不定期分享一些本人原創(chuàng)文章、說題短文或者專家系列講座，主要對象針對初中學(xué)生，尤其是初三學(xué)生，對于解題研究展開系列探究！
圖形的變換專題無疑是中考的“三點”（重點、難點、熱點），其中折疊問題占著極其重要的地位，應(yīng)引起中考備戰(zhàn)期間學(xué)生的高度重視．本文擬以幾道難能可貴的小題來敘說折疊問題中的精彩，以盼達到拋磚引玉之效！
題1：（來源：好朋友浙江溫州俞衛(wèi)勝大師）
如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是邊AB上一點，且AE=2EB，點P是邊BC上一點，連接EP，過點P作PQ⊥PE交射線CD于點Q．若點C關(guān)于直線PQ的對稱點正好落在邊AD上，求BP的值．
法一（利用“折痕垂直平分對應(yīng)點連線段”這一重要結(jié)論，構(gòu)造相似三角形）：
第一步：如圖1-1-1，連接CC’，則CC’⊥PQ，由PQ⊥PE知CC’∥PE，易得△BPE∽△DC’C，且相似比為1：3，設(shè)BP=x，則C’D=3x；
這里得到C’D=3x是解決此道題目的關(guān)鍵所在，這里本質(zhì)上是巧妙借助了折疊問題中“折痕垂直平分對應(yīng)點的連線”這一重要結(jié)論，同學(xué)們需予以關(guān)注，這個看似普普通通的結(jié)論往往可以出奇制勝！
第二步：如圖1-1-2，利用對稱或折疊，鎖定四邊形PCDC’，其本質(zhì)上是一個直角梯形，且四邊均已知或者已表示成x的代數(shù)式，這就注定了問題可解；
第三步：如圖1-1-3，過點C’作C’G⊥PC于點G，將目光聚焦在Rt△PGC’上，由勾股定理便可列出方程進行求解（具體過程及答案略）！
至此本問題已順利解出，求解的關(guān)鍵是得出C’D的長度，這里運用了“折痕垂直平分對應(yīng)點的連線”這一重要結(jié)論，下面再提供一個得到C’D長度的方法：
法二（利用折疊問題中“角平分線+平行線→等腰三角形”這一重要結(jié)論，構(gòu)造等腰三角形）：
第一步：如圖1-2-1，類比“倍長中線”輔助線的思路，延長PE、DA交于點F，則易得△BPE∽△AFE，且相似比為1：2，設(shè)BP=x，則AF=2x；
第二步：如圖1-2-2，由PQ⊥PE及對稱，易推得∠FPC’=∠EPB，又由平行易知∠EPB=∠F，從而有∠FPC’=∠F，即△FPC’是等腰三角形；
這一步的本質(zhì)其實是折疊問題中“角平分線+平行線→等腰三角形”的重要結(jié)論，即翻折問題中經(jīng)常會出現(xiàn)等腰三角形，這一點學(xué)生應(yīng)予以高度重視！
得出△FPC’是等腰三角形后，再通過對稱或翻折不變性，很容易推得C’D=3x，下面的解答過程同法一，不再贅述！
法二中先構(gòu)造了一個“平行8字型”相似結(jié)構(gòu)，得出相似比，再通過折疊問題中“角平分線+平行線→等腰三角形”這一重要結(jié)論，鎖定等腰△FPC’即可順利表示出問題的關(guān)鍵C’D的長，值得同學(xué)們好好回味！
另外，此題得出C’D=3x后，若是沒能發(fā)現(xiàn)梯形PCDC’（畢竟梯形在中考里直接不會提及，課本中直接刪除了梯形的相關(guān)內(nèi)容），也可以利用同學(xué)們熟知的“一線三直角”相似結(jié)構(gòu)搞定問題，只是計算上可能稍顯麻煩而已，下面提供簡要的思路：
法三（利用“折痕垂直平分對應(yīng)點連線段”這一重要結(jié)論，構(gòu)造相似三角形）：
第一步：如圖1-3-1，識別到“一線三直角”相似結(jié)構(gòu)，即Rt△BPE∽Rt△CQP，則CQ=x（4-x）；
第二步：如圖1-3-2，將目光聚焦在Rt△C’DQ中，由勾股定理即可列出方程進行求解；
值得一提的是，這里的計算表面上稍顯復(fù)雜，其實最后列出的勾股方程中，將x（4-x）看作一個整體，其平方整個會抵消，根本不會出現(xiàn)所謂“四次方”，計算也并非多么復(fù)雜，同學(xué)們可以不妨一試，強化自己的計算能力與巧算意識！
題2：（來源：好朋友浙江溫州俞衛(wèi)勝大師）
如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（4,0），B（4,3），C（0,3），D在線段BC上，且CD=3DB，點E是線段OA上一點，連接DE，若點A關(guān)于直線DE的對稱點恰好落在y軸上，求點E的坐標(biāo)．
本題呈上兩種巧妙解法；
巧法一（利用折痕上的點到對應(yīng)點距離相等，結(jié)合題目特殊性，巧構(gòu)全等或巧用勾股）：
第一步：如圖2-1-1，連接AD及A’D，由對稱或折疊不變性易知AD=A’D，再發(fā)現(xiàn)題目中有一個特殊性CD=AB=3，識別一組全等三角形，即Rt△A’CD≌Rt△DBA，從而有A’C=DB=1，故OA’=2；
這一步得出OA’的長是解決此題的關(guān)鍵所在，這里巧妙連線，識別全等，方法妙哉！當(dāng)然若沒有CD=AB=3這一特殊性，雖全等不存在了，然仍可以在這兩個直角三角形中利用兩次“勾股定理”的方式列出方程計算出A’C的長，進而得到OA’的長！此法帶給我們的“驚喜”之感，這真的需要同學(xué)們用心琢磨！并且這一方法還會在下面的題4中“粉墨登場”，展示其迷人風(fēng)姿！
第二步：如圖2-1-2，連接A’E，得出OA’=2后，設(shè)OE=x，再次利用對稱或折疊不變性易知A’E=AE=4-x，將目光聚焦在Rt△A’OE中，利用勾股定理即可列出方程進行求解，下略；
此法第一步可以說“精彩至極”，尤其是不存在這個巧合的全等之后，我們利用兩次勾股定理列方程的方式進行求解，值得同學(xué)們體悟，這種利用題中兩條線段相等，進而其平方相等，再分別鎖定兩個直角三角形，列出這兩個相等邊的平方的表達式，即得方程，妙趣橫生，在很多問題中都有體現(xiàn)，不僅局限于折疊問題中，同學(xué)們可以做個有心人，比如本次一模中第26題圓中求半徑就是采用此法，可以說是一種應(yīng)用較廣泛的“通解通法”！
巧法二（利用“折痕垂直平分對應(yīng)點連線段”，識別與構(gòu)造“矩形中十字架結(jié)構(gòu)”）：
第一步：如圖2-2-1，由對稱或折疊問題中“折痕垂直平分對應(yīng)點的連線”知AA’⊥DE，聯(lián)想到“矩形中垂直結(jié)構(gòu)”過點D作DG⊥OA于點G，易知Rt△A’OA∽Rt△EGD，且其相似比為4：3，從而可以設(shè)OA’=4x，GE=3x；
這一步的關(guān)鍵是識別并構(gòu)造“矩形中垂直結(jié)構(gòu)”，也可形象地稱之為“矩形中的十字架結(jié)構(gòu)”，這個結(jié)構(gòu)在本人作品《廣猛說題系列之一道徐州中考折疊問題的兩種解法》詳細介紹過，并利用這個結(jié)構(gòu)解決了兩道2016年中考真題，方法驚艷，模型巧妙，有興趣的同學(xué)可以溫習(xí)下！
第二步：如圖2-2-2，將目光聚焦在Rt△A’OE中，利用對稱或折疊不變性，可將其三邊均表示出來，接下來列勾股定理求解之即可，不再贅述！
此法中巧妙識別“矩形中垂直結(jié)構(gòu)”或稱之為“矩形中的十字架結(jié)構(gòu)”，從而巧設(shè)線段，勾股求解，妙哉妙哉！更有趣的是，若將上面兩個巧法合二為一，則妙趣橫生！由法二巧設(shè)后結(jié)合巧法一可以得出4x=2這一極其簡單的方程，再求出OE=3-3x，絕對的口算！同學(xué)們，折疊問題有趣嗎？你愛上了數(shù)學(xué)嗎？
前面兩題中有關(guān)折疊的幾個重要性質(zhì)，這里有必要小結(jié)下：
（1）折疊的兩部分全等，進而所有對應(yīng)的元素均相等：如對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、折痕上的點到對應(yīng)點距離相等；
（2）折痕垂直平分對應(yīng)點連線段，進而得到垂直條件，為構(gòu)造相似作鋪墊；
（3）折疊問題中“角平分線+平行線→等腰三角形”，即折疊加上平行線會出現(xiàn)等腰三角形，往往是解題的必勝法寶！
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