自2020年湖州市中考數(shù)學(xué)倒數(shù)第2題，難度中等偏上。本題比較巧妙，通過(guò)探究的形式層層遞進(jìn)，前面的結(jié)論對(duì)后面的壓軸進(jìn)行了鋪墊。本題考查折疊后點(diǎn)的位置問(wèn)題，比較有意思。

折疊過(guò)程中，怎樣才能落在對(duì)邊上呢？其實(shí)就是轉(zhuǎn)化為圓與直線的位置關(guān)系的問(wèn)題了。

【中考真題】

（2020·湖州）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB邊上的一點(diǎn)，將∠B沿著過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)B落在AC邊的點(diǎn)P處（不與點(diǎn)A，C重合），折痕交BC邊于點(diǎn)E．（1）特例感知 如圖1，若∠C＝60°，D是AB的中點(diǎn)，求證：APAC；（2）變式求異 如圖2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，求DH和AP的長(zhǎng)；（3）化歸探究 如圖3，若m＝10，AB＝12，且當(dāng)AD＝a時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．

【分析】題（1）證明APAC只需證明△APD為等邊三角形即可。題（2）求DH的長(zhǎng)則只需利用相似或者三角函數(shù)即可。至于求AP的長(zhǎng)度則需要分類(lèi)討論。因?yàn)锽D＞DH，所以折疊的時(shí)候，點(diǎn)P可以在D的左邊或右邊。但是DP的長(zhǎng)度始終等于BD。所以利用勾股定理即可得到PH的長(zhǎng)度，那么AP就不難求了。題（3）有了前面第2問(wèn)的基礎(chǔ)，那么就好求了。要使得點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置，那么只能是題（2）那種情況，D到AC的距離小于BD的時(shí)候。

從左到右，首先DH＜BD，但是要保證BD≥AD才行，這是1種情況；當(dāng)DH=DB時(shí)，此時(shí)再往右就不行了。所以分別求出BD=AD與BD=DH即可。【答案】（1）證明：∵AC＝BC，∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB，∠A＝60°，由題意，得DB＝DP，DA＝DB，∴DA＝DP，∴△ADP使得等邊三角形，∴AP＝ADABAC．

（2）解：∵AC＝BC＝6，∠C＝90°，∴AB12，∵DH⊥AC，∴DH∥BC，∴△ADH∽△ABC，∴，∵AD＝7，∴，∴DH，將∠B沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，情形一：當(dāng)點(diǎn)B落在線段CH上的點(diǎn)P1處時(shí)，如圖2﹣1中，

∵AB＝12，∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，∴HP1，∴A1＝AH+HP1＝4，情形二：當(dāng)點(diǎn)B落在線段AH上的點(diǎn)P2處時(shí)，如圖2﹣2中，

同法可證HP2，∴AP2＝AH﹣HP2＝3，綜上所述，滿足條件的AP的值為4或3．

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AC于P．

∵CA＝CB，CH⊥AB，∴AH＝HB＝6，∴CH8，當(dāng)DB＝DP時(shí)，設(shè)BD＝PD＝x，則AD＝12﹣x，∵tanA，∴，∴x，∴AD＝AB﹣BD，觀察圖形可知當(dāng)6＜a<時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置．

【總結(jié)】

如下圖所示，以D為圓心BD為半徑畫(huà)圓。當(dāng)該圓與邊AB相交時(shí)，折疊的時(shí)候才會(huì)有兩個(gè)點(diǎn)。相切的時(shí)候，就只有1個(gè)點(diǎn)。如果是相離的話，那么不可能落在AC上了。

折疊中對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離是相等的，利用這個(gè)相等則可以巧妙的把圓的知識(shí)綜合進(jìn)來(lái)。